分式方程竞赛题

1、第一讲 分式方程（组）的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大（或缩小）未知数的取值范围，故必须验根.例1解方程12x 8+x2113x 8=0解 令y = X2 + 2x- 8，那么原方程为y 9y y y115x=0去分母得y(y- 15x) + (y + 9x)(y- 15x) + y(y+ 9x) = 0,y2- 4xy- 45x2= 0,(y+ 5x)(y- 9x)= 0,所以 y= 9x 或 y=- 5x.由 y= 9x 得 x2 + 2x- 8= 9x

2、,即 x2- 7x- 8 = 0,所以 X1 = 1, X2= 8；由 y = 5x，得 x2+ 2x 8= 5x，即 x2 + 7x 8 = 0,所以 X3 = 一 8, X4= 1. 经检验，它们都是原方程的根.例2解方程x2 4x+x 172xx72-18 = 0 +4x72x 72x2 4x18 = 0解设y= x竺，则原方程可化为x 172y+ 18 = 0yy2- 18y+ 72= 0,所以 yi= 6 或 y2= 12.当y= 6时,x24x=6 , x2 + 4x= 6x 6,故 x2 2x+ 6 = 0,此方程无实数根.1当y= 12时,x2 4xx 1=12 , x2+ 4

3、x= 12x 12,故 x2 8x + 12 = 0,故 x2 8x+ 12= 0,所以X1 = 2或X2= 6.经检验，* = 2, X2= 6是原方程的实数根.例3解方程2x 10x 2x63x210x472Tx1x3x2分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为1 + 2 (32x 2)20,x 1x2 3x 2 x 2整理得53 x 2 门2 0 ,x 1 x 2 x2 3x 2去分母、整理得x + 9= 0, x= 一 9.经检验知，x= 9是原方程的根.例4解方程x 1 x 6 x 2 x 5+ = + -.x2x7x3 x

4、 6分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简原方程化为1 1 1 1 -x 2 x 7 x 3 x 61 1 1 1x 6 x 7 x 2 x 3即1 = 1(x 6)(x 7) = (x 2)(x 3)所以(x+ 6)(x+ 7) = (x+ 2)(x+ 3).9解得一 .9经检验x=-是原方程的根.2例5解方程1 1+ x(x 1) x(x 1)1 11(x 9)(x 10) 12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简原方程变形为1,故可考虑把一个分式拆整理得x

5、 1 x x x 1x9 x 10121111x 1x 1012匚 1 1二匚 111去分母得x2+ 9X 22 = 0,解得 X1= 2, X2= 11 .经检验知，Xi = 2 , X2=- 11是原方程的根.例6解方程2x2 3x 2 2x2 5x 32 22x 3x 2 2x 5x 3分析与解分式方程如比利式 a=-，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用b d合比定理化简原方程变形为(2x2 3x 2)(2x2 3x 2)(2x2 5x 3)(2x2 5x 3)2 = 22x 3x 22x 5x 34x24x22x2 3x 2 2x2 5x 3所以x= 0 或 2X2

6、3x 2= 2x2+ 5x 3 1解得x= 0或x=81经检验，x= 0或x= 1都是原方程的根.8例7解方程2 23x 4x 1 x 4x 1= ：3x 4x 1 x 4x 1分析与解形式与上例相似本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简.原方程变形为2 2 2 2(3x4x1)(3x4x1)= (x4x1)(x4x1)=(3x4x1)(3x4x1) (x4x1)(x4x1)22即 62 = 28x8x当x0时，解得x= 1 .经检验，x=1是原方程的根，且 x= 0也是原方程的根.说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.1 1因而至多有两个根

7、. 显然a力时，xi = a像x a这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程,1与X2= 就是所求的根例如，方程ax ax 1 3善，即 x 1 当 j=3 时，x= 1 ； x 12 1，所以 xi= 3, X2= 1 .X 3X33例8解方程2 2x x 1 2x x 2 192 + 2 =-x 1 x x 16解将原方程变形为设y 1 1，则原方程变为x 13解得 y1, y2 一.322x x 12 ,当一2=一时，xx132 xx11x21 2 +332 x1x2x 123123y2y32经检验x= 1及x=35均是原方程的根.2例9解关于x的方程axbx1+ =2.b xax2ax1

8、1解 设y=，则原方程变为 y 2b xy2所以y匸2或y2=-,a xa x 1由 一2，得 xi = a 2b ;由=，得 X2= b 2a.b xb x 2将 xi = a 2b 或 X2= b 2a 代入分母 b+ x，得 a b 或 2(b a)，所以，当 ab 时，xi= a 2b 及 X2= b2a都是原方程的根.当 a = b时，原方程无解.例10如果方程x x 2 2x a+ + =0x 2 x x(x a)只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2 2x+ (a + 4) = 0.原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能

9、是：(1)方程有两个相等的实数根，即= 4 4 2(a+ 4)= 0.71解得a = 7 .此时方程的两个相等的根是X1= x2= 1 .22(2) 方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为0或2 .(i )当x = 0时，代入式得a+ 4= 0,即a= 4.这时方程的另一个根是x= 1(因为2x2 2x= 0,x(x 1) = 0, X1= 0或x2= 1.而X1= 0是增根).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.(ii )当x= 2时，代入式，得2 4 2 X2 + (a + 4) = 0,即a = 8.这时方程的另一个根是x= 1(因为2x2 2x 4= 0. (x 2)(x+ 1) = 0,所以X1 = 2(增根),X2= 1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是71,4， 8，其对应的原力程的根一次为,1 , 122练习一1填空：1(1)方程x110丄的一个跟是10,则另一个跟是.x 82(2)如果方程x bx = mJ有等值异号的根，那么m=ax c m 11k 5 k 1(3) 如果关于x的方程 +笃卫=上二 有增根x= 1,则k=x x x x x