2020数学(文)二轮教师用书：第3部分策略14.转化与化归思想Word版含解析

1、4 转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 .应用 1正与反的转化【典例 】若对任意的t1,2，函数g(x) 3 m 222x在区间(t,3)上1x2x不总为单调函数，则实数 m 的取值范围是 _37， 5由题意得23g(x) 3x(m 4)x 2.若 g(x)在区间 (t,3)上总为单调函数 ，则 g(x) 0 在(t,3)上恒成立 ，或g(x)0 在(t,3)上恒成立 222由 得 3

2、x (m4)x 20，即 m4 x 3x 在 x (t,3)上恒成立 ，m 4 t 3t 恒成立，则 m4 1，即 m 5；2由 得 m4x3x 在 x(t,3)时恒成立 ，237则 m439，即 m3 . 函数 g(x)在区间 (t,3)上不总为单调函数的m 的取值范围为37m 5.31 本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则 .2 题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.【对点训练1】由命题“存在x0R，使e|x01|m 0”是假命题，得m的取值范围是

3、(， a)，则实数a 的取值是 ()A (， 1)B (， 2)C 1D 2C 由命题 “存在 x0 R，使 e|x0 1|m0”是假命题 ，可知它的否定形式“任意 xR，使 e|x 1| m 0” 是真命题 ，可得 m 的取值范围是 (， 1)，而(， a)与 ( ， 1)为同一区间 ，故 a 1.【对点训练 2】已知集合 A x|1x0 ，集合 B x|ax b2x10,0 a 2,1 b 3 ，若 a R，bR，则 AB?的概率为 ()13A. 4B.4115C.16D.16D 因为 a 0,2 ，b1,3 ，所以 (a，b)对应的区域为边长为 2 的正方形 ，如图，正方形的面积为 4.

4、令函数 f(x) axb2xx1，x 1,0 ，则 f(x) a bln 2 2.因为 a0,2 ，b 1,3 ，所以 f(x)0，即 f(x)在 1,0上是单调递增函数 ，所以 f(x)在1,0上的最小值为 ab1.要使 AB?，只需 f(x)min a b 10，即 2a b2220，所以满足 A B?的 (a，b)对应的区域为如图所示的阴影部分 1易知 S 阴影 1111，所以 AB?的概率为41 ，2244161 15故 AB?的概率为 11616.应用 2 特殊与一般的转化AC【典例 2】在 ABC 中，三边长 a，b，c 满足 ac3b，则 tan 2tan 2的值为 ()11A.

5、 5B.412C.2D.3C 令 a 4， c 5， b3，则符合题意 (取满足条件的三边 )C则由 C 90， 得 tan21.A由 tan A4，得 2tan 24，32A31tan 2A1解得 tan22.AC11所以 tan 12.2tan221 一般与特殊之间的转化是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法.此方法多用于选择题和填空题的解答 .2 破解此类题的关键点：确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象 .寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素” .转化为新问题，根据转化对

6、象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题 .得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论.【对点训练 3】如果 a1，a2，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，那么 ()1 84 5B a1 8 4 5A a aa aaa a1a8 4 a5D 1 8a4 5C aaa aaB 取特殊数列 1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有 1845 成立，即 a1a8a4a5.【对点训练 4】 若点，设四边形 ABCD 为平行四边形， |AB ，|AD|M| 64. N 满足 BM 3MC， DN2NC，则 AM ()NMA 20B15 C9D 6C 法一：

7、 (特例法 )若四边形 ABCD 为矩形，建系如图 由 BM3MC， DN2NC，知 M(6,3)，N(4,4)， AM(6,3)， NM(2， 1)， AMNM623( 1)9.3 法二：如图所示 ，由题设知 ，AM AB BM AB 4AD，1NM NC MC1，3AB4AD 31112321 AMABNM4AD3AB4AD3|AB|16|AD|4 1 ABAD4ABAD13 3 361616 9.应用 3常量与变量的转化【典例 3】已知函数 f(x) x33ax1，g(x) f(x)ax 5，其中 f(x)是f(x)的导函数对任意a 1,1都有 g(x) 0，则实数 x 的取值范围为 _

8、2，1由题意，知 g(x)3x2ax3a 5，3令 (a) (3 x)a3x2 5，1a1.因为对 a 1,1，恒有 g(x)0，即 (a)0，所以1 0，1 0，即3x2x20，3x2x80，2解得 3x1.2故当 x 3，1 时，对任意 a 1,1都有 g(x)0.1 本题若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很烦琐，若以a为主元，即将原问题化归在区间 1，1上，一次函数a 3 x a 3x2 5 0成立的 x 的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决.2 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数或参数 ，将其看作是“主元”，实现主与次的转化，即常量与变量

9、的转化，从而达到减元的目的.【对点训练 5】设 y(log2x)2(t2)log2xt1，若 t 2,2时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是 _120，2(8， ) 设 yf(t)(log2 x1)t (log2 x) 2log2x1，则 f(t)是一f 2 0，次函数，当 t 2,2时， f(t) 0 恒成立，则f 2 0，log2x 2 4log2x30，即 log2x 2 1 0，解得 log2x 1 或 log2x3.1即 0x2或 x8，1故 x 的取值范围是0，2 (8， )【对点训练 6】 对于满足 0p4 的所有实数 p，使不等式 x2 px4xp3 成立的 x 的取值范围是

10、 _(， 1)(3， ) 设 f(p) (x1)px24x 3，则当 x1 时，f(p)0.所以 x1.f 0 0，f(p)在 0p4 时恒为正等价于f 4 0，即x 3 x10，解得x3 或x 1.x2 1 0，故 x 的取值范围为 ( ，1)(3， ) 应用 4 函数、方程、不等式间的转化【典例 4】已知函数 f(x) 3e|x|，若存在实数 t 1， )，使得对任意的x 1，m， mZ 且 m1，都有 f(x t)3ex，试求 m 的最大值 解当 t 1， )且 x 1，m 时，xt 0， f(xt)3ex? ext ex? t1ln xx. 原命题等价转化为：存在实数 t 1， )，使

11、得不等式 t1ln x x对任意 x1，m 恒成立 令 h(x)1ln x x(1 x m)1 h (x) x10， 函数 h(x)在1 ， )上为减函数 ，又 x1，m ， h(x)minh(m)1ln mm. 要使得对任意的x1， m ，t 值恒存在 ，只需 1ln mm1. h(3)ln 3 2ln1 31 1， lne eeh(4)ln 4 141 1，23 lne e ln e又函数 h(x)在1 ， )上为减函数 ， 满足条件的最大整数m 的值为 3.1 函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.2 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、

12、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域 问题，从而求参变量的范围.【对点训练 7】已知正数 x，y 满足 x22xy30，则 2xy 的最小值是_由题意得 ， 2，所以 2x y2x3x223 3x3x33 x1 3，当且y2x2x2x2x仅当 x y1 时，等号成立 故所求最小值为 3.【对点训练 8】 方程 2x 3xk 的解在 1,2)内，则 k 的取值范围为 _ 5,10)令函数 f(x) 2x3x k，则 f(x)在 R 上是增函数 当方程 2x3xk的解在 (1,2)内时，f(1) f(2) 0，即 (5k)(10k)0，解得 5k10.当 f(1)

13、0 时，k 5.综上，k 的取值范围为 5,10) 应用 5形体位置关系的相互转化【典例5】已知在三棱锥P-ABC中， PABC234， PB AC 10，PCAB 2 41，则三棱锥P-ABC的体积为()A 40B 80C 160D 240C 因为三棱锥 P-ABC 的三组对边两两相等 ，故可将此三棱锥放在一个特定的长方体中 (如图所示 )，把三棱锥 P-ABC 补成一个长方体 AEBG-FPDC.易知三棱锥 P-ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线不妨令 PE x，EBy，EAz，则由已知 ，可得x2 y2100，x ，6x2 z2136， ?y8，y2 z2164z10.从而知VP-A

14、BC VAEBG-FPDC VP-AEB VC-ABG VB-PDC VA-FPC VAEBG-FPDC P-AEB6810 4116810160.4V32形体位置关系的相互转化的技巧1 分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象.2 位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体 .由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征 .3 得出结论，在新的几何结构中解决目标问题 .【对点训练 9】 如图，在棱长为 5 的正方体 ABCD-A1B1C1 D1 中，EF 是棱 AB 上的一条线段，且 EF 2，点 Q 是 A1D1 的中点，点 P 是棱 C1D1 上的动点，则四面体 PQEF 的体积()A 是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量且有最大值和最小值D是常数D 点 Q 到棱 AB 的距离为常数 ，所以 EFQ 的面积为定值 由 C1D1 EF，可得棱 C1D1平面 EFQ，所以点 P 到平面 EFQ 的距离是常数 ，于是可得四面体PQEF 的体积为常数 【对点训练 10】 如图，