九年级数学上册 2124 一元二次方程的根与系数的关系教学 新版新人教版

1、* *21.2.4 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 知识点一知识点二 知识点一二次项系数为“1”的一元二次方程的根与系数的关系 由于二次项系数为“1”的方程可以化简成x2+px+q=0的形式,所以 当方程有两个根x1,x2时,一定有一次项系数p=-(x1+x2),常数项 q=x1x2. 名师解读:由x1+x2=-p,x1x2=q知,若已知x1,x2,p,q这四个量中的任何 两个,都能确定另外两个,利用这种关系可以解答相关的问题. 知识点一知识点二 例1(2015遵义模拟)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的 两根分别为x1=2,x2=-1,那么p,

2、q的值分别是() A.1,-2B.-1,-2 C.-1,2D.1,2 解析:观察可以发现,方程的二次项系数为“1”,所以有p=-2+(- 1)=-1,q=2(-1)=-2. 答案:B 知识点一知识点二 解答这类问题,关键是正确掌握二次项系数为“1”的一元二 次方程的根与系数的关系,当方程的二次项系数不为“1”时, 不能使用. 知识点一知识点二 例2已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个实数根,则 的值为() A.31 B.29C.25 D.17 解析:此题若先解方程求得两个根,再代入求值,计算量会很大,但 是根据一元二次方程的根与系数的关系,容易求得x1与x2的和与积, 如果再把所求的代

3、数式转变成用两根的和与积表示出来的式 子,“整体代入”求值则比较方便. x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个根, x1+x2=5,x1x2=-2. 答案:A 知识点一知识点二 解答这类求代数式的值的问题,先利用根与系数的关系分 别求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代数式变形 转化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整体代入”的 思想代入求值. 知识点一知识点二 知识点二二次项系数不是“1”的一元二次方程的根与系数的关 系 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一 次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二 次项系数的比. 用式子

4、表示为 这个关系还叫做韦达定理. 名师解读:利用这两个关系式可以解答“已知其中的三个量,求 另外的两个量的问题”,还可以解答求代数式的值的问题.要特别 注意等式中的a,b,c所表示的含义. 知识点一知识点二 知识点一知识点二 解答这类问题,先求出方程的解再代入代数式求值,计算量会 很大,一般先把求值的代数式进行变形,使其变成包含两根的 和与两根的积的式子,再利用整体代入的方法求值. 拓展点一拓展点二拓展点三 拓展点一利用韦达定理由方程的根确定原方程 例1已知,满足+=5,且=6,则以,为两根的二次项系数 为“1”的一元二次方程是() A.x2+5x+6=0B.x2-5x+6=0 C.x2-5x

5、-6=0 D.x2+5x-6=0 解析:以,为两根的一元二次方程的两根是,且,满足 +=5,=6.所以这个方程的系数应满足两根之和是 ,两根 之积是 ,当二次项系数a=1时,一次项系数b=-5,常数项c=6,所 以方程为x2-5x+6=0. 答案:B 拓展点一拓展点二拓展点三 满足+=5,且=6,则以,为两根的一元二次方程有无数 多个,形式为a(x-)(x-)=0(a0),只要二次项系数a改变,方程 就会随着改变.但是此题可以利用排除法解答,也可以通过 解各个方程找到正确答案. 拓展点一拓展点二拓展点三 拓展点二已知方程的一根,利用根与系数的关系求另一根或字 母的值 例2(2015北京校级模拟

6、)方程4x2-kx+6=0的一个根是2,那么k 的值和方程的另一个根分别是() 拓展点一拓展点二拓展点三 拓展点一拓展点二拓展点三 解答这类问题时,两种方法都能解决问题,根据问题的实 际情况灵活选取,只要计算简便即可. 拓展点一拓展点二拓展点三 拓展点三根与系数的关系与判别式的综合运用 例3已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的两 实根,且(x1+1)(x2+1)=8,求k的值. 分析:根据一元二次方程的根与系数的关系知 x1+x2=2(k+1),x1x2=k2-3,代入(x1+1)(x2+1)=8,即x1x2+(x1+x2)+1=8即 可得到关于k的方程,可

7、求出k的值,再根据与0的关系舍去不合理 的k值. 拓展点一拓展点二拓展点三 解:依题意可知,x1+x2=2(k+1)=2k+2,x1x2=k2-3,由(x1+1)(x2+1)=8 得x1x2+x1+x2+1=8, 得k2-3+2k+2+1=8, 即k2+2k-8=0, 解得k1=2,k2=-4. 而=-2(k+1)2-4(k2-3)0, 所以k-2. 所以k=2. 拓展点一拓展点二拓展点三 一元二次方程只有有根的情况下,才能研究根的情况,所以 解答此类问题时所求出的字母的值须使原方程有实根.如: 本题中不要只根据(x1+1)(x2+1)=8,求出k的值,而忽略与0的 关系. 知识点一知识点二 例2已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个实数根,则 的值为() A.31 B.29C.25 D.17 解析:此题若先解方程求得两个根,再代入求值,计算量会很大,但 是根据一元二次方程的根与系数的关系,容易求得x1与x2的和与积, 如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式 子,“整体代入”求值则比较方便. x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个根, x1+x2=5,x1x2=-2. 答案:A 拓展点一拓展点二拓展点三 拓展点三根与系数的关系与判别式的综合运用 例3已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的两 实根,且(x1+1)(x2+