点的运动学基本方程公式

1、Theoretical Materials 理论力学理论力学 第六章第六章 点的运动学基本方程点的运动学基本方程 第六章第六章 点的运动学基本方程点的运动学基本方程 6- -1 矢量法矢量法 6- -2 直角坐标法直角坐标法 6- -3 自然法自然法 1.1.运动学运动学 2.2.学习目的学习目的 3.3.运动的相对性运动的相对性 研究物体运动的几何性质的科学。包括研究物体运动的几何性质的科学。包括: :轨迹，速度，加轨迹，速度，加 速度等。不考虑运动的原因。速度等。不考虑运动的原因。 参考体参考体( (物物););参考系，一般工程问题以地面为参考体。参考系，一般工程问题以地面为参考体。 动力

2、学基础动力学基础 机构与变形体运动分析机构与变形体运动分析 引引 言言 4.4.瞬时、时间间隔瞬时、时间间隔 5.5.研究运动速度远小于光速、宏观物体的运动研究运动速度远小于光速、宏观物体的运动 6.6.力学模型：质点、刚体力学模型：质点、刚体 7.7.三个问题：运动方程、速度、加速度三个问题：运动方程、速度、加速度 8.8.三种方法：矢径法、直角坐标法、自然坐标法三种方法：矢径法、直角坐标法、自然坐标法 二二. .点的速度点的速度 OMr r dt rd t r v t 0 lim r dt rd dt vd t v a t 2 2 0 lim 一一. .运动方程，轨迹运动方程，轨迹 三三.

3、 .加速度加速度 6-1 矢径法矢径法 矢端曲线 速度速度 矢径矢端曲线切线矢径矢端曲线切线 加速度加速度 速度矢端曲线切线速度矢端曲线切线 （运动轨迹：位移 矢端点的集合） 直角坐标与矢径坐标之间的关系直角坐标与矢径坐标之间的关系 ( )( )( )r tx t iy t jz t k 一、运动方程一、运动方程 ( ) ( ) ( ) xx t yy t zz t 6-2 直角坐标法直角坐标法 z x yO M y x z r d d x x v t d d y y v t d d z z v t dddd dddd xyz rxyz vijkv iv jv k tttt 二、速度二、速度

4、222 xyz vvvv cos() x v vi v cos() y v vj v cos() z v vk v 2 2 d d d d y y v y a t t 2 2 dd d d z z vz a t t 2 2 dd d d x x vx a t t 三、加速度三、加速度 dd dd dddd y zx xyz vv vv aijka ia ja k tttt 222 xyz aaaa cos() x a ai a 例例 6-1 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动，其端点转动，其端点C 与与 规尺规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺的中点以铰链相连接，而规尺A，

5、B 两端分别在相两端分别在相 互垂直的滑槽中运动。已知：互垂直的滑槽中运动。已知： ,OCACBCl MCat。 求：求： M点的运动方程；点的运动方程； 轨迹；轨迹； 解：点解：点M作曲线运动，取坐标系作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。如图所示。 运动方程运动方程 ()cos()cosxOCCMlat ()sin()sinyAM OMlat 消去消去t, 得轨迹得轨迹 22 22 1 () xy lala ） 105510 5 5 x y O A C B l 例例6-2 曲柄连杆机构中曲柄曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆和连杆AB的长度分别的长度分别 为为r和和l。且。且l r，角，角 =t，

6、其中，其中是常量。滑块是常量。滑块B可沿轴可沿轴 Ox作往复运动，试求滑块作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。的运动方程，速度和加速度。 222 cos sin xOCCBrlr 2 2 1cos sin r xrtlt l 解：考虑滑块解：考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标的坐标 将将=t 代入上式得代入上式得 x y O A C B l 滑块滑块B的速度和加速度为的速度和加速度为 2 2 sin2 sin 21( sin) rt vxrt r lt l 2 2 2222 2 3 2 2 cos 4cos21 ( sin) sin

7、2 4 1 ( sin) avrt rr rttt ll r lt l 例例6-3 半径为半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯 滚动），设轮子转角滚动），设轮子转角 为常值），如图所示。求用直为常值），如图所示。求用直 角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的运动方程，并求该点 的速度、切向加速度及法向加速度。的速度、切向加速度及法向加速度。 ( t 解：解：M点作曲线运动，点作曲线运动， 由纯滚动条件有由纯滚动条件有 AMOArrt sinsinxOACMrtt 1coscosyACCMrt 1 co

8、s,sin xy vxrtvyrt 22 2 1202 2 (cos)sin) xy t vvvrtrt （ 22 sin,cos xy axrtayrt 222 xy aaar 2tn 0v 当当M点与地面接触时，点与地面接触时， 有有 2 y ar 0 x a 例例6-4 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在 套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （ 为活塞的速度，为活塞的速度，k为比例常数为比例常数) )，初速度为，初速度为 。求。求 活塞的运动规律。活塞的运动规律。 akv v 0 v 解：活塞作直线运动，

9、取坐标轴解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示如图所示 d d v akv t 0 0 d d vt v v kt v 0 0 ln, kt v kt vv e v 0 d d kt x vv e t 0 0 0 dd xt kt x xv et kt e k v xx 1 0 0 由由 得得 由由 得得 先确定积分变量 ( )sf t 一、弧坐标 副法线单位矢量副法线单位矢量 bn 切向单位矢量切向单位矢量 n 主法线单位矢量主法线单位矢量 二、自然轴系 6-3 自然法自然法 1 1 M1 1 tao 指向运动方向； 2 n 曲率中心； 3 b 的方向由叉乘得到 三、点的速度三、点的速度

10、00 00 limlim() limlim tt tt rrS v tSt SrdS dr tSdt dS dS v dt 切向加速度切向加速度 -表示速度大小的变化表示速度大小的变化 2 2 dvddvdd Sd a(v)vv dtdtdtdtdtdt 2 2 dvd S a dtdt 四、点的加速度四、点的加速度 法向加速度法向加速度 -表示速度方向的变化表示速度方向的变化 00 2 0 limlim() lim n tt t dS avvv dttSt v S 0 (lim) t SdS v tdt 由图可知由图可知 00 0 2sin 2 lim |lim 2 1 2 lim() tt

11、 t SS d n SdS 22 22 | |sinsin ( | 1) 22 d , d nn vvv anaaan t （ 时，时， 与与 垂直垂直,=pi/2-phi/2,=pi/2-phi/2,且指向且指向 曲率中心）曲率中心） 0 即 级数展 开 2 2 dd d d t vs a t t 切向加速度切向加速度 2 2 1d d n vs a t 法向加速度法向加速度 曲线匀速运动曲线匀速运动 000 0, t avvssv t常数常数 曲线匀变速运动曲线匀变速运动 2 000 1 2 , ttt avva tssv ta t常数常数 22 arctg | n n aaa a a 解

12、解：由于是匀变速运动，则常量，因此由于是匀变速运动，则常量，因此 a 例6-5 列车沿半径为 的圆弧轨道作匀加速运动， 如图所示。设初速度 ，经过 后，其速度达 到 ，试求列车在 、 时的加速度。 m/s 10 o v m 400R s 60t m/s 20v 0t s 60t o vva t 切向加速度为 2 205 a0.25 m/s 60 o vv t （1） 时 0t 法向加速度为 2 2 n 100 0.25 m/s 400 o v a 全加速度为 22222 n 0.250.250.353 m/saaa 全加速度与法线间的夹角为 n tan 1 a a o 45 2 2 n 400

13、 1 m/s 400 v a 22222 n 0.2511.031 m/saaa n 0.25 tan0.2424 1.031 a a o .613 （2） 时 st60 全加速度与法线间的夹角为 即 全加速度为 法向加速度为 例6-6 已知点的运动方程为 x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z =4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。 解：由点 M 的运动方程，得 8cos4 x vxt32sin4 x axt 8sin432cos4 yy vytayt, 40 z vzaz, z 2222222 80 m s,32 m s xyzxyz vvvvaaaa 从而， 而 2 d

14、 032 m s d n v aaa t , 因此 2 2 5 m n v a . xyz xyz xyzn xyzn vvvv vvvv aaaaa aaaaa vijk vijk aijkn aijkn 例6-7 小环M同时套在细杆OA和半径为R的固定圆圈 上，如图所示。细杆OA绕大圆圈上的固定点O转动，它与 水平直径的夹角 ，其中 为常数。试求小环M的 运动方程以及它的速度和加速度 t x y A M O 1 O R 解：（1）用直角坐标法 cos2 sin2 xRRt yRt 2sin2 x vxRt 2cos2 y vyRt 22 2 xy vvvR 速度的方向余弦为 cos( , )sin2v i x