新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系回顾与思考》教案_7

1、直角三角形边角关系回顾与思考教学设计【授课内容】北师大版数学九年级下册第一章直角三角形边角关系回顾与思考 【授课地点】915班 【授课时间】2019年5月30日 【教学设计】一、学情分析学生的知识技能基础学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半）.而通过本章的学习，学生又掌握了一般直角三角形的边角关系和特殊角（30，45，60的角）的三角函数值，并能应用三角函数知识解决相关的实际问题.学生活动经验基础学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结

2、过程，通过计算器进行了一般角的度数与其对应的三角函数值的互换，能把简单的实际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，也具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力.教学内容设计分析本内容为中考备课基础复习专题，适合中等思维水平的九年级学生，基础相对扎实，但学习探究思维能力和解决综合问题的能力有待提升。二、 教学任务分析（一）教学目标1.梳理并掌握直角三角形的边角关系；掌握锐角三角函数基本特征；2.能用直角三角形的边角关系解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程的数学思想方法；3.能用直角三角形的边角关系解决实际生活中的相关问题，培养学生的建模能力。（二）教学重点应用锐角三角函数的个知识

3、姐姐一些中等难度的实际问题。（三）教学难点 提升解决问题的能力，增强数学阅读理解和解题思维的迁移能力。 三、教与学的方法（一）教学方法：问题引领，启发引导，变式提升（二）学习方法：自主说题、解题、反思、提升四、课前准备工作学生独立完成学案中预习部分的内容，梳理考点。五、教学过程设计 bacABC（一）课前预习，梳理知识务实基础知识1.如图，在 RtABC中，C=90， 其中的边角关系是： （1）两锐角关系： （2）三边关系： （3）边角关系： 2.请你填写下列表格，从中你还能发现哪些知识？三角函数角度sincostan304560（1）当越大时，sin越 ，tan越 ，cos越 ；（2）若A+

4、B=90时，sinA与cosB的关系是 ，tanA与tanB的关系是 .【跟踪检测】3.在正方形网格中，的三个顶点均在网格的格点上。（1）若的位置如图1所示，则AC= ，sinA= ;cosC= ;tanC= .（2）若的位置如图2所示，则tanC= 。4.身高相同的三个人甲、乙、丙放风筝，他们放出的风筝线长分别为300m，250m，200m，拉直的线与地面所成的锐角分别为30,45，60。（1）谁放的风筝最高？（2）若倾斜角不变，则甲的风筝线放到多长时，他的风筝才是最高的？【设计意图】本学习环节的核心价值是：让学生学会自主梳理知识，发现题目中的数学思想方法。通过问题的引领，让学生知道要做什么

5、，明确任务能引发与目标任务相匹配的选择性注意，从而提高认知活动的效率。利用梳理知识向学生点明本专题的主干知识；利用跟踪检测，向学生点明本可的核心方法与基本思想。还可以评价学生对基础知识的理解水平，又可以让全体学生过好基础关。（二）课内展示，运用知识总结知识结构网络1.展示预习，分享主干知识2.变化图形，运用知识【问题1】在图1中，若过点B作BDAC，垂足为D（如图4），则cosABD= 。【问题2】在第1（2）题中，如图5，在RtACE中易求出tanC=47，还有其他方法求解吗？如果过点B作BDAC，垂足为D，是否也可以在RtBDC中求出tanC的值呢？【问题3】在图2中，去掉网格，如图6，若

6、已知BC=3，AB=42，ABC=135，能求ABC的面积吗？若能，则ABC的面积为 。ABC图5ED3.题后反思，达成知识结构的整体性和联系性。（1）问题1的解题方法有直接法和间接法。其中直接法采用了 快速解决问题；间接法中蕴含了 数学思想方法。（2）问题2,3的解题方法采用了化斜为直，在这个过程中，注意构造直角三角形的合理性。（3）解决问题结构图直角三角形斜三角形已知两边求第三边已知一边一角，求其他边或角。已知两边求角勾股定理正弦、余弦、正切特殊角的三角函数值锐角三角函数【设计意图】本学习环节的核心价值是：让学生发现知识间的联系，构建知识网络。学生做题时很少会关注题目之间的关联，故设计三个

7、问题，对预习练习题目进行变化图形，进行串联，帮助学生提升认知结构。三道题的图形是有内在联系的，通过图形的某种锲合度，达成知识结构的整体性和联系性。（三）典例分析，活用知识构建数学模型解决实际问题【例1】如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图已知长方体货厢的高度BC为米，tanA，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长（结果保留根号）【解决误区】在学生解题中会很快得到答案，但学生进入了CDB=90，利用RtBCD来解答的误区。为此在教学中要特别注意学生的思维严谨性，即在让学生独立完成，使思维欠缺充分暴露后，教师再提出疑问：BCD是直

8、角三角形的依据是什么？如何理解“当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，”帮助学生理解和理清思维，通过平移线段BD到点C处来构造直角三角形。【设计意图】本题特点是想学生呈现具体而写实的情境，主要以学生解答和讲题为主；借助本题突出三角函数应用的基本策略：根据题意，将现实情境抽象为数学关系结构，以“解直角三角形”模型为目标进行结构分析，构造直角三角形；同时本题容易受无关因素的干扰，这鞥有效锻炼学生的数学抽象能力，抽象能力是数学建模的基础。【例2】日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数L：（HH1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层

9、窗台至地面高度如图，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？【设计意图】本题在现实情境的基础上加入了“新定义”。结合现实情境理解新概念，并以此为目标进行数学抽象和模型的建构。在数学化完成以后，题目所对应的数学关系结构其实不难解决。【题后反思】实际问题实际问题答案数学问题分析解斜三角形解直角三角形锐角三角函数分析方程模型分析

10、1.解答上面两道题目的关键能力是数学抽象和数学建模。【设计意图】本学习环节的核心价值是：利用两道生活的实际问题，使学生把在第二环节中感知的数学模型进行应用，进一步体验建模的数学思想方法；同时体会例1与例2解法上的相同点及优化策略。（四）总结反思，拓展提升（一）总结反思1.解直角三角形时要关注 。 2.解一般三角形的方法是 。 3.解实际问题的方法是 。4.解题过程中运用了哪些数学数学方法？【设计意图】复习课的小结是对复习活动中所经历的认识过程的总结，也是对新知识、新理解及及课堂感悟的交流，这种对课堂学习的概括性、总结性和简约化的回顾总结，可以缩略过程属性而突出知识的结果属性建立知识结构的“文件

11、夹”体系，并与思想方法的体验与感悟融于一体。同时让学生学会在学习中勤于观察，善于比较，提炼本质，有效运用，提高学生数学学习的效率，发展学生的思维能力。（二）拓展提升1.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5角的正切值是（）A+1B+1C2.5D2.如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C已知AB1400米，AC1000米，B点位于A点的南偏西60.7方向，C点位于A点的南偏东66.1方向（1）求ABC的面积；（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一

12、个湖心亭，并修建观景栈道AD试求A、D间的距离（结果精确到0.1米）（参考数据：sin53.20.80，cos53.20.60，sin60.70.87，cos60.70.49，sin66.10.91，cos66.10.41，1.414）【设计意图】本学习环节的核心价值是：发展综合运用知识分析问题和解决问题的能力，体验数学思想方法。在学生头脑中，“特殊角”可能被认知固化为30,45,60.拓展提升第一题给出了67.5角的探究思路，很容易激发学生的探究兴趣。同时通过本题，能够引导学生在实验中观察、操作、想象来探索求解方法，既丰富学生认知体系，又能促进学生几何直观能力的发展。在一些常规题的作用下，学

13、生在“锐角三角函数的应用”学习中容易产生的一种定势思维是把这部分内容独立于其他几何知识单独建构。但一旦题目在三角函数应用的基础上体现出知识指向的“大综合”，学生就顿时乱了阵脚，拓展提升第二题就是这方面的典型题目。问题解决需要综合图形面积，中位线、三角形相似等方面的知识，提升学生综合运用的意识。（五）知识内化，熟能生巧1.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60。（1）沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由;（

14、2）由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间。（参考数据：1.414，1.732）第2题图第2题图2.如图，ABC是等腰三角形，且AC=2，A=15，则tan15的值是_。3.作RtABC，使C=90，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，ABC=30.ABC第3题图tan30=。（1） 在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15的值，请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15的值.（2） ABC中，AB=AC，BAC=36，AD是BC边上的高，BE是ABC的平分线，BC=1，试利用这个三角形求出的值。【设计

15、意图】让学生在课后继续研究、运用，通过模仿运用有效促进学生的抽象能力、模型识别能力与迁移能力的提高，使学生在图形的变化过程中感悟“万变不离其中”的道理；同时再次让学生回归课本，整理并提炼课本中习题的解决方法，让学生熟悉并吃透课本知识。六、教学反思复习课要上出生机和新意，需基于学生已有数学知识，从别样的视角进一步结构化，让学生思维再生长。中考基础复习课，要凸出复习专题的主干和其中的数学思想，从而提升学生思维能力。思维的载体是数学基础知识与基本技能，内核是数学思想，故让学生在数学思想引领下提升思维能力，是教学的目标。 复习课不一定要在复杂问题中提升学生综合运用多种知识解决问题的能力，可在简单的题目

16、中，让学生体悟解题方法，进而在一些中等题中应用数学思想来解决问题。这就是“以退为进，以小见大”的复习理念，也是践行“勿因简单而放弃思考”的理念。在简单题中寻求思维突破，对其中所蕴含的数学思想先有初步认知，后续在解决中等题中深入体悟思想的作用，即在“退”中完成理解，在“进”中完成深化。因此，学生手中要有技能，可从简单题开始，在简单题中夯实技能才能往前走。以题点知，就是起点，进而在教师的知识串联和题目拓展中完成思维的提升，并去尝试解决中等题目，在思辨和互动中完成思维升华，这样学生才有能力在后续的技能训练中达成“举一反三”的效果。（一）目标明确，对症下药毛泽东在其军事思想中，一直坚持“伤其十指不如断其一指”，他曾反复强调，消灭敌人的方法是要有足够的兵力，即要集中优势兵力才能有效消灭敌人。复习课同样如此。为此课前先让学生做好主干知识梳理，找到自己的薄弱点和困惑点；课堂上，利用小组活动可以解决学生的基础薄弱点，集中火力突破学生的困惑点，从而提升复习课的效率。（二）用教师的减法催生复习的乘法思维是数学复习活动的核心，阶梯是数学复习活动的主题。为了促进学生主动自我复习的习惯，课前