新华东师大版七年级数学下册《9章 多边形9.3 用正多边形铺设地面用相同的正多边形铺设地面》课件_5

1、第第9 9章章 多边形多边形 9.3 9.3 用正多边形铺设用正多边形铺设 地面地面 1 课堂讲解课堂讲解 用相同的多边形密铺用相同的多边形密铺 用多种多边形密铺用多种多边形密铺 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 现在让我们回到本章一开始所提出的问题现在让我们回到本章一开始所提出的问题:某些形某些形 状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？ 实际生活中，它们的形状大多是正多边形，就让我们实际生活中，它们的形状大多是正多边形，就让我们 从此开始，探究一下其中的奥秘吧！从此开始，探究一下其中的奥

2、秘吧！ 1知识点知识点用相同的多边形密铺用相同的多边形密铺 使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既 不留下一丝空白，又不相互重叠呢不留下一丝空白，又不相互重叠呢? 这显然与正多边形的内角大小有关这显然与正多边形的内角大小有关.为了探索哪些为了探索哪些 正多边形能铺满地面，请根据下图完成表格正多边形能铺满地面，请根据下图完成表格. 知知1 1导导 知知1 1导导 正多边形的边正多边形的边 数数 34567n 正多边形的内正多边形的内 角和角和 180 360 正多边形每个正多边形每个 内角的大小内角的大小 6090。 。 知知1 1导导 由使用给定的

3、某种正多边形，当围绕一点拼在一由使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一 起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以 铺满地面铺满地面. 如正六边形的每个内角为如正六边形的每个内角为120，三个，三个120拼在拼在 一起恰好组成周角，所以全用正六边形瓷砖就可以铺一起恰好组成周角，所以全用正六边形瓷砖就可以铺 满地面满地面 (如图所示如图所示). 知知1 1导导 参见图参见图(1)、(2)，你能说明为什么正三角形和正，你能说明为什么正三角形和正 方形能铺满地面吗？方形能铺满地面吗？ 知知1 1导导 如图，正五边形不能铺满地面，正八边形也不如图，正

4、五边形不能铺满地面，正八边形也不 能铺满地面能铺满地面. 知知1 1讲讲 1. 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的 几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺 满地面满地面. 2. 用一种正多边形铺满地面的条件：用一种正多边形铺满地面的条件：(1)这些正多边这些正多边 形的边长都相等；形的边长都相等；(2)看正多边形的内角度数是否看正多边形的内角度数是否 是是360的因数，若是的因数，若是360的因数，则可以铺满地面，的因数，则可以铺满地面， 否则不可以铺满地面否则不可以铺满地面. 知知1 1讲

5、讲 (内江内江)下列多边形中，不能够单独铺满地面的下列多边形中，不能够单独铺满地面的 是是( ) A.正三角形正三角形 B.正方形正方形 C.正五边形正五边形 D.正六边形正六边形 例例1 导引：导引： 正五边形每个内角都是正五边形每个内角都是108，不是，不是360的因的因 数，所以不能够铺满地面数，所以不能够铺满地面. C 总总 结结 知知1 1讲讲 用同一种正多边形铺设地面，只能是正三角形、用同一种正多边形铺设地面，只能是正三角形、 正方形和正六边形中的一种，除此之外的任何一种正正方形和正六边形中的一种，除此之外的任何一种正 多边形单独使用都不可能无缝隙、不重叠地铺满地面多边形单独使用都

6、不可能无缝隙、不重叠地铺满地面. 特别地，相同的任意三角形或四边形也能铺满地面特别地，相同的任意三角形或四边形也能铺满地面. 1 (威海威海)如图，用一种大小相等的正多边形密如图，用一种大小相等的正多边形密 铺成一个铺成一个“环环”，我们称之为环形密铺，如图，我们称之为环形密铺，如图 不是我们所说的环形密铺不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行请你再写出一种可以进行 环形密铺的正多边形：环形密铺的正多边形：_. 知知1 1练练 2 用一种大小相同的正多边形能密铺的条件是用一种大小相同的正多边形能密铺的条件是 () A内角的度数都是整数内角的度数都是整数 B边数是边数是3的整数倍的整数倍

7、 C内角能整除内角能整除180 D内角能整除内角能整除360 知知1 1练练 3 只用下面四种正多边形中的一种不能密铺的是只用下面四种正多边形中的一种不能密铺的是() 知知1 1练练 2知识点知识点用多种多边形密铺用多种多边形密铺 知知2 2导导 如图，用正三角形和正六边形也能铺满地面如图，用正三角形和正六边形也能铺满地面. 类类 似的情况还有吗？似的情况还有吗？ 我们还可以发现其他的情况，如下图我们还可以发现其他的情况，如下图. 知知2 2导导 现以下图为例，观察一下其中的关系现以下图为例，观察一下其中的关系.正十二边形正十二边形 的一个内角为的一个内角为 = 150，正六边形的一个，正六边

8、形的一个 内角为内角为120，正方形的一个内角为，正方形的一个内角为90，三者之和恰，三者之和恰 为一个周角为一个周角360.实际上这三种正多边形结合在一起实际上这三种正多边形结合在一起 恰好能铺满地面恰好能铺满地面. 知知2 2导导 (122) 180 12 知知2 2讲讲 1. 由多种正多边形组合起来铺满地面的条件：围绕由多种正多边形组合起来铺满地面的条件：围绕 一点拼在一起的各个正多边形的几个内角相加后一点拼在一起的各个正多边形的几个内角相加后 和为和为 360. 2. 用两种正多边形铺满地面的常见种类有：用两种正多边形铺满地面的常见种类有： (1)正三角形和正方形；正三角形和正方形；(

9、2)正三角形和正六边形；正三角形和正六边形； (3)正三角形和正十二边形；正三角形和正十二边形；(4)正方形和正八边形正方形和正八边形. 3. 用三种正多边形铺满地面的常见种类有：用三种正多边形铺满地面的常见种类有： (1)正三角形、正方形和正六边形；正三角形、正方形和正六边形； (2)正方形、正六边形和正十二边形正方形、正六边形和正十二边形. 知知2 2讲讲 用正三角形和正方形组合能否铺满地面？若不能，用正三角形和正方形组合能否铺满地面？若不能， 请说明原因；若能，有几种情况？请说明原因；若能，有几种情况？ 例例2 导引：导引： 正三角形每个内角是正三角形每个内角是60，正方形每个内角是，正

10、方形每个内角是 90，根据，根据“每个顶点处，若干个正多边形的内每个顶点处，若干个正多边形的内 角的和为角的和为360”列方程，判断是否有正整数解列方程，判断是否有正整数解. 知知2 2讲讲 解：解：设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形的内角，个正三角形的内角，n个正个正 方形的内角，则有方形的内角，则有m60n90360，即，即2m 3n12，正整数解为，正整数解为 所以用正三角形和正方形铺地面，能铺满的可行方所以用正三角形和正方形铺地面，能铺满的可行方 案只有一种，即在每个顶点周围有三个正三角形和案只有一种，即在每个顶点周围有三个正三角形和 两个正方形两个正方形.(图案图案 如

11、图所示如图所示) 3, 2. m n 总总 结结 知知2 2讲讲 多边形能密铺必须满足绕一个点拼在一起的几个多边形能密铺必须满足绕一个点拼在一起的几个 角的和是角的和是360. 知知2 2讲讲 某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖某生产瓷砖的厂家因工作失误，使一批正方形瓷砖 的一角受到了同样的损害的一角受到了同样的损害(如图所示如图所示)，当有人决定将，当有人决定将 这批瓷砖全部报废时，一位总工程师设计了一个合这批瓷砖全部报废时，一位总工程师设计了一个合 理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地面理的方案，使这批瓷砖经过简单加工后又能铺地面 了了.请画图表示出这位总工程师的方案请画图

12、表示出这位总工程师的方案. 例例3 导引：导引： 按相同的要求、相同的规格割按相同的要求、相同的规格割 去瓷砖破损的一角即可去瓷砖破损的一角即可. （来自（来自点拨点拨） 知知2 2讲讲 解：解：将所有瓷砖切成相同的形状，如图将所有瓷砖切成相同的形状，如图1所示，密铺所示，密铺 方案如图方案如图2所示所示. 图图2 图图1 总总 结结 知知2 2讲讲 要使瓷砖能铺满地面，必须满足围绕一个点拼在要使瓷砖能铺满地面，必须满足围绕一个点拼在 一起的几个内角相加为一起的几个内角相加为360. 知知2 2讲讲 从边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正从边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正 八边形、

13、正十二边形中选出两种来铺设地面，求八边形、正十二边形中选出两种来铺设地面，求 出铺满地面所用的正多边形的个数，画出草图出铺满地面所用的正多边形的个数，画出草图.(要要 求写出三种铺设方法求写出三种铺设方法) 例例4 导引：导引： 正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十 二边形的内角分别是二边形的内角分别是60，90，120，135， 150，根据围绕在一个顶点处的内角和为，根据围绕在一个顶点处的内角和为360， 列二元一次方程，求正整数解列二元一次方程，求正整数解. 知知2 2讲讲 解：解：此题答案不唯一，以下三种铺设方法供参考此题答案不唯一，以下

14、三种铺设方法供参考. (1)用用m个正三角形，个正三角形，n个正六边形，则个正六边形，则60m120n 360，即，即m2n6.因为因为m，n为正整数，所以为正整数，所以 m2，n2或或m4，n1，即用，即用2个正三角形，个正三角形， 2个正六边形或个正六边形或4个正三角形，个正三角形，1个正六边形可铺个正六边形可铺 满地面，如图满地面，如图. 知知2 2讲讲 (2)用用m个正三角形，个正三角形，n个正十二边形，则有个正十二边形，则有60m 150n360，即，即2m5n12.因为因为m，n为正整数，为正整数， 所以所以m1，n2，即用，即用1个正三角形，个正三角形，2个正十个正十 二边形可铺

15、满地面，如图二边形可铺满地面，如图. (3)用用m个正方形，个正方形，n个正八边个正八边 形，则有形，则有90m135n360， 即即2m3n8，所以，所以m1，n2，即用，即用1个正方个正方 形，形，2个正八边形可铺满地面，如图个正八边形可铺满地面，如图. 总总 结结 知知2 2讲讲 解平铺地面问题的关键是：在一个顶点处几种图解平铺地面问题的关键是：在一个顶点处几种图 形平铺的角的度数和为形平铺的角的度数和为360. 1 下列美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六下列美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六 边形、正八边形中的三种密铺而成的为边形、正八边形中的三种密铺而成的为( ) 知知2 2练练 （来自（来自点拨点拨） 2 用几种正多边形能密铺的条件是围绕一点拼在一起用几种正多边形能密铺的条件是围绕一点拼在一起 的几个正多边形各内角的和恰好是的几个正多边形各内角的和恰好是() A45 B90 C180 D360 小李家装修地面，已有正三角形的地砖，现打算购小李家装修地面，已有正三角形的地砖，现打算购 买另一种不同形状的正多边形地砖，用这两种地砖买另一种不同形状的正多边形地砖，用这两种地砖 铺地面，则小李不应购买的地砖形状是铺地面，则小李不应购买的地砖形状是() A正方