新华东师大版九年级数学下册《27章 圆27.1 圆的认识圆的基本元素》课件_3

1、中考复习中考复习 圆的基本圆的基本 性质性质 圆的基本性质圆的基本性质 (1)(1)理解圆及其有关概念理解圆及其有关概念 b b (2)(2)了解弧了解弧 、弦、圆心角的关系、弦、圆心角的关系 a a (3)(3)探索并了解点与圆的位置关系探索并了解点与圆的位置关系 c c 探索圆的性质探索圆的性质 c c 了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周 角角 的特征的特征 a a 了解三角形的外心了解三角形的外心 a a 知识体系知识体系 圆圆 基本性质基本性质 直线与圆的直线与圆的 位置关系位置关系 圆与圆的圆与圆的 位置关系位置关系 概概 念念 对对 称称

2、性性 垂垂 径径 定定 理理 圆心角、圆心角、 弧、弦之弧、弦之 间的关系间的关系 定理定理 圆周角与圆周角与 圆心角的圆心角的 关系关系 切切 线线 的的 性性 质质 切切 线线 的的 判判 定定 弧长、扇形面积和圆锥弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算的侧面积相关计算 位位 置置 分分 类类 性性 质质 w篮球是圆吗？篮球是圆吗？ a圆必须在一个平面内圆必须在一个平面内 w以以3cm为半径画圆，能画多少个？为半径画圆，能画多少个？ w以点以点O为圆心画圆，能画多少个？为圆心画圆，能画多少个？ w由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ a半径确定圆的大

3、小；圆心确定圆的位置半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 w圆是圆是“圆周圆周”还是还是“圆面圆面”？ a圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线 w圆周上的点与圆心有什么关系？圆周上的点与圆心有什么关系？ w你发现你发现点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？是由什么来决定的呢？ 如果圆的半径为如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为点到圆心的距离为d，则：，则： 点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr O C A B 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心， 三角形叫做圆的三角

4、形叫做圆的内接三角形内接三角形。 问题问题1：如何作三角形的外接圆？：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？ 问题问题2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形内吗？在三角形内吗？ O C A B C90 O C A B ABC是锐角三角形是锐角三角形 O C A B ABC是钝角三角形是钝角三角形 及其推及其推 论论 想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两：将一个圆沿着任一条直径对折，两 侧半圆会有什么关系？侧半圆会有什么关系？ 性质：性质：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在所在 的直线都是它的的直线都是它的对称轴对称轴。 O

5、B C D A E 垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。 判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？ O CD B A O C D B A O CD B A O CDE 注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不 可！可！ O ABE 若圆心到弦的距离用若圆心到弦的距离用d表示，表示， 半径用半径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，表示， 这三者之间有怎样的关系？这三者之间有怎样的关系？ 2 22 2 a dr O A BC D AC、BD有什么关系？有什么关系？ ACBD依然成依然成 立吗立吗？ OA

6、BC D O A BC DF E EA_, EC=_。 FDFB O AB CD ：_ AC=BD. OA=OB O AB CD ：_ AC=BD. OC=OD w如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点， PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。 MA P B O 关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需 要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅 助线助线。 圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、 弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形， 便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三 角形的问题。角形的问题。 （1）平分弦

7、平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直垂直 于弦于弦，并且，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧； （2 2）弦的垂直平分线弦的垂直平分线经过圆心经过圆心，并且，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧； （3 3）平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径，垂垂 直平分弦直平分弦并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧。 O B CD A E 如图如图，CD为为 O的直径的直径，ABCD，EFCD， 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ 圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的弧相等所夹的弧相等。 F O B A E C D w圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线圆是轴

8、对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。都是对称轴。 w圆是以圆心为对称中心的圆是以圆心为对称中心的中心对称图形中心对称图形。 w圆还具有圆还具有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任 意一个角度意一个角度，都能与原来的图形重合。，都能与原来的图形重合。 如图如图，AOBAOB，OCAB， OCAB。 猜想：猜想：弧弧AB与弧与弧AB，AB与与AB，OC 与OC之间的关系，并证明你的猜想。之间的关系，并证明你的猜想。 定理定理 相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧相等，相等， 所对的所对的弦弦相等，所对的弦的相等，所对的弦的 弦心距弦心距相等。相等。 在同圆或等圆中，

9、在同圆或等圆中， O A B C A B C 圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弧相等， 圆心角圆心角所对的弦相等，所对的弦相等， 圆心角圆心角所对弦的弦心距相等。所对弦的弦心距相等。 在同圆或等圆中，在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等的其余各组量都分别相等。 在同圆或等圆中在同圆或等圆中 ( (前提 前提) ) 圆心角相等圆心角相等 （条件）（条件） 1圆心角圆心角 1弧弧 OA B C D n圆心角圆心角 n弧弧 圆心角的度数 和

10、它所对的弧 的度数相等。 O B A C O B C A O C A B O C A B O C A B O C A B 化化 归归 化化 归归 分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法 O C A B 1、已知已知AOB75， 求求： ACB O C A B 2、已知已知AOB120， 求求： ACB O D B A C 3、已知已知ACD30，求求： AOB OB A C 4、已知已知AOB110，求求： ACB w定理：一条弧所对的圆周角等于它所对定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半。的圆心角的一半。 w也可以理解为：一条弧所对的圆心角是也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所

11、对的圆周角的二倍；它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半等于它所对的弧的度数的一半。 w弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ w什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？ w直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过 来呢？来呢？ O B A D E C 如图，比较如图，比较ACBACB、ADBADB、AEBAEB 的大小的大小 同弧所对的圆 周角相等 如图，如果弧如图，如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE 和和FF是什么关系？反过来呢？是什么关系？反过来呢？ D C E

12、B F A O 等弧所对的圆周角相等； 在同圆中，相等的圆周角 所对的弧也相等 D C E O1 B F A O2 如图，如图，OO1 1和和OO2 2是等圆，是等圆， 如果弧如果弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE 和和FF是什么关系？反过来是什么关系？反过来 呢？呢？ 等圆也成立 推论推论1 1同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 思考：思考： 1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”的条件能否去掉？的条件能否去掉？ 2 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个

13、 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。其余各组量也相等。 O B A C D O C B A F E D O B A D E C 推论推论2 2半圆（或直径）所对的圆周角是半圆（或直径）所对的圆周角是9090； 9090的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 推论推论3 3如果三角形一边上的中线等于这条边如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。的一半，那么这个三角形是直角三角形。 w什么时候圆周角是直角？什么时候圆

14、周角是直角？ 反过来呢？反过来呢？ w直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什 么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？ w如图，已知如图，已知ABAB是是OO的弦，半径的弦，半径OPABOPAB，弦，弦 PDPD交交ABAB于于C C，求证：，求证：PAPA2 2PCPCPDPD C D P B A O 经验：经验： 证明等积式，通常利证明等积式，通常利 用相似；用相似； 找角相等，要有找同找角相等，要有找同 弧或等弧所对的圆周角弧或等弧所对的圆周角 的意识；的意识； 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD 是是ACB的平分线的平分线 问题（问题（1）：你能找出图中相等）：你能

15、找出图中相等 的圆周角和相等的线段吗的圆周角和相等的线段吗? O P D C B A 问题（问题（2）：图中有哪些相似的三角形？）：图中有哪些相似的三角形？ 问题（问题（3）：若点）：若点C在圆上上运动（不和在圆上上运动（不和A，B重合），重合）， 在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发在此运动过程中，哪些线段是不变的，哪些线段发 生了改变？生了改变？ O P D C B A 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是 ACB的平分线的平分线 问题（问题（4）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运运 动的过程中动的过程中,四边形四边形ADBC的最大面积为多少

16、的最大面积为多少? 此时此时CAD等于多少度等于多少度? 3 O P D C B A 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD 是是ACB的平分线的平分线 问题（问题（5）：若弦）：若弦AB= , BAD=30, 在点在点C运运 动的过程中动的过程中, 当当CAD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形 ADBC是梯形是梯形?证明你的理由证明你的理由 3 2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，A A4040 O是是ABCABC的外心，则的外心，则 BOCBOC . . 8080 如果如果O为内心，为内心，BOCBOC 110110 C C A A B B O O 1、判断：三

17、点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（） 练习练习 3. 3. 如图所示，矩形如图所示，矩形ABCDABCD与与OO交于点交于点A A、B B、F F、E E，DEDE 1cm,EF=3cm,1cm,EF=3cm,则则ABAB cmcm。 4.4.若若ABAB分圆为分圆为1515两部分，则劣孤两部分，则劣孤ABAB所对的圆周角所对的圆周角 为为 ( ( ) ) A.30 A.30 B.150 B.150 C.60 D.120 5 A 6.6.下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是 ( ( ) ) A.A.到圆心的距离大于半径的点在圆内到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.B.圆周角等于圆心角

18、的一半圆周角等于圆心角的一半 C.C.等弧所对的圆心角相等等弧所对的圆心角相等 D.D.三点确定一个圆三点确定一个圆 C 5 5、如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案，、如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案， 点点 A A 、 B B 、 C C 、 D D 、 E E 五 等 分 圆 ， 则五 等 分 圆 ， 则 A+B+C+D+EA+B+C+D+E的度数是的度数是 ( ( ) ) A.180 A.180 B.150 B.150 C.135135 D.120120 A 7 7、已知、已知O的面积为的面积为16.16. （1 1）若）若PO2.82.8，则点，则点P P在在O_.

19、. （2 2）若）若PO4 4， 则点则点P P在在O_. . （3 3）若）若PO5.85.8，则点，则点P P在在O_. . （1 1）时，时，与相切与相切 （2 2）时，时，与相交与相交 （3）时，）时， 与相离与相离 8 8、如图，、如图，RtRtABCABC的斜边的斜边ABAB， ABAB， B B，以为圆心作圆，半径为，以为圆心作圆，半径为 A C B 例例1 1；(1)(1)如图如图, ,已知已知ABAB、CDCD是是OO的两条弦的两条弦,OE,OE、OFOF 分别为分别为ABAB、CDCD的弦心距的弦心距, ,如果如果AB=CD,AB=CD,则可得出则可得出( (至少至少 填写

20、两个填写两个) ) AOB=COD, ,ABCD OE=OF O A E B C F D 图1 A B C O 图2 (2)(2)如图如图2,2,在在OO中中, ,弦弦AB=1.8cm,ACB=30AB=1.8cm,ACB=30, ,则则OO的直的直 径等于径等于 (3)(3)如图如图3,AB3,AB是半圆是半圆O O的直径的直径,E,E是是 弧弧CBCB的中点的中点,OE,OE交弦交弦BCBC于于 点点D,D,已知已知BC=8cm,DE=2cm.BC=8cm,DE=2cm.则则ADAD的长为的长为 cmcm A OB E C D 图3 3.6cm 2 13 w例例2 2、如图，已知在、如图，

21、已知在OO中，弦中，弦ABAB的长的长 为为8 8厘米，圆心厘米，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3厘米，厘米， 求求OO的半径。的半径。 O B A C w 例例3 3、如图，在、如图，在OO中，中，AC=BDAC=BD， w(1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？ w(2)(2)如果如果1=451=45，求，求22的度数的度数。 w(3)(3)如果如果ADAD是是OO的直径，的直径，1=451=45 求求BDABDA的度数的度数 21 O D A CB 例例4:4:如图如图,AC,AC是是OO的直径的直径, ,弦弦BDBD 交交ACAC于点于点E.E. A B D C

22、 E O (1)(1)ADEADEBCEBCE吗？吗？ 说明理由说明理由; ; (2)(2)若若CD=OC,CD=OC,求求sinBsinB的值的值. . 解解: : ADEADEBCEBCE A=B, D=CA=B, D=C ADEADEBCEBCE (1)(1) (2)(2) 若若CD=OC,CD=OC, 则则AC=2DC,AC=2DC, 又又 AC AC是是OO的直径的直径 ADC=90ADC=90 sinsin DC BA AC 1 2 【例【例5 5】如图，】如图，A A是半径为是半径为5 5的的OO内的一点，且内的一点，且OA=3OA=3， 过点过点A A且长小于且长小于8 8的弦

23、有的弦有 ( )( ) A.0 A.0条条 B.1B.1条条 C.2C.2条条 D.4D.4条条 A 【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直【解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直 于于OAOA的弦长的弦长BC=2 =8BC=2 =8即过即过A A点最短的弦长为点最短的弦长为8 8， 故没有弦长故没有弦长 小于小于8 8的弦，的弦，选选(A)(A) 22 OAOB 典型例题解析典型例题解析 典型例题解析典型例题解析 【例【例6 6】在直径为】在直径为400mm400mm的圆柱形油槽内，装入一部分的圆柱形油槽内，装入一部分 油，油面宽油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油

24、的深度. . 【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2) 图图(1)(1)中中 OC=OC= =120(mm)=120(mm) CD=80(mm)CD=80(mm) 图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm) CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=3

25、20(mm) 2222 160200BCOB 【例【例7 7】如图，】如图，O O是是CAECAE平分线上的一点，以点平分线上的一点，以点O O为为 圆心的圆和圆心的圆和CAECAE的两边分别交于点的两边分别交于点B B、C C和和D D、E E，连，连 结结BDBD、CE.CE. 求证：求证： (1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE. 典型例题解析典型例题解析 【解析【解析】 (1)(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等， 又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分线，联想到角平分线性质，的平分线，联想到角平分线性质， 故过故过O O

26、分别作分别作OGACOGAC于于G G， OHAEOHAE于于H H， OG=OHOG=OH BC=DEBC=DE (2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=DE，G G、H H分别是分别是BCBC、DEDE的中点的中点. . 再由再由AOGAOGAOHAOH AG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE. (3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据圆的内接四边形的，再根据圆的内接四边形的 性质定理知性质定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE. 课时训练课时训练 1.1.如图，设如图，设OO的半径为的半径为r r，弦，弦A

27、BAB的长为的长为a a，弦心距，弦心距 OD=dOD=d且且OCABOCAB于于D D，弓形高，弓形高CDCD为为h h，下面的说法或等式：，下面的说法或等式： r=d+hr=d+h 4r4r2 2=4d=4d2 2+a+a2 2 已知：已知：r r、a a、d d、h h中的任两个可求其他两个，中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. C 2.2.下列命题中，正确的是（多项选择题）下列命题中，正确的是（多项选择题） ( () ) A.A.一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在一个点到圆心的距离大

28、于这个圆的半径，这个点在 圆外圆外 B.B.一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线 C.C.两圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条两圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条 公切线公切线 D.D.圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线 与圆有两个交点与圆有两个交点 A、C、D 3.3.如图所示，已知如图所示，已知RtRtABCABC中，中， C=90C=90,AC= ,BC=1,AC= ,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径的为半径的 圆交圆交ABAB于于P

29、 P，则，则APAP 。 2 3 3 4.4.如图所示，弦如图所示，弦ABAB的长等于的长等于OO的半径，点的半径，点C C在在AmBAmB上上, , 则则C=C= 。 30 5.5.半径为半径为1 1的圆中有一条弦，如果它的长为的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么，那么 这条弦所对的圆周角为这条弦所对的圆周角为 ( ( ) ) A.60 A.60 B.120 B.120 C.45 C.45 D.60 D.60或或120120 D 6.6.(2003年年江苏苏州市江苏苏州市)如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于OO， 若它的一个外角若它的一个外角DCE=70DCE=70，则，则BOD=( BOD=( ) ) A A3535 B.70 B.70 C C110110 D.140 D.140 D 3 例例1 (1) O的半径为的半径为2,点点P是是 O外一点外一点, OP的长为的长为3, 那么以那么以P为圆心为圆心,且与且与 O相切的圆的半径一定是相切的圆的半径一定是( ) A. 1或或5 B. 1 C. 5 D.1或或4 (2)若半径分别为若半径分别为2与与6的两个圆有公共点的两个圆有公共点,则圆心