山东省恒台第一中学2019届高三数学上学期诊断性考试试卷理含解析

1、山东省恒台第一中学2019 届高三数学上学期诊断性考试试卷理（含解析）说明： 本试卷满分150 分，分为第 I 卷 ( 选择题 ) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分， 第 I 卷为第 1页至第 2 页，第卷为第3 页至第 5 页。试题答案请用2B 铅笔或 0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120 分钟。第 I 卷 ( 共 60 分)一、选择题( 本题包括12 小题，每小题5 分，共 60 分。每小题只有一个选项符合题意)1. 已知集合（ ）A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】结合题意 , 计算集合 A, 计算交集 , 即可 .【详解】解得, 所以,

2、 故选 A.【点睛】本道题考查了交集运算方法, 属于较容易题 .2. 命题“，都有”的否定是 ( )A.，都有 x 0B.，使得 x 0C.，使得 x 0D.，使得 x 0【答案】 B【解析】【分析】结合命题否定改写改为,改为, 即可 .【详解】命题否定,改为,改为, 故该命题的否定为，使得 x 0, 故选 B.【点睛】本道题考查了命题的否定改写, 难度较简单 .3. 函数在点处的切线是 ()A. x 轴B. y轴C.x 轴和 y 轴D.不存在【答案】 A【解析】1 / 17【分析】本道题求导，计算斜率，利用点斜式，计算切线方程，即可。【详解】求导得到, 所以切线斜率为0, 而切线过，故为 x

3、 轴。【点睛】本道题考查了运用求导计算切线斜率，考查了点斜式方程计算方法，难度较小。4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】 B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到故体积，故选 B。【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等。2 / 175. 已知向量均为非零向量，则的夹角为（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】, 解得：，即，的夹角为故选： C6. 设 x， y 满足约束条件的最小值是（）A.B. 0 C. 1 D. 2【答案

4、】 B【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式，还原可行域，如图：3 / 17将转化成，该目标函数从虚线位置平移，当移到A 点的时候， z 取到最小值，而A 的坐标为，代入目标函数，计算出z=0.【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制出可行域，将目标函数转化为一般函数，平移，计算最值，即可，难度中等。7. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献. 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音， 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第

5、一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】 D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解 .详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选 D.4 / 17点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列 .8. 将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数满足 ()A.在区间上单调递增B.对称轴是C. 在区间上单调递减D.对称中心是【答案

6、】 B【解析】【分析】本道题化简得到, 结合正弦三角函数的性质, 依次判定，即可。【详解】结合左加右减原则，得到对 A 选项 , 单调递减区间满足, 解得, 故 A 错误 .B 选项 , 对称轴满足, 解得, 故 B 正确 .C选项 , 单调递减区间满足, 解得而不在这个区间 , 故 C 错误 .D选项 , 对称中心满足, 解得, 故 D错误 . 故选 B.【点睛】本道题考查了正弦三角函数的性质，难度中等。9.的展开式中的系数是 ()A. 90B.C. 15D.【答案】 B【解析】【分析】利用二项式系数公式，计算系数，即可。5 / 17【详解】，而的二项式系数满足因而的系数为，故选 B。【点睛

7、】本道题考查了二项式系数公式，属于中等难度的题。10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点， P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C 的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为()A. B. 3 C. 2 D.【答案】 D【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与 c 的等式，计算离心率，即可。【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余弦定理，得到，6 / 17而结合，可得，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选 D。【点睛】本道题考查了余弦定理以

8、及双曲线的性质，难度偏难。11. 已知 O为坐标原点，直线若直线 l 与圆 C 交于 A，B两点，则 OAB面积的最大值为()A.B. 4C.D. 2【答案】 D【解析】【分析】本道题分别计算三角形的高和底边，结合三角形面积计算公式，结合二次函数性质，即可。【详解】设圆 C 的圆心为C，直线过定点，点 O到直线 l 的距离为，而结合直线与圆所截的弦长公式为所以面积为，令得到，当时候，S 取最大值，为 2，故选 D。【点睛】本道题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了换元思想，难度中等。12. 若函数是 R 上的单调函数，且对任意的实数x 都有，则7 / 17()A.B.C.D. 1【答案】 C【

9、解析】【分析】本道题先计算出的解析式，然后代入x 的值，计算结果，即可。【详解】假设，得到，进而从而当，因为是单调函数，所以当，得到，所以，因而，故选 C。【点睛】本道题考查了函数解析式的计算方法，关键得出，即可，属于较难的题。第卷 ( 非选择题，共90 分 )二填空题 ( 本题包括4 小题，共20 分 )13. 设随机变量_.【答案】 0.3【解析】【分析】结合随机变量X 图像关于x=3 对称，计算概率，即可。【详解】分析知道,M 与 6-M 关于 3 对称 , 属于【点睛】本道题考查了离散型随机变量函数图像，难度较容易。14. 若_.【答案】【解析】【分析】8 / 17利用诱导公式, 即可

10、 .【详解】【点睛】本道题考查了诱导公式, 关键抓住, 属于容易题 .15. 在直三棱柱为 AC的中点直线与直线所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】结合题意，构造空间坐标系，利用空间向量数量积公式，计算夹角，即可。【详解】构造空间直角坐标系，设BC为 x 轴， AB 为 y 轴，为 z 轴，则,，所以，结合空间向量数量积公式得到，得到，所以【点睛】 本道题考查了空间向量数量积运算公式，关键建立空间坐标系，即可，属于中档题。16. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为 _.9 / 17【答案】 3【解析】【分析】可以将函数零点问题看成两个函数交点问题, 结合函数关于对称 ,

11、计算结果 , 即可 .【详解】的零点问题可以转化成与的交点 , 而函数的零点问题可以看成与的交点 , 结合反函数的求解得出与互为反函数 , 关于对称 , 绘制函数图像, 得到结合对称可知 , 而, 所以, 而,G 点坐标为, 所以【点睛】本道题考查了函数零点问题, 关键将零点问题转化成函数交点个数问题, 属于较难的题.三解答题 ( 本题包括6 小题，共70 分 )17. ABC中，角 A,BC 所对边分别为.（1）求角 C；（2）若 ABC的面积为，求边 c 的值【答案】（ 1）（2） 2【解析】10 / 17【分析】（1）利用正切两角和公式，计算，计算 C 角，即可。（ 2）结合三角形面积计

12、算公式，计算出 b，结合余弦定理，计算c，即可。【详解】解：（ 1）因为，所以所以因为，所以，所以所以（2）， 所以所以，所以【点睛】本道题考查了正切两角和公式，考查了三角形面积计算公式，考查了余弦定理，属于中档题。18. 在数列中，前 n 项和为（1）求数列的通项公式；（2）项和，若恒成立，求k 的最小值 .【答案】（ 1）（ 2）1【解析】【分析】（1）运用，得到递推公式，发现是等差数列，计算通项，即可。（ 2）对运用裂项相消法，求和，得到 k 的范围，即可。【详解】解：（ 1）因为所以相减得：所以，所以是首项为1，公差为1 的等差数列11 / 17所以（ 2）所以因为恒成立，所以，即.【

13、点睛】本道题考查了等差数列通项计算方法，考查了裂项相消法求和，难度较难。19. 已知椭圆经过点，过定点的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，与点 A，B 对应的“椭点”分别是P，Q，( 定义：若点在椭圆上，则称为椭圆C上与点 M对应的“椭点”)（1）求椭圆C 的方程。（2）若，求直线l 的方程【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】（1）把该点坐标代入椭圆方程中，计算 b，得出椭圆方程， 即可。（ 2）结合题意，证明，结合向量数量积为0，建立等式，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系，代入中，计算参数，即可。【详解】解：（ 1）因为椭圆经过点所以椭圆的方程为（2）设，则，

14、所以，12 / 17所以因为（ * ）由已知得，l斜率存在，设，所以所以所以，所以代入（ * ）式得：所以直线l 的方程是或【点睛】 本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，关键找出，结合根与系数关系，计算参数，即可，所以较难的题。20. 如图，在四棱锥是平行四边形，（1）证明：平面平面 PCD；（ 2）求直线 PA与平面 PCB所成角的正弦值【答案】（ 1）详见解析（ 2）【解析】【分析】（1）证明 AC平面 PCD，结合平面与平面垂直判定，即可。（2）建立空间直角坐标系，分别得出 O,P,A,B,C坐标，计算平面PCB的法向量，计算向量坐标，结合空间向量数量积，计算，即可。【

15、详解】解（ 1）证明：因为13 / 17所以所以所以因为，所以因为所以（2）由（ 1）知所以交线为 CD，过 P 在平面 PCD内做 CD的垂线，垂足为O，取 BC中点为 M，连 PM,AM，因为在中，因为,所以, 又平面 PAM所以,因为, 所以, 因为直线AP平面 PAM,所以直线AB直线 AP,又, 所以.在中，由余弦定理得,即所以,由此，所以以直线 OP为 z 轴，直线OD为 x 轴，直线OB为 y 轴建立空间直角坐标系.所以设是平面 PBC的一个法向量，因为所以，取，又,所以，,所以直线PA与平面 PCB所成角的正弦值.【点睛】 本道题考查了平面与平面垂直的判定，考查了空间向量数量积

16、计算夹角问题，难度14 / 17偏难。21.2018 年“双十一”期间，某商场举办了一次有奖促销活动，顾客消费每满1000 元可参加一次抽奖 ( 例如：顾客甲消费930 元，不得参与抽奖； 顾客乙消费3400 元，可以抽奖三次) 。如图 1，在圆盘上绘制了标有A， B， C，D 的八个扇形区域，每次抽奖时由顾客按动按钮使指针旋转一次， 旋转结束时指针会随机停在圆盘上的某一个位置，顾客获奖的奖次由指针所指区域决定 ( 指针与区域边界线粗细忽略不计) 。商家规定：指针停在标A，B， C， D的扇形区域分别对应的奖金为200 元、 150 元、 100 元和 50 元。已知标有A， B， C， D

17、的扇形区域的圆心角成等差数列，且标D 的扇形区域的圆心角是标A 的扇形区域的圆心角的4 倍(I) 某顾客只抽奖一次，设该顾客抽奖所获得的奖金数为X 元，求 X 的分布列和数学期望；(II)如图 2，该商场统计了活动期间一天的顾客消费情况现按照消费金额分层抽样选出15位顾客代表， 其中获得奖金总数不足100 元的顾客代表有7 位现从这 7 位顾客代表中随机选取两位，求这两位顾客的奖金总数和仍不足100 元的概率【答案】（ 1）详见解析（ 2）【解析】【分析】（1）分别计算出 X=50,100,150,200对应的概率，计算期望，即可。（ 2）结合古典概型，计算出，结合，即可。【详解】解：（ 1）

18、设标有 A,B,C,D的扇形区域的圆心角分别为由题意知：所以顾客抽奖一次，获得奖金 X 可能取值为50,100,150,200 ，所对应的概率分别为所以 X 的分布列为X5010015020015 / 17P期望（2）由已知得：1 消费金额位于内的顾客，获奖金额一定高于100 元，2 消费金额位于内的顾客获奖金额为0 元，3 消费金额位于内的顾客获奖金额可能为50,100,150,200元分层抽样得内抽到的顾客代表人数为人，则获得奖金总数不足100 元的剩余4 位顾客代表必然获得奖金数为50 元 .设获奖金额为 0 元的三位顾客代表为，获奖金额为50 元的四位顾客代表为事件“从这 7位顾客代表中随机选取两位的奖金总数仍不足100 元”“从这 7 位顾客代表中随机选取两位的奖金总数等于100 元”从这 7 位顾客代表中随机选取两位的基本事件空间为：共有 21 个基本事件；共有 6 个基本事件。从这 7 位顾客代表中随机选取两位，他们的奖金总数仍不足100 元的概率为【点睛】不同考查了分布列计算期望，考查了古典概型计算公式，难度中等。22. 已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）若