中线倍长法和截长补短法学

1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法： 1 (AB+AC)例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD1分析：要证明AD AE AC+AB 2AD，即 AD1 (AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。 它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。课题练习：ABC中，AD是 BAC的平分线，且 BD=CD，求证AB=ACC例2:中线一倍辅助线作法、EN例3: ABC中，AB=5 , AC=3，求中线 AD的取值范围例4:已

2、知在 ABC中，AB=AC , D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且EDF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,求证：AF=EF例5：已知：如图，在 ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC过D作DF /BA 交 AE于点 F, DF=AC.第1题图求证：AE平分 BAC求证：/ C=/ BAE课堂练习：已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE是 ABD的中线,作业：与DC的延长线1、在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ BAE= / EAF

3、 , AF 相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论ADF2、已知：如图， ABC中， C=90 , CM AB于M , AT平分 BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE.BC3:于已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC，延长BE交ACF,求证：AF=EF4:已知 CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的中线,求证：/ C=/ BAEABAE= / EAF , AF与DC的延长线并证明你的结论5、在四边形 ABCD中，AB / DC, E为BC边的中点，/ 相交于点F。试探

4、究线段 AB与AF、CF之间的数量关系,ADCEC（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABCD中 , BOAB A&DC BD平分/ ABC求证：/ BAD/BCD180 .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现 .证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF丄BC于点F,如图1-2 BD平分/ ABC. DE=DF在 RtA ADE与 RtA CDF中,DE DFAD CD Rt ADE RtA CDF HD，DAE/ DCF又/ BAD/ DA匡

5、180,./ BAD/ DCI=180,即/ BAD/ BCD180例2.如图 2-1 , AD/ BC 点 E在线段 AB上,/ ADE/ CDE / DCE/ ECB求证：C=ADhBC例3.已知,求证：/图3-1如图 3-1 , / 1 = / 2, P为 BN上一点，且 PDL BC于点 D, ABhBC=2BD BAR / BCP180 .例4.已知:如图 4-1，在 ABC中,/ 0= 2/ B,/ 1 = / 2.求证：AB=AQCDC作业：1、已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD：/FAE求证：BBDFAEDFC2、五边形 ABCD中，AB=AE B(+DE=CD / A

6、BC/ AED180,求证：AD平分/ CDEE图1（三）其它几种常见的形式:1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全 等三角形。例：如图1:已知ABC的中线，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求证：BE CF EFo2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全 等三角形。例：如图2： AD为ABC的中线，且/ 1 = / 2，/ 3=/ 4,求证：BE+ CF EFM图2练习：已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各 向形外作等腰直角三角形，如图 4，求证EF= 2ADF图43、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AOBD, ADIAC于A , BCIBD于B, 求证：AD= BC64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。D7例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC求证：AB=CD5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90,/ 1 = / 2, CELBD 的延长于E。求证：BD- 2CE6连接已知点，构造全等三角形。例如：