一元二次方程实数根的分布的探究

1、元二次方程实数根的分布的探究山东省肥城市第一高级中学汪达胜一元二次方程实数根的分布问题，在初高中教材中均有出现，是初高中衔接点.高中学习函数的零点的判断方法后，一元二次方程实数根的分布问题变得复杂多变，处理方法更是灵多样，成为高考能力考查的载体；仅靠初中学习的韦达定理和根的判别式来处理不很方便，笔者运用高中函数知识做以下研究并附以口诀，以期较全面地解决该问题.研究的思想：函数与方程的思想、数形结合思想、等价转化的思想和分类讨论的思想研究的方法：利用一元二次方程根与二次函数零点关系、二次函数的连续性、函数零点 的存在条件，探求存在合乎条件零点存在的条件，将根的分布问题转化为混合组来解决 方程有两

2、不等实数根为研究基础作变式推广进行拓展性研究，进而解决与之相关的问题基础研究记 f（X）= ax2+bx+c, A = b2 4ac,x对一兀二次方程 ax +bx+c=0(a丰0)有两不等实数根 xi、X2(xi X2)的分布研究，两实数根分布情况可分为两类情况2a1.两实数根分布两区间(1)两实数根分布在两连续区间X1、X2（X1 X2）若定理1 : 一元二次方程ax2+ bx+c=0(a丰0)有两不等实数根XX1 迂（_oc , k ）,X2 忘（k,畑即Xi ck0则如图1则只需! a 0lf(k)0若a 0以上两种情况均可用 af(k) 0.证明较易从略，以下做相同处理4定理2 :

3、一兀二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)有两不等 实数根X1、X2（X1 X2）若X1 壬（ki,k2）,X2 壬（k2,k3）即kiXi vk20若a0则如图3则只需|f 仆2 ）0yfia cOf （ki）0 若a 0则如图4则只需0f （kJ0kik3 x图3yiF 1/片（-KC1k2| k图4itk2X(2)两实数根分布两断开区间内2定理3 : 一元二次方程ax+bx+c=0(a丰0)有两不等实数根X1、X2(X1 X2)若Xi 巳虫,ki),X2 巳k2,母i)( ki0则如图5则只需 f (匕)0f 仆2 )0则如图6则只需 f (kJ0f (k0定理4 : 一元二次方程ax2

4、+bx+c=0(a丰0)有两不等实数根X1 亡(k1,k2),X2 巳k3 ,k4)即k1 xkX20若a0则如图7则只需 f (k0 f (k0f(k4)A0a cOf (kJ0则如图8则只需 f (k0f (k0f (k4 )0r/ X1 I1x2T xIk1k2lxJ图6X1、X2(X1 X2)若kilk2k I k Xi图3i综上一元二次方程两实数根分布两区间时， 值的正负即可.例1 :对于关于X的一元二次方程mx2+(1)有一正根一负根；(3) 个根大于3，一个根小于2;上述四类均可用四个定理解决，解略 、4只需考虑相应抛物线的开口方向和区间端点函数(2m-1) X+1=0 ,求满足

5、下列条件的 m的取值范围 (2) 一个根在(4) 一个根在1和2之间，一根在1和3之间，一根在3到5之间3至U 5之间；答案：(1) m0, (2) 一 cmv , (3)一 835(3)两实数根分布一区间定理5 : 一元二次方程Ovmc1 (4)842一 m 一35152ax +bx+c=0(a 工0)有两不等实数根X1、X2(X10 0 若a0则如图9则只需.|f (k )0x对 V ka c0若a0f (k)0 x对 kI-Q定理6 : 一元二次方程ax +bx+c=0（a丰0）有两不等实数根X1、X2(X1kla 0yo若a0则如图若a0则如图q X 巧X图12定理7 : 一元二次方程

6、ax2+bx+c=0（a丰0）有两不等实数根X1、X2(X1 X2)若X1 亡(匕山2 ),X2 忘(Kh )即k1 CX1 0 0若a0则如图13则只需f (kj0f (k0kic乂对 k2I.X1k图13k2 Xa 0I若a0则如图14则只需 f (kj0f (k2 )0ki 0, (3) m-3对于一元二次方程有两不等实数根的分布的7个定理，为方便记忆笔者总结了口诀如下:一元二次根分布，分类处理记清楚.两根若在两区间，开口方向加端点.两根若在一区间，四个方面要齐全；开口方向判别式，端点正负轴位置.拓展研究21. 当一元二次方程 ax +bx+c=0(a丰0)有两等实数根时，一区间的类型处

7、理，只须将判别式改成等于零即可.22. 当一元二次方程 ax +bx+c=0(a丰0)有一个实数根在(数及另一实数根与区间的关系进行研究(以a 0为例)、【/可归纳到上面两不等实数根分布到ki, k2)内时，可从方程实数根的个 =0推论1.方程有两等实数根如图15则只需f (kJ0f (k0ki x对 k2y.iC ,1 1 / zk，% k2图15x口“ 也=0叫 k15 k2推论2.方程有不等实数根一个根在(ki, k2)内，另一根在该区间外只需f (kJ f (kJ0f (kj=0简化*,kx 对f (k0I对k1X对 0F=0f(k2)= 0当为右端点如图17只需0 即彳k +f 化2

8、 )=0K x对吒k2k223.当区间为闭区间时，只须将上述条件中区间端点函数值做相应改动即可例3已知a是实数，函数f(x)=2ax2 +2x 3 a,如果函数y =.xk， 2x图17f(x)在区间1,1】上有零点，求a的取值范围.分析：函数y = f(x在区间L 1,1 上有零点，即方程f(x)=0在区间L 1,1 上有实数根.先从f(x)=0是一元一次方程还是一元二方程入手分类讨论，判断一元一次方程的实数根10是否在给定区间内，再对二次方程分有两不等实数根和两个相等实数根及根与区间的关系进 行分类，最后化归为混合组来解决.3解：1.若 a=0,由 f(x) = 0 解得 x=-1,1 ,

9、2f (X)= 2x -3在 L 1,1 上没有零点a H 0f(x)= 0为一元二次方程(1)方程f(x) = 0在L 1,1 两等实数根即=f(x在区间L1,1 上有一个零点时，只需-3-77a =2= 4+8a(3 + a)= 02,解得1-10f(1)00 j(-n0f(1)05或a 3-疗20方程f (x) = 0在(一1,1)内恰有一根即y = f(X )在(一1,1)上恰有一个零点时,则 f (-1 卜f(1)=(a-1 )(a-5)v0，解得 1ac50方程f(x) = 0在L 1,1 上至少一根即y = f(x )在L 1,1 上 至少一端点时.则 f( 1)=0 或 f(1)=0，解得 a=5 或 a=1,综上所求实数a的取值