电磁学中的对称性应用解析

1、精品好资料学习推荐电磁学中的对称性应用解析作者：李辉强来源：中学理科园地2012年第05期摘要：本文主要研究在电磁场中存在的对称性问题，对称性的种类（转动与平移对称性，镜像反演对称性等）在电磁学中的应用。通过一些具体的实例应用对称性分析，培养学生的发散性思维，帮助学生抓住问题的要点，巧用对称性分析找到解题的捷径。关键词：对称性；镜像反演对称性；发散性思维；灵感物理学中的各种物理现象、物理过程和物理规律中广泛存在着一种奇妙而又神秘的对称性，它显示出物质世界的和谐、优美和均衡。应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些复杂的物理问题，这种思维方法在物

2、理学中称为对称法。利用对称法分析解决物理问题，往往可以得到一些简捷的解题方法而免去一些繁琐的数学计算，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解物理问题，从而能够更清楚地展现物理问题的实质。学生通过对称性问题的思考和研究，学会应用对称性的方法解决物理问题，在物理问题的探索中能激发灵感，培养分析物理问题的能力和发散性思维的能力，提高学习物理的兴趣，树立学好物理学的信心。有利于提高形象思维能力和建立物理模型的能力，提高处理局部与整体的综合能力。对称性方法可广泛应用于力学、运动学、光学、热学、电磁学以及微观领域的研究，尤其是对微观粒子的探索，更是近代物理学家对其孜孜不倦的理念。如在20世纪20年代

3、，狄拉克提出每种粒子都有其反粒子，如反中子、反电子、反质子等。本文主要从电磁学方面的应用，以三个层次来研究对称和对称性相关问题。一、粒子运动轨迹形式的对称性；二、镜像反演对称；三、某些非对称性问题转化成对称性问题。一、粒子运动轨迹形式的对称，即旋转对称性一个球体无论怎么转动，看上去都一样，具有球对称性；一朵有5个花瓣的花，绕中心轴转过2/5角，看上去也毫无变化，因而具有2/5角的旋转对称性；在各向同性的空间中，绕任意轴或任意点旋转任意角度，空间也是等价的，具有旋转对称性。例1 如图1所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的半径为r0。

4、在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内存在沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速度为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计粒子的重力，整个装置在真空中）解析 该题粒子的运动具有周期性，对应的轨迹具有对称性（如图2所示），所以只要粒子能沿半径方向进入b狭缝，它就能回到S点。根据对称性，粒子轨迹半径等于外筒半径r0。二、镜像反演对称法人及物体的左右对称，就是以中轴面为镜像的镜像对称；一个正三角形以中垂线为对称也是镜像对称的。

5、例2 如图3所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放有带电量为-q的点电荷。（1）试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度；（2）试求感应电荷在导体外P点产生的电场强度（P与P点对导体板右表面是对称的）；（3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直。三、一些非对称性问题可看成若干个对称问题的叠加后转化成对称性问题来解决。在求某处的场强时，电荷如对称分布，就能运用高斯定理，比较方便地求出该点的场强。如果分布不对称，有时可采用几个对称分布场强的叠加。例3 如图5所示，在一实心大球体内挖去一个较小的球形孔，余下部分均匀带电，体电荷密度为，试证明小球形孔内为匀

6、强场区。解析 挖去的小球形孔可视为电荷体密度分别为和-的两个小带电球的复合体。于是带电系统为带电的大球与带电-的小球的组合。利用均匀带电球的场强分布，结合场强叠加原理，即可计算小球孔内的场强。根据高斯定理，在电荷体密度均匀分布的带电球的场强为：为证明小球孔内任一点P的场强均匀，可先计算小球球心O点的场强，再证明小球孔内任一点P的场强与O点的场强相等即可。如图5所示，根据高斯定理，O点的场强为EO=a，式中a是O到O的矢量。小球孔-在O点的场强为0。在孔内任取另一点P，则带电的大球和带电-的小球在P点的场强EP1与EP2之和即为P点的场强，即因任一点P的场强与小球O点的场强相同，故小球孔内为匀强场区。从以上几个电磁学中的对称性的例子，分别用空间旋转对称法、镜像反演法以及看上去并不对称的问题，可看成若干个对称问题的叠加后转化成对称性问题来解决，这不失为解决问题的一种思路。利用对称性我们可以不必精确地求解就可以获得一些知识，使得问题简化，甚至一些很难的问题也可以迎刃而解。若能从电磁学中的对称性例子中真正的体会到了对称性方法的精髓，对于我们