数列新定义专题

1、-精选文档 -课题：基于数列的新定义相关题型数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实， 并能运用连贯， 并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。基本要求： 学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。1 、数列与函数相结合1） 与二次函数相结合例：在直角坐标平面上有一点列P1 (a1 ,b1 ),P2 (a 2 ,b2 ),P3 (a 3 ,b3 ),n(a,Pn ,bn ), 对每一个自然数n,点 P

2、n (a n ,bn )在函数 y=x 2 的图象上，且点Pn(a n ,b n),点 A(n,0), 点 B(n+1,0) ，构成一个以点Pn (a n ,bn )为顶点的等腰三角形。（ 1 ）求对每一个自然数n ，以点 Pn 纵坐标构成的数列b n 的通项公式；（ 2 ）令，求的值。2 ）与指数函数相结合例：在xOy 平面上有一点列P1(a 1 ,b 1),P2 (a 2,b 2 ),P3 (a 3,b 3),n (a,Pn ,b n),对每一个自然数 n ，点 Pn (a n,b n )在函数 y=的图象上，且点 Pn (a n ,b n )，点 (n,0)与点 (n+1,0) 构成一个

3、以点Pn (a n,b n )为顶点的等腰三角形。可编辑-精选文档 -（ 1）求点 Pn(a n , b n )的纵坐标 b n 的表达式；（ 2）若对每一个自然数 n, 以 b n , b n+1 , bn+2 为边长能构成一个三角形，求 a 的范围；（ 3）设 Bn =b 1 b 2b 3bn(n N + )，若 a 是 (2) 中确定的范围内的最小整数时，求Bn的最大项是第几项？3 ）数列与对数函数相结合例：已知函数,（1 ）n=1,2,3,时把，已知函数的图像和直线 y=1 的交点横坐标依次记为 a,a ,a，123a, 。 求证： a+a+a3+ +a1;n12n（2 ）对于每一个n

4、 值，设 A n,Bn 为已知函数图像上与x 轴距离为 1 的两点，求证n 取任意一个正整数时，以A nBn 为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。4 ）数列与分段函数相结合例：设函数y=f(x) 的图像是自原点出发的一条折线。当n y n+1(n=0,1,2,) 时，该可编辑-精选文档 -图像是斜率为b n 的线段（其中正常数b 1 ）。设数列 x n 由 f(x n)=n(n=1,2,3,) 定义。（ 1） 求 x1 , x2 和 xn 的表达式；（ 2） 求 f(x) 的表达式，并写出定义域。5 ）数列与反函数相结合例：已知函数 f(x)=(x 2) 的反函数为y

5、=f -1 (x) ，若数列 a n的前 n 项之和+1 的自然数 n 都有 Sn=f-1(Sn-1 ) ，且 a 1=2，求数列 a n的通为 Sn (n N )。对所有大于项公式。2 、数列与三角相结合把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点，只有这样才能将所遇困难有效化解.例：数列 an 的通项公式ann cos n，其前 n 项和为 Sn ，则 S2016 等于多少？2可编辑-精选文档 -例： Snsinsin 2Lsin n(nN ) ，则在 S1 ， S2 ， S100

6、 中，正数的个数777是多少？例：数列 an 的通项公式 ann2(cos2 nsin 2 n ) ，其前 n 项和为 Sn .S3 n33（）求 Sn ；（）令 bnn，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .n 43 、其他新定义题型这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提条件，再引出问题， 该类题型重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。an 满足11N, d 为常数） ,则称数列 an 为调和数列。已例：若数列an 1d （ nan1x1 x2x20200 ，则 x5x16 _.知数列为调和数列，且xn可编辑-精选文档 -例：定义： 称 P1 P2n为 n 个正

7、数 P1 , P2 , Pn 的“均倒数”。若数列an 的前 n 项Pn1an 的通项公式为 _.的“均倒数”为，则数列2n1例：有限数列 A（a1 , a2 ,）S1S2Sn为 A 的“凯森an ， Sn 为其前 n 项和，定义n和”，如有500项的数列 (a1 , a2 , a500 ) 的“凯森和”为2004 ，则有501 项的数列(2, a1, a2 , a500 ) 的“凯森和”为 _.例：定义“等和数列” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an 是等和数列，且a12 ，公和为 5 ，那么 a18 的

8、值为，这个数列的前 21 项和 S21 为 _.例：在数列 a中，对任意an 2an1k （k为常数），则称数列 a 为“等nn N 都有annan 1差比数列” .下面对“等差比数列” 的判断： k 不可能为0 ；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为anabnc （ a0 ， b 0,1 ）的数列一定是等差比数列；等差比数列中可以有无数项为0，其中正确的是 _.例：定义：若数列an 对任意的正整数n ，都有 anan 1d （ d 是常数），则称 an 为可编辑-精选文档 -“绝对和数列” ，d叫做 “绝对公和” 。已知“绝对和数列”an中， a2 ，“绝对公和”1

9、d 2 ，则其前 2010 项和 S2010 的最小值为 _.例：设 Sn 是数列S2 n（ n N ）是非零常数，则称数列an 为“和an 的前 n 项和，若Sn等比数列”。（1） 若数列 2bn是首项为 2 ，公比为 4的等比数列，则数列bn _（填“是”或“不是”） “和等比数列” .（2）若数列 cn1d（d 0）的等差数列，且数列cn 是“和等比是首项为 c ，公差为数列”，则d 与 c1 之间满足的关系为 _.例：在数列 an22N ， p 为常数），则称数列an 为“等中，若an an 1p（ p 2, n方差数列”。下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则an2是等

10、差数列； ( 1) n是等方差数列；若an 是等方差数列，则akn （ k N， k 为常数）也是等方差数列；若an 是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列。其中正确命题的序号是 _.课后练习 ：an 2an 1k （ k 为常数），则称数列an 为“等比和数列”， k 称1.若数列 an 满足anan 1为公比和。已知数列 an是以 3 为公比和的等比和数列，其中a1 1 ， a2 2 ，则 a2009_.可编辑-精选文档 -2.对数列 an ，规定an 为数列an 的一阶差分数列， 其中 anan 1an（ nN）.（1）已知数列 an的通项为 an5 n23 n （ nN ），试判

11、断an是否为等差数列22或等比数列，并说明理由 .（2）若数列 an 的首项为 a1，且满足an an2nan，求数列bn的1，记 bn2n 1通项 bn 及数列an 的前 n 项和 Sn .3.在数列 an 中，若 a1, a2 是正整数，且an| an 1an 2 |, n3,4,5,L ，则称 an 为“绝对差数列” .（1 ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项） ；（ 2 ）若“绝对差数列” an 中， a20 3, a21 0 ，数列 bn 满足 bnan an 1 an 2 ，n 1,2,3, L ，分别判断当 n时， an 与 bn 的极限是否存在， 如果存在， 求出其极限值；（3 ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.4.在 m （ m 2 ）个不同数的排列P1P2Pn 中，若 1 i jm 时 Pi Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi