1-9.极限的计算---两个重要极限

1、1-9. 极限的计算 - 两个重要极 限 模块基本信息 一级模 块名称 函数与极限 二级模块名称 计算 模块 三级模 块名称 极限的计算 - 两个重要极限 模块编号 1-9 先行知 识 极限的计算 - 常用计算方法 模块编号 1-8 知识内容 教学要求 掌握 程度 1、两个重要极限的证明 1、理解两个重 要极限 一般 掌握 2、lxim0 sin x型极限的计算（第 x 0 x 一个重要极限公式） 2、熟练掌握简 单的利用两个 重要极限公式 求函数的极限 3、 lxim（1 1） x 型极限的计算 xx （第二重要极限公式） 3、一般掌握较 复杂的利用两 个重要极限求 函数的极限 能力目 标

2、1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 时间分 45 分 编 陈 校王审 危 配 钟 撰 亮 对 清 玲 核 子 青 修 熊文婷 二审 危子青 订 一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。 让学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点：以两个重要极限的基本模型为基础，对类似的两个重要极限 进行转换计算，让学生在对同类型的极限进行计算过程中，掌握利 用两个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 （一）预备知识 0 型极限的计算 0 （二）新课讲授 1、无穷小的定义 定义： 如果当 x x0 （或 x ）时, 函数 f x 的极限

3、为零，那 么函数 f 就称为 x x0 （或 x）时的无穷小量（简称 f x 为 无穷小）。 引例 lim sin x x 0 x （ 说明： 当 x 0 时， sin x,x 均为无穷小量 .） （ 选讲 ） 证明思路：函数的夹逼准则 2、（第一个重要极限） lxim0 sinx x1 由于lxim0 sinx x 为00型极限，之前我们有因式分解法，而对于 lxim0 sinx x显然无法利用因式分解法进行求解， 所以我们利用如下解 法。 显然 sin x 为 所以 首先注意到 定义 如右图， DA OA 圆心角 S AOB S 扇形 AOB S AOD 11 1 sin x 1 x 1

4、tan x 2 sin x 22 x tan x 不等号各边都除以 sin x 就有 1 x sin x 1或 cosx cosx sinx 1 x 注意：此不等式当 0 时也成立 而 lim cosx 1 x0 根据夹逼准则得 sin x lim x 0 x 1. 使 用说明 在极限 lim sin (x) 中 (x) 只要 （x） 是 无穷 小 就有 lim sin (x) 1 (x) sin3x 例 1 求 lim x 0 x sin3x sin3x 解 lxim0lxim03 x 0 x x 0 3x 一级） tanx 例 2 求 lim x0 tanx 解 lxim0 x 0 x 例

5、 3 求 lim 1 x0 x sinx lim x 0 x cosx x2 一级） lim sin x cosx x 0 x lim 1 1 x 0 cosx 二级） 解 lim 1 co2sx x 0 x2 x 2sin2 lim 2 2 x 0 x2 2x 1 sin2 2 lim 2 2 x 0 x 2 选讲）例 4 求lim sin 2x x sin3x 三级） 解：令 t x ，则 sin2xsin2( m li lim lim x sin3x t 0 sin3( 1 3、(第二个重要极限) lim(1 1)x e xx 1 考虑特殊情况 lim(1 1)n e. 对 n 取不同正

6、整数，可得数列 nn 1 (1 1)n 的取值的表格如下： n n 1 2 3 10 20 30 100 1 (1 1)n n 2 9 4 64 27 2.594 2.653 2.658 2.705 注：表格中算出的值均为无理数) 根据上述的表格，可得以下结论： 数列 (1 1)n 单调、有界； 数列 (1 1)n 的极限存在； n 数列 (1 1)n 的极限为无理数 . n 使用说明：在极限 lim1 1 )，就有 lim1 (x) 1 (x) (x) 中 只要 (x)是无穷小 1型 ( x) 1n 5 求 lim (1 1) n nn 令 t=n, 则 n 1 ) n 一级) 于是 lim

7、 (1 n tlim(1 1t) t lim t (1 1 1t)t lim (1 n 1 lim (1 ) nn n( 1) lim (1 n 1 n 1 ) n 1 n 例 6 求 lim(1 x0 1 x)x 一级) 则x 0时 于是 lim(1 x0 1 x)x lim(1 1t)t e 注： lxim0(1 x)x 1 e为lim (1 ) x e 的等价形式 . 7 求 lxim (1 1 2x x21 1)2x ( 二级 ) 令 t x2 则x 于是 lim (1 x 21 )2x2 x2 1) tlim (1 1t)2(t 1) 1 2(t 1) ltim(1 1t)t t 选

8、讲)例 8 求 lim(1 x0 2 sinx)x 三级) 2 lim(1 sin x) x 解： x 0 lxim0(1 ( x0 1 2sin x sin x) sinx x 1 2sin x lim (1 ( sin x) sinx x x0 注：例 6、例 7 和例 8 中的函数均为幂指函数， f (x)g(x) . 若 lim f (x) A 0,lim g(x) B ，则 lim f (x)g(x) AB. 、能力反馈部分 一)第一个重要极限 1) 2) 3) 4) sin5x lim x 0 x 1 lim( sinx x0 x cos4x lim 2 x 0 x2 x lim(1 x)tan x 0 2 第二个重要极限 xsin1) x 一级) 一级)