哈工大大学物理振动PPT课件

1、101大楼在 88 至 92 楼的中央挂置一个直径5.5米、重达 660 吨的巨大钢球(相当于 132头大象总重)。 台湾101大楼被称为“台北新地标”的101大楼, 楼高508米 世界上任何高楼，都怕高空强风吹拂造成摇晃，更 怕地震晃动楼体。因此要设置一个“调谐质块阻尼 器”(简称阻尼器)来调整。阻尼器的原理是，当楼体 受到强风或地震冲击产生振动时，大圆球会吸收大 楼的振动，再将能量传递、发散到下方的弹簧系统。 平衡风力和地震造成大楼的摆荡，最大限度地减少 地震危害。 说它史上最牛，因为它是全世界唯一开放供游 客观赏并可自由拍摄的巨型阻尼器，更是目前全球 最大的阻尼器。 1985年9月19日

2、墨 西哥西海岸发生地 震，给400km的墨 西哥城造成破坏。 第1414章 振 动 广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称振动该物理量的运动形式称振动 物理量：物理量： iQHEr 等等等等 机械振动：机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 共振共振 ( (简谐振动）简谐振动） 振动振动 受迫振动受迫振动 自由振动自由振动 阻尼自由振动阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 振动的形式振动的形式: 重要的振动

3、形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动( (S.H.V.) ) simple harmonic vibration 物理上：一般运动是多个简谐振动的合成物理上：一般运动是多个简谐振动的合成 数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分 也可以说也可以说 S.H.V.是振动的基本模型是振动的基本模型 或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在S.H.V.的基础上的基础上 注意：以机械振动为例说明振动的一般性质注意：以机械振动为例说明振动的一般性质 14.114.1 简谐运动简谐运动 一、简谐运动的动力学方程一、简谐运动的动力学方程 xkf 0 2 2 2 x dt xd 固有角频率 m

4、k (4) ( 弧度/秒) f 0v (2) f v 0f 0v 2 2 dt xd mmaf 0f 0vf (3) (5) )cos(tAx 简谐运动表达式: (1) v 平衡位置 0 2 2 x m k dt xd 二、谐振动的特征量二、谐振动的特征量 1、振幅 A 2、固有周期 T 3、固有频率 Tv1 Tv22 4、相位 )( 0 t 2 2 0 2 0 v xA 0 0 1 0 x tg v 0t 时 00 t 为初相位 )cos( 0 tAx 由初始条件 00 vx 和 00 cosAx 00 sinA 解方程组可得 )sin( 0 tA dt dx t+T状态不变 )(cos 0

5、 TtA )(sin 0 TtA 2T /2T 相位概念： 1.描述振动系统形象状态的物理量 )( 0 t x v 0 2 2 2 3 A 0 0A0 A 0-A0A 2.描述振动系统状态的变化趋势 3.描述频率相同的两振动系统的振动步调 （或两物理量）相位超前 相位落後 )cos( 0 tAx )sin( 0 tA dt dx 三、简谐运动的速度及加速度三、简谐运动的速度及加速度 2 2 dt xd a dt dx v )sin( 0 tA ) 2 cos( 0 tA )cos( 0 2 tA )cos( 0 2 tA )cos( 0 tAx A m v 2 Aam 速度超前位移/2相位 加

6、速度超前位移相位 )cos(tAx t )0( tAr 四、简谐运动的相量图法四、简谐运动的相量图法-旋转矢量法旋转矢量法( (演示）演示） AA )(tAr x x O 。 。 tAxcos 1） 直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点 t x 0 A x t 当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后 表述振动的关键就是相位表述振动的关键就是相位 即即 表达式中的余弦函数的综量表达式中的余弦函数的综量)(t 而旋转矢量图而旋转矢量图 可直观地显示该综量可直观地显示该综量 分析解析式分析解析式可知可知 用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述 x 如如 文字叙述说文字叙述说 t

7、时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点 Ax 0t 旋矢与轴夹角为零旋矢与轴夹角为零 12 3 t 质点经二分之一振幅处质点经二分之一振幅处 向负方向运动向负方向运动 x oA 意味意味 A 意味意味 2 A x 0 A 质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动 3 2 t 4 3 t 5 Axt 同样同样 432 0 向负方向运动向负方向运动 x 12 x oA A 0 x 0 2 A x 0 0 x 0 2 或或 2 A x 0 x o x A A A 678 678 0 向正向运动向正向运动 cos 2 cos cos 2 tAa tA tAx x a A A

8、 A 2 由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移 加速度超前速度加速度超前速度 2 称两振动称两振动同相同相 2） 方便地方便地比较振动步调比较振动步调 位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相 0若若 3）方便计算）方便计算 用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算 例：质量为例：质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧 组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子 t = 0时时 质点过平衡位置且向正方向运动质点过平衡位置且向正方向运动 求：物体运动到负的二分之一振幅处时求：物体运动到负的二分之一振幅处时 所用的所用的最短时间最短时间 0t

9、t t 6 7 m k 6 7 x o 解：设解：设 t 时刻到达末态时刻到达末态 由已知画出由已知画出t = 0 时刻的旋矢图时刻的旋矢图 再画出末态的旋矢图再画出末态的旋矢图 由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢 设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为 因为因为 得得 繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动 的的一个一个运动关系求得运动关系求得 系统机械能守恒 22 2 1 2 1 xkmEEE PK v 2 0 2 0 )cos( 2 1 )sin( 2 1 tAktAm 222 2 1 2 1 kAAm)(mk 五五、 谐振动的能量谐振动的能量

10、简谐运动实例简谐运动实例 1、水平弹簧振子 0 2 2 2 x dt xd m k sinmg cosmg m gm T 2、单摆的运动 很小时 2 2 2 sin dt d mlmgl 0 2 2 l g dt d l g )cos(t 令解得 )cos(tAx -AA k m T 2 2 固有周期 g l T2 sinmglM - 谐振动 3 3、复摆 很小时 力矩 0 2 2 2 dt d J mgl 2 2 dt d JmglM 令 C 质心 gm sinl 0 轴 M 图 5-9 l 周期 mgl J T2 对于角振动由初始条件 t=0时 00, 角速度为角位置为 )cos( 0 t

11、 m 00 00 sin cos m m dt d 2 2 0 2 0 m 0 0 1 0 tg 4 4竖直弹簧振子 mg 自然 平衡 任意 x 0 x xkmg mafmg xxkf makx 由以上三式可得 即 0 2 2 x m k dx xd 与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置 f x (cm) 0.25 -0.5 0 t (s) 2 求：振动方程（振动表达式） 解： 由图可知 cmA5.0sT2)1( 2 s T 初始条件： )(25. 0cos5 . 0cos 000 cmAx 5 . 0cos 0 3 0 ) 3 cos(5 . 0 tx 对吗？初始条件v00 0sin 0 A0

12、sin 0 3 0 ) 3 cos(5 . 0 tx 练习题 (cm) 0 x A A/2 /3 -/3 A v0 例 1 在长为 L 的细杆的两端各固定一个同样的重物，绕水平 轴作简谐振动，此轴距上端为 d ，如不计杆的重量，求此摆的周 期及折合摆长（与之同周期的单摆的摆长）。 o m m L d 解 设重物质量为 m ，由转动定律： 2 2 22 )( sinsin)( dt d mddLm mgdmgdL dLdL gdL dt d 22 )2( ,0 22 22 2 2 式中 当 较小时，有： ,0sin 22 )2( 222 2 dLdL gdL dt d 即 周期 ; )2( 22

13、 2 2 22 gdL dLdL T 等效摆长 dL dLdL l 2 22 22 例 2 倾角为的固定斜面上放一质量为 m 的物体，用细绳 跨过滑轮把物体与一弹簧相连接，弹簧另一端与地面固定。 k m o x M, R 弹簧的劲度系数为 k ，滑轮可视为半径为 R ,质量为 M 的匀 质圆盘。设绳与滑轮间不打滑，物体与斜面间以及滑轮转轴处摩 擦不计。 （1） 求证物体 m 的运动是简谐振动； （2） 在弹簧不伸长，绳子也不松弛的情况下，使 m 由静止释放， 并以此时为计时起点，求 m 的振动方程。（沿斜面向下为 x 轴正方向） （1）证 : 平衡时，弹簧伸长x, 有 sinmgxk ) 1

14、( sin k mg x 以平衡位置处为 x 轴原点，运动中某时刻有： ) 1 ( sin k mg x 对 m ： )2(sin 2 2 dt xd mTmg 对滑轮 : )3( 2 1 )( 2 2 2 dt d MRRxxkTR 且有 )4( 2 2 2 2 dt d R dt xd 解 (1),(2),(3),(4) 式，得 0 2 1 2 2 x mM k dt xd 故物体 m 的运动是简谐振动。 k m o x M, R （2） 由上述方程可知， 0 2 1 2 2 x mM k dt xd mM k mM k 2 2 2 1 初始条件： t = 0 时 0, sin 00 v

15、k mg xx 因此 00 2 2 0 2 0 ,x v xA 振动方程为 ) 2 2 cos( sin t mM k k mg x k m o x M, R 例 3 一轻弹簧在 60N 的拉力作用下可伸长30cm 。现将一 物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量 为 4 kg 。待其静止后再向下拉 10cm , 然后释放。问 （1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ （2）如果使小物体离开，则振幅 A 需满足何条件？二者在 何位置开始分离？ m x 解： 设小物体随振动物体的加速度为 a , 按牛顿第二定律有 maNmg)(agmN 当 时即gaN , 0 小物体开始脱离

16、振动物体。 由题意可知1 50,10 sradMkcmA 系统最大加速度 22 max 5 smAa 此值小于 g , 故小物体不会离开。 （2） 如果, max ga 小物体能脱离振动物体，开始分离的位 置由 N = 0 求得 xag 2 max maNmg )(6 .19 2 cm g x 即在平衡位置上方 19.6 cm 初开始分离。 m x 无阻尼自由振荡，电容板上电量为 q 振荡电流 i 总能 常量 2 2 2 1 2 1 Li c q 0 dt di Li dt dq c q 2 2 , dt qd dt di dt dq i 0 1 2 2 q Lcdt qd -谐振动微分方程

17、求导 由于 L C + _ i q 例4：求LC电路中电容极板电荷 频率 电磁振荡： tq dt dq i tqq sin cos 0 0 LC 1 1）发射高电磁能-使电路开放 2）能量 4 减小 L，C 提高 电路变化如图 所示 从振荡电路过渡到振荡偶极子 L C + (a) _ (b) L C + _ (c) L C + _ +q q l (d) 例 5已知弹簧振子的振动方程为 )()32100cos(1 . 0SItx 弹簧所受最大的弹性力 ).(200 2 Nfm 当振子通过平衡位置向正方向运动时，恰有一质量与振子相同 的粘性小球竖直落在振子上并粘住后一起运动。 （1） 试求新振子的

18、振动方程； （2） 新振子通过什么位置时其弹性势能与动能相等。 解：（1）设新振子的振动方程为 )()cos()(SItAtx 确定原振子（小球）的质量：由最大弹性力 )/(100 . 2),(200 232 mN A f kNkAf m m 因此振子（小球）的质量 )(2 . 0 )100( 100 . 2 2 23 2 kg k m 求新振子的圆频率： )(2/100)2 . 02(100 . 2)2( 123 smk 求新振子从平衡位置向 x 轴正方向运动时的初速度 vo : 由水平方向动量守恒定律，有 ,2 0 mvmvm 而 Avm（通过平衡位置时的速率） 故 )/(5 2 1 .

19、0100 2 0 sm m Am v 由初始条件 t = 0 时，xo =0 , vo = 5 可得新振子的振幅和初相位： )(07. 0 0 2 2 0 2 0 m vv xA , 22 3 ),()( 1 0 0 1 或 tg x v tg )(07. 0 0 2 2 0 2 0 m vv xA , 22 3 ),()( 1 0 0 1 或 tg x v tg 由于 . 2 3 , 0 0 v 新振子的运动方程为 ) 2 3 2 100 cos(07. 0)cos()(ttAtx （2）当势能等于动能时，, kp EE 即 )( 2 1 2 1 )2( 2 1 2 1 2222 p EEx

20、kAkvmxk 解得 )(109 .4 2 2 m A x 此时相位(t+) 为 2k+/4 , k=0, 1, . 例 6 弹簧的串并联时的劲度系数。 1） 两个弹簧的串联： p k1 k2 k 对每个弹簧有 2211 ,lkplkp 21 21 k p k p lll 对整个弹簧，有 lkp 21 21 21 kk kk k p k p p l p k 或 21 111 kkk 2） 两个弹簧并联 ： p k1k2 k 对每个弹簧，有 lkplkp 2211 , lklkppp 2121 对整个弹簧，有 lkp 21 21 kk l lklk l p k 即 21 kkk 例 7 一劲度系

21、数为 k 的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根， 将它们并联在一起，下面挂一质量为 m 的物体，求振动系统的频 率。 解： 设每一等分弹簧的劲度系数为 k0 ， 因此由弹簧串联关系，有 ,3, 31 0 0 kk kk 两个同样的弹簧并联，有 kkk62 0 故振动频率为 m k m k 6 2 1 2 1 2 14.2 14.2 阻尼振动阻尼振动 二、阻尼振动的三种形式二、阻尼振动的三种形式 粘性阻力 vfv 2 2 dt xd m dt dx kx 0 2 2 x m k mdt dx dt xd 或 有 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd t ex 02 2 0 2 特征方程

22、 将试探 解 代入上式 令 mk / 0 m/2 一、无阻尼振动一、无阻尼振动 例：水平弹簧谐振子 0 2 0 2 2 x dt xd m k 0 )cos( 00 tAx 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd t ex 02 2 0 2 2 0 2 0 / 2 0 2 ) 1( 0 )cos()( 00 teAtx t22 0 特征方程 特征根 试探 解 阻尼度 - 表征阻尼大小的常量 1） 当 时, 方程的解为 式中 mk / 0 m/2 vfv 阻尼振荡（阻尼小） 阻尼系数t x 阻尼振荡 22 0 i sincosiet sincosie t cos2 ti ee 2）过阻

23、尼运动（阻尼较大） 当解为 无周期，非振动。 3）临界阻尼运动 当 在 振幅衰减到原来的 2 0 2 1 tt ecectx )( 2 )( 1 2 0 22 0 2 )( 2 0 2 1 t etcctx )()( 21 1 %37 1 e 或 图 5-10 时间, t x 临界阻尼 过阻尼 阻尼振荡 定态解 暂态解 周期性驱动力 式中 tff ddd cos 0 2 2 0 cos dt xd mtf dt dx kx dd tx dt dx dt xd d cos2 2 0 2 2 m 2 m k 0 m fd0 )cos()cos()( 00dd t tBteAtx 14.3 受迫振动

24、 共振 一、受迫振动 得定态解振幅: 相位: 22222 0 4)( dd xB 22 0 2 d d d arctg )( )( ddt i Betx 令定态解 定态解 暂态解 tx dt dx dt xd d cos2 2 0 2 2 )cos()cos()( 00dd t tBteAtx 代入原方程 与初始条件无关 d B和 ti d d et cos ti dd d e i tx 2)( )( 22 0 二 共振 当 由 时, B 达最大, 称位移共振 rd 0 d d dB 22 0 2 d 振幅: 相位: 22222 0 4)( dd xB 22 0 2 d d d arctg )

25、( )( ddt i Betx 定态解 22 0 2 B 1）位移共振 )( 00 rd 时 在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象称为位移共振, 简称共振 r称为共振的角频率 2）共振峰的宽度或共振宽度 在欠阻尼情况下，共振宽度为 2 B 2 B 2 0 22 0 2 B 共振: B o 22 0 2 d 1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁 小号发出的波足以把玻璃杯振碎小号发出的波足以把玻璃杯振碎 x 1 A 2 A A 1 2 O 1 x 2 x 14.4 简谐运动的合成简谐运动的合成 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )cos(

26、 21 tAxxx0 x )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin tg AA AA 一、同方向、同频率两个简谐运动的合成一、同方向、同频率两个简谐运动的合成( (演示）演示） k2)( 2010 ) 12()( 2010 k 2121 AAAAA 21 AAA 21 AAA 其它值)( 2010 )cos( 021 tAxxx )cos(2 102021 2 2 2 1 AAAAA ( 同相 ) ( 反相 ) 同一直线上的n个同频率的简谐运动的合成同频率的简谐运动的合成 taxcos 1 )cos( 2 tax )2cos( 3 ta

27、x ) 1(cosntaxn )cos(tAx )2sin( 2 nR A )2sin( 2 R a 两式相除 )2sin( )2sin( n aA )cos(tAx a R A C O x P M )( 2 1 nCOM )( 2 1 COP 2 1 n COMCOP 例8：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程 分别 为x1=Acos( t+ /3), x2=Acos( t+5 /3), x3=Acos( t+ ),求其合运动方程。 X=0 x o 3 3 5 A A A x1+x2 tAx 11 cos tAx 22 cos 21 xxx 2 )( cos 2 )( cos2 12

28、12 tt A )( 1212 当准谐振动 tAtA 21 coscos （振幅相同 初相为零） 合成振幅 tAA 2 )( cos2 12 频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动， 合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象 拍: 二、二、 同方向、不同频率两个简谐运动的合成同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍拍 0.05s 0.1s0.15s 0.2s t t t 2 4 3 0 80 1 v 90 2 v 2A 12 12 2 2 2 2 1 b T 12 12 2 1 b b T v 拍的周期 合成振幅 tAA 2 )( cos2 12 21 xxx 2 )( cos 2

29、)( cos2 1212 tt A tAtA 21 coscos 加强与减弱之间的时间间 隔 单位时间加强或减弱的次数 拍频 )cos( 101 tAx )cos( 202 tAy 2 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 AA xy A y A x 质点沿顺时针方向运动 质点沿逆时针方向运动 0 0 2或 1020 令 三、两个相互垂直的简谐运动的合成三、两个相互垂直的简谐运动的合成 ( (演示）演示） 0 2 21 A y A x 21 A y A x 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 讨论 直线运动 正椭圆 AAA 21 222 Ayx 变成圆 当 则 (2) (1)

30、 2A1 2A2 2 2 2A 2 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 AA xy A y A x )cos(tmAx)cos( 0 tnAy m4 m4 m m4 5 m2 3 m4 7 m 2 m2 m4 3 1:1 1:2 1:3 2:3 3:4 mn: 0 0 李萨如图形 , 2 2 02 0 v xA 0 0 1 0 x tg v 1）由初始条件求运动方程参量 00 cosAx 00 sinAv 一.简谐振动的运动学方程 )cos( 0 tAx 2）简谐振动的速度与加速度 ) 2 cos( 0 tA dt dx v xtA tA dt xd a 2 0 2 0 2 2 2

31、 )cos( )cos( 总结 )(sin 2 1 2 1 0 2222 tAmmvEk )(cos 2 1 )(cos 2 1 2 1 0 222 0 222 tAm tkAkxE p 3）简谐振动的能量 222 2 1 2 1 kAAmEEE pk 二. 阻尼振动 )cos()( 00 teAtx t 22 0 圆频率 振 幅 t eA 0 1 . 驰豫时间 得定态解振幅: 相位: 22222 0 4)( dd xB 22 0 2 d d d arctg 三. 受迫振动 共振: 22 0 2 d )( 00 rd 时 )cos( 21 tAxxx )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin tg AA AA 四四.简谐运动的合成简谐运动的合成 k2)( 2010 ) 12()( 2010 k 2121 AAAAA 21 AAA 21 AAA 其它值)( 2010 ( 同相 ) ( 反相 ) 1. 同一直线同