高中数学必修5第三章不等式单元测试及答案

1、第三章 不等式一、选择题1已知 x 5 ，则 f( x) x24x5有() 22x4A最大值 5B 最小值 5C最大值 1D 最小值 1442若 x 0， y0，则 ( x 1 ) 2 ( y 1 ) 2 的最小值是 () 2 y2 xA 3B 7C4D 9223设 a 0， b 0 则下列不等式中不成立的是() A a b1 2 2B( a b)(1 1) 4ababC a2b2 abD 2ab ababab4已知奇函数 f( x) 在 ( 0， ) 上是增函数，且f( 1) 0，则不等式f( x)f ( x) 0x的解集为 () A ( 1，0) ( 1， )B( ， 1) ( 0， 1)

2、C ( ， 1) ( 1， )D ( 1，0) ( 0，1)5当 0 x 时，函数 f( x) 1 cos 2x8sin 2x 的最小值为 () 2sin 2 xA 2B 2 3C4D 4 36若实数 a，b 满足 ab 2，则 3a 3b 的最小值是 () A 18B 6C23D 2 4 3x 0y kx 4 分为面积相等的两7若不等式组x3y 4 ，所表示的平面区域被直线3x y 43部分，则 k 的值是 () 73C43AB 3D 3748直线 x 2y 30 上的点 P 在 x y1 的上方，且 P 到直线2xy 6 0 的距离为第 1 页 共 11 页3 5 ，则点 P 的坐标是 (

3、) A ( 5，1)B ( 1， 5)C( 7， 2)D ( 2， 7)9已知平面区域如图所示， z mx y( m 0) 在平面区域内取得最优解 ( 最大值 ) 有无数多个，则 m 的值为 () A 7B 72020C 1D 不存在210当 x 1 时，不等式1 a恒成立，则实数a( 第 9 题 )xx1的取值范围是 () A ( ， 2B 2， )C 3， )D ( ， 3二、填空题11不等式组( xy 5)( x y) 0所表示的平面区域的面积是0x 3x 2y 3012设变量x， y 满足约束条件 x 3y 30，若目标函数 z ax y( a0) 仅在点 ( 3，y 1 00) 处取

4、得最大值，则a 的取值范围是13若正数a，b 满足 ab a b3，则 ab 的取值范围是14设 a，b 均为正的常数且x 0，y 0，a b 1，则 x y 的最小值为xy15函数 ylog a( x3) 1( a 0，且 a 1) 的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mx ny 1 0 上，其中 mn 0，则 1 2 的最小值为mn16某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1 ，第三年比第二年增长的百分率为 p2，若 p1p2 为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为第 2 页 共 11 页三、解答题217求函数y x 7x10 ( x 1) 的最小值x118已知直线l 经过点 P

5、( 3，2) ，且与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于A，B 两点，当 AOB面积最小时，求直线l 的方程( 第 18 题 )第 3 页 共 11 页19某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨， B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨， B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润5 万元，销售每吨乙产品可获得利润3 万元该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 吨， B 原料不超过 18 吨 .那么该企业可获得最大利润是多少？20 ( 1) 已知 x 5，求函数 y 4x 11的最大值；44x5( 2) 已知 x， yR ( 正实数集 ) ，且 1 9

6、 1，求 x y 的最小值；xy( 3) 已知 a 0，b 0，且 a2 b2 1，求 a 1 b 2 的最大值2第 4 页 共 11 页参考答案1D解析：由已知2()21 11，f( x) x 4 x5 x2( x22 x4()2)x22 x2 x 5 ， x2 0， 2 12 1 1 2 ( x2)1 1，( x)x22x22当且仅当 x21，即 x 3 时取等号x22 C解析： ( 1 )2( 1 )2x2 yy2 x x2 x 1 y 2 y 1y4 y 2x4x 2 x2 1 y2 1x y 4x24y 2yx x2 1 2x212 1，当且仅当 x212 ， x2时取等号；24x4

7、x4x2y 2 1 2y 21 1，当且仅当y21， y2 时取等号；4 y24 y 24y 22x y 2xy 2( x0， y 0) ，当且仅当x y ， y2 x2 时取等号yxyxyxx2 1y2 1x y 1 1 2 4，前三个不等式的等号同时成立4x 24y 2yx时，原式取最小值，故当且仅当x y2时原式取最小值423D解析：方法一： 特值法， 如取 a 4，b 1，代入各选项中的不等式，易判断只有 2ab aba b不成立第 5 页 共 11 页方法二：可逐项使用均值不等式判断A： a b1 2ab 1 22ab1 22 ，不等式成立abababB： ab 2ab 0，1 1

8、210，相乘得( ab)(1 1 ) 4 成立ababa bab2ab2C： a2 b2 ( a b) 2 2ab( a b) 2 2 2，22又 ab ab12， a2b2 a b成立2abababD： a b 2aba11， 2ab 2abab ，即 2ab abb 2 abab2aba b不成立4D解析 :因为 f( x) 是奇函数，则f( x) f( x) ，f( x) f( x) 02 f( x) 0xf( x) 0，满足 x 与 f( x) 异xx号的 x 的集合为所求因为 f( x) 在 ( 0， ) 上是增函数，且 f( 1) 0，画出 f( x) 在 ( 0， ) 的简图如图

9、，再根据 f( x) 是奇函数的性质得到 f( x) 在y1 O1x( ， 0) 的图象( 第 4 题 )由 f( x) 的图象可知，当且仅当x ( 1，0) ( 0，1) 时， x 与 f( x) 异号5 C解析：由 0 x ，有 sinx 0， cosx 02f( x) 1 cos2x8sin 2x 2 cos2 x8 sin2x cos x 4sin xsin2x2 sin x cos xsin xcosx 2 cos x 4sin x 4，当且仅当 cosx 4sin x ，即 tan x 1时，取“”sin xcos xsin xcosx2 0x ，存在 x 使 tan x 1 ，这

10、时 f( x) min 4226 B解析：a b 2，故 3a 3b 2aba b33 23 6，当且仅当 a b1 时取等号第 6 页 共 11 页故 3a 3b 的最小值是67A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC 由 x3y4 得 A( 1，1) ，又 B( 0， 4) ， C( 0， 4 ) 3x 3y 4由于直线 y k x 4 过点 C( 0， 4 ) ，设它与直线333x y 4 的交点为 D ，则由 S BCD 11， yD5 ，2S ABC ，知 D 为 AB 的中点，即 xD22 5 k 1 4 ， k 7 22338Ax02 y030 ，x0 5 ，解析

11、：设 P 点的坐标为 ( x0， y0) ，则x0 y010，解得y01.2x0y0 65 .35 点 P 坐标是 ( 5， 1) 9 B解析：当直线mx yz 与直线 AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解3 22 k AC5517 ，20 m7 ，即 m 7202010D解析：由 x1( x 1)1 1，x1x1 x1， x 1 0，则有 ( x 1) 1 1 2( x1) 1 1 3，x1x1则 a3第 7 页 共 11 页二、填空题11 24解析：不等式( x y 5)( x y) 0 可转化为两个二元一次不等式组( x y 5)( x y) 00x 3x y 5 0x y 5

12、0x y 0或 x y 00 x 30 x3( 第 11 题 )这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在图中 A( 3， 8) ， B( 3， 3) ，C( 0， 5) ，阴影部分的面积为3 ( 115) 24212a a 1 2解析：若 z ax y( a 0) 仅在点 ( 3，0) 处取得最大值，则直线 z ax y 的倾斜角一定小于直线x 2y30 的倾斜角，直线 zax y 的斜率就一定小于直线 x 2y 3 0 的斜率，可得： a 1 ，即 a 1 2213 ab 9解析：由于 a，b 均为正数，等式中含有 ab 和

13、a b 这个特征，可以设想使用a b ab2构造一个不等式 ab a b3 2 ab 3，即 ab 2ab 3( 当且仅当 a b 时等号成立 ) ， (ab ) 2 2 ab 3 0， (ab 3)( ab 1) 0，ab 3，即 ab 9( 当且仅当 a b3时等号成立 ) 14 (a b ) 2解析：由已知ay ， bx 均为正数，xy第 8 页 共 11 页 xy( x y)(a b ) a b ay bxaybx a b 2 a b2 ab ，xyxyxyay bxxa ab 时取等号即 x y (a b ) 2，当且仅当xy即abab1y bxy15 8解析：因为 y log a

14、x 的图象恒过定点 ( 1， 0) ，故函数 ylog a( x 3) 1 的图象恒过定点 A( 2， 1) ，把点 A 坐标代入直线方程得m( 2) n( 1) 1 0，即 2m n1，而由mn0 知 n ， 4m 均为正，mn1 2 ( 2m n)( 1 2) 4 n 4m 4 2n4m 8，当且仅当mnmnmnmnn 4mm14 时取等号mn即12m n1n216p1 p2 2解析：设该厂第一年的产值为a，由题意， a( 1 p) 2 a( 1 p1)( 1 p2) ，且 1 p1 0，1 p2 0，2 a 1 p1p22所以 a( 1 p) 2 a( 1 p1)( 1p2) a1p11

15、p2，解得22pp1 p2，当且仅当1 p，即 p1 p2 时取等号所以p 的最大值是p1 p221 1p22三、解答题17解：令x 1 t 0，则 xt 1，()2()24 t 4 5 2 t4yt17 t1 10 t 5t 5 9，tttt当且仅当 t 4，即 t 2， x 1 时取等号，故x 1 时， y 取最小值 9t第 9 页 共 11 页18解：因为直线l 经过点 P( 3， 2) 且与 x 轴 y 轴都相交，y故其斜率必存在且小于0设直线l 的斜率为k ，B则 l 的方程可写成y 2 k ( x 3) ，其中 k 0令 x0，则 y2 3k；令 y0，则 x 2 3kP(3,2)

16、OAx( 第 18 题 )AOB 1( 2 3k)( 2 3) 112(9k)( 4 ) 1122(9k) (4Sk2k2)2k 12，当且仅当 ( 9k ) ( 4 ) ，即 k 2时， S AOB 有最小值12，所求直线方程为k3y 2 2 ( x 3) ，即 2x 3y 12 0319解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品 x 吨3x2x乙产品 y 吨y3yx0y0则有，目标函数z 5x 3y3xy 132x3y 18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知( 第 18 题 )当 x3， y 4 时可获得最大利润为27 万元 .20解： ( 1) x5 ， 4x 5 0，故 5 4x 0141y 4x 1 ( 5 4x4x5) 45 4x 54x1 2 ( 5 4x)1 2，5 4x5 4x y 2 4 2，当且仅当 5 4x1，即 x1或 x 3 ( 舍 ) 时，等号成立，5 4x2故当 x