高中物理八大解题方法之四：导数法

1、高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。例 1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图 1.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y 轴，则各点的电场强度可表示为：E 2k(Q) cos= 2k(Q2 )y2y22yy 2lll 2因为原点的电场强度 E00 ，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从

2、O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。方法 1.用三角函数法求导数Q中把l代入得2kQ2。E2k( l 2y 2 ) cosytanEl 2sincos令 zsin 2cos，求导数 z2 sincos2sin 3= sin（2 cos2sin 2) ，欲使z，需sin0（舍去）或2 cos2sin20即tan2，此处，y2l ，02将其代入得 Emax4 3kQ。9l 2- 1 -方法 2.用代数法求导数Qy3=， 令222, 对z求 导 数 得E2k( l 2y2 )l 2y 2zy( ly)352l4 3kQz(l 2y 2 )23y 2

3、 (l 2y2 ) 2,令其分子为0，得 y，代入得 Emax。29l 23.图象用 Excel 作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y 表示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电场强度。E21.510.50-22-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910111213141516171819202122E-0.5-1-1.5-2图 2.两等量正点电荷的电场强度在y 坐标轴上的分布此图象也验证了以上所得的结果：图象中令2l253.5 处电场

4、l 5 ，则当 y22强度最大。例 2、电源输出功率最大问题的研究例题如图所示，R 为电阻箱， V为理想电压表当电阻箱读数为R1 =2 时，电压表读数为U1=4V ；当电阻箱读数为R2 =5 时，电压表读数为U2=5V 求：(1)电源的电动势E 和内阻 r。图 3 电路图(2)当电阻箱 R 读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值 Pm 为多少 ?- 2 -【解析】由闭合电路欧姆定律：EU 1U 1 rE U 2U 2 rR1R2联立上两式并代入数据解得：E6V ， r1E2（ 2 ） 解 法1. 代 数 法 ， 电功 率 表达 式： PR将上 式变 形 为：2(Rr )PE2，由上式可知R

5、r1E 29Wr )2时 P 有最大值 P m(R4r4rR解法2.导数法 ，电功率表达式：PE2R ，根据求导公式( u )u v uv，( R r )2vv 2得导数： P (R)E 2 ( Rr )2E 2 R 2(Rr ) = E 2 ( Rr ) (rR) ，当 Rr 时，(Rr ) 4(Rr ) 4导数的分子为零，即此时有极大值，将R r1 代入 P 式得最大值P mE29W4r本题的物理意义可用图4 图象说明：图 4 电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电阻值。例 3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知

6、道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了 ,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开， 连在一起了，动能损失最大， 动能不守恒 ,但动量还是都守恒的。- 3 -为什么在完全非弹性碰撞中， 动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变， 能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力， 一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。一般意义上

7、的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的 重力势能 不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。如图 1 所示，设质量为m1 的小球，速度为v1，与质量为 m2 的小球，速度为v2，发生碰撞，图 5碰撞碰撞后两球的速度分别为 v1、 v2，取向右为矢量的正方向。由系统的 动量守恒定律 得 m1 12 21 122v +m v=m v +mv则碰撞中动能损失为12121212Ek2

8、mv12 m2 v22 m1 v1 2 m2v2 1m1v1 m2 v2m1v1 由得 v2 m2代入 得Ek12121m1 v1 2(m1v1m2 v2m1 v1 ) 22m1v12m2 v222m2，求 Ek 对 v1 的导数，得Ek (v1 )m1v1 ( m1v1m2 v2m1 v1 )m1m2令 Ek (v1 )0，解得 v1 m1 v1m2v2， 即当 v1 m1v1m2 v2时， Ek 有最大值。m1m2m1m2将代入 解得 v2 m1v1m2 v2 ，即 v1 v2 ，两小球粘合在一起时，也就是完全非m1m2- 4 -弹 性 碰 撞 情 况 下 ， 动 能 损 失 最 大 。

9、将 代 入 解 得 动 能 损 失 最 大 为Ek maxm1m2 (v1v2 ) 2。2( m1 m2 )例题 .某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同l 1m ，悬挂于同一高度， A 、 B 两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动B 球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求 A 球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？解： B 球的初始高度为h1 ，碰撞前 B 球的速度为 vB .在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：h1l (1cos45 )1m

10、vB2mgh12弹性碰撞时，动量守恒有mvBmv A mvB 图 6动能守恒有 1 mvB2 1 mvA2 1 mvB 2222解得 vA vB ， vB 0 ，根据 mgh21mvA 2 ，得 h2h1 ，为 A 球上升的最高高度。2根据 h2l (1cos 2 ) ，得 21450 ，为 A 球上摆的最大角度。完全非弹性碰撞，即 A 、 B两球粘合在一起时，动量守恒有 mvB2mv ，解得 vvB ，2根据 mgh31mv21mgh2 ，得 h31h1 ，为 A 球上升的最大高度的最小值。244根据 h3l (1cos3 ) ，得 3220 ，为 A 球上摆的最大角度的最小值。例4.电磁感

11、应问题如图，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为 m 的导体棒 PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc 段长为 L，开始时 PQ 左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以 ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在 t=0 时，一水平向左- 5 -的拉力 F 垂直作用在导轨的bc 边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a。（ 1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；（ 2）经过多长时间拉力

12、 F 达到最大值，拉力 F 的最大值为多少？（ 3）某过程中回路产生的焦耳热为 Q，导轨克服摩擦力做功为 W，求导轨动能的增加量。【答案】（1） 感应电动势BLv导轨做初速为零的匀加速运动，v at ， s1 at 22BLat回路中感应电流随时间变化的表达式BLvBLatBLatI1R R0 at 2R总R2R0 (2)at2（2）导轨受外力 F，安培力 FA ，摩擦力 F f。其中FABILB 2 L2 atRR0 at 2B 2 L2 atFfFN(mgBIL )(mgR R0 at 2 )由牛顿定律 FFAF fMaFMa FA F fMamgB 2 L2at(1 )R0 at 2R-

13、 6 -上式中，当 RR0 at ，即 tR时外力 F 取极大值。taR0Fmax Ma(1) B 2 L2amg2RR0(3)设在此过程中导轨运动距离s ，由动能定理W合EW合Mas由于摩擦力 F f(mg FA ) ，所以摩擦力做功WmgsW AmgsQWQsmgEKMasMa (WQ ) 。mg【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的计算等数学方法。难度：难。在式子 yB 2 L2 at的极值的计算中，答案用了变形yB 2 L2 a ，然后根据两式之R R0 at 2RR0 att积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分母最小，分式取最大值。也可

14、以用导数法求极值。设上式的分母为RR0 at ，取导数： x(t)RR0 a ，xt 2t令其等于 0，解得极值条件为 tR。代入得 x2 aRR0 ，此时， yB2 L2a ，aR02RR0FmaxMa mg(1 ) B 2 L2a 。2RR0例5.交流电如图（ a），在同一平面内固定有一长直导线PQ 和一导线框R，R 在 PQ 的右侧。导线PQ 中通有正弦交流电流 i，i 的变化如图（ b）所示，规定从 Q 到 P 为电流的正方向。导线框 R 中的感应电动势- 7 -A 在 tT 时为零4B在 tT 时改变方向2C在 tT 时最大，且沿顺时针方向2D在 tT 时最大，且沿顺时针方向【解析】

15、根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E，即 E 为的导数，有tBS ,S 不变，与 B 成正比，所以， E 与 i 的导数成正比，据此可以画出E-t 图象如下：1.510.5i00153045607590105120135150165180195210225240255270285300315330345360375390405E-0.5-1-1.5从图象可以看出：A 在 tT 时为零，正确；4B在 tT 时改变方向，错误；2C在 tT 时为负最大，且沿顺时针方向，正确；2D在 tT 时为正最大，且沿逆时针方向，D 错误。【答案】 20 AC- 8 -【点评】 Et 图象是正弦函数（或余弦函数）

16、图象，说明电动势E 随时间非均匀变化。Et 函数是t 函数的导数函数。例 6.带电粒子在磁场中的运动粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为 B0 的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为E0 的匀强电场。一束质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子， 以不同的速度从小孔 0 处沿中轴线射入此区域。研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动 并从挡板上小孔P 射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为,通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为1 的匀速直线运动和以速率2 在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动

17、的合运动，1 、2 ；均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用。(1)若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O 射入时的速度 0 ；(2)增加磁感应强度后，使带电粒子以（1)中速度0 射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距 d 应满足什么条件？(3)磁感应强度为 B0 时，为了减小从小孔P 处射出粒子速度的最大偏差量，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L 应满足什么条件？例 1 题图【解答】（ 1）带电粒子能沿中轴线运动受力平衡，则qv 0 B0E0qE ，解得 v0B0(2)设磁感应强度增为B，对速度为 v1 的匀速直线分运动，有- 9 -qv1B qE0 ，

18、解得 v1E0v0B匀速圆周分运动的速率v2v0 v1由向心力公式 qv2 Bmv22，解得 rmE0 (11)rqB0 BB 2当 B 2B0 时，半径有最大值 rmmE04qB02要让所有带电粒子都不能打到金属板，应满足dmE02rm ，即 d2qB02(3)要提高速度选择器的速度分辨率，就要使不能沿轴线运动的偏离轴线有最大的距离，圆周运动完成半周期的奇数倍，则T1，2,3，)L v0 (2n 1) ( n2圆周运动的周期 T2 mqB0故应满足的条件 L( 2n 1)2mE0 (n 1，2,3， )qB0【拓展】从此题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解此题。mE011) 后，即

19、有当 B2B0 时，半径有最大值 rmmE0，这是在得出 r(B 24qB02qB0 B为什么？【解答】这个是求极值问题，本来是数学问题，在物理题中，物理老师也要解答。这就是高考要求的 “用数学方法处理物理问题的能力 ”。这里要用导数法求极值：令y11=B B0B0 BB2B0 B2uu vuvB0 B2( B B0 )2BB0B0 B ( B 2B0 )，令根据求导公式 ()2，得 r B02 B4B02 B4vvmE011) 式取极值的条件是B2B0 ，将此条件代入则得其分子为 0，得 r(B2qB0 B- 10 -rmmE0 。4qB02例 7.振动和波问题图甲为一列简谐横波在t=010

20、s 时的波形图， P 是平衡位置为 x=1m 处的质点， Q 是平衡位置为 x=4m 处的质点，图乙为质点Q 的振动图像，则（）A t=0 15s 时，质点 Q 的加速度达到正向最大Bt=0 15s 时，质点 P 的运动方向沿y 轴负方向C从 t=010s 到 t=0 25s，该波沿 x 轴正方向传播了6mD从 t=010s 到 t=0 25s，质点 P 通过的路程为30cm答案： AB分析法： 题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=015s 时，质点 Q到达波谷， 其加速度达到正向最大，A 选项正确； 图甲表示 010s 时的波形图， t=010s时由图乙可知质点Q 正经过平衡位

21、置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波向左传播， Q 才处在 “上坡 ”的位置，其运动方向才向下）。又由图甲可知波长为8m，由图乙可知周期为020s，波速 v=/T=40m/s,从 0 10s 到 0 15s 时间段内，波向左平移 s=vt=2m 。画出此时的波形如下图（将波向左平移2m）从图可以发现，此时质点 P 的运动方向沿 y 轴负方向， B 选项正确；从 t=0 10s 到 t=025s，该波沿 x 轴负方向传播的距离 s=vt=6m ，C 选项方向判断错误； 从 t=010s- 11 -到 t=0 25s，经过的时间为015s，等于即 005s 的 3 倍，质点 P 做变速运动，通过的路程不能用来