高三复习导数专题

1、导 数导数的概念导数的定义、几何意义、物理意义导数的运算导数常见函数的导数导数的运算法则导数的应用求切线的方程函数的单调性函数的极值函数的最值导数与不等式比较两个的代数式大小讨论零点的个数一、导数的基本知识1、导数的定义： f(x0 ) = limyf (x0x)f ( x0)limx.x 0x x 02、导数的公式： C 0 （ C 为常数）(x n ) nx n 1（ nR ）( e x) e x(a x ) a x ln a(ln x)1(log a x)1logae(sin x) cos x(cos x) sin xxx3、导数的运算法则： f (x)g( x)f (x)g (x) f

2、 ( x)g( x)f (x)g ( x) af ( x)af ( x) f ( x)gg( x)f ( x)gg(x)f (x)gg( x)f ( x) f( x) g (x)f ( x)g ( x)g( x) g( x) 24、掌握两个特殊函数b（ 1）对勾函数f ( x)ax（a0 ， b0）x其图像关于原点对称（ 2）三次函数f ( x)ax3bx2cxd (a0)1三次函数 f ( x)32(a 0) 的图像ax bxcx da0a00000三次函数是关于M对称的中心对称图导数的基本 题型和方法1、导数的意义：（ 1）导数的几何意义： kf( x0 )（ 2）导数的物理意义： vs

3、(t)2、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；f(x)0f ( x)在a, b上递增f (x)0f ( x) 在a, b上递减（ 2）判断或证明函数的单调性；f ( x)c（ 3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。3、函数的极值与最值： ( 1) 求函数极值或最值； f ( x0 ) 0x0 是极值点（ 2）由函数的极值或最值，求参数的值或参数的范围。4、导数与不等式。 通过研究函数的最值，进而证明不等式 证明不等式 f(x)g(x)在区间 A 上成立方法一：构造函数 F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间A 上的最小值 Fmin ( x)0方法二：转化为证明f ( x)

4、min g( x) max f(x)g(x)在区间 A 恒成立 , 求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间 A 上的最小值 Fmin (x) 0 , 解此不等式既得参数的范围不等式 f(x)g(x) 的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间 A 上的 最小值 Fmin (x)0解此不等式既得参数的范围不等式 f(x)g(x) 的解集非空，求参数取值范围。 ：构造函数 F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求出函数在区间 A 上的 最小值 Fmax (x)0解此不等式既得参数的范围 比较两个代数式 f(x

5、) 和 g(x 的大小：构造函数 F(x)=f(x)-g(x),再利用导数求函数在区间 A 上的最值， 若最小值 Fmin (x)0，则 f ( x)g( x) ；若最大值 Fmin (x)0 ，则 f ( x)g( x)5、讨论讨论函数f(x) 零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨论零点的个数2三、习题精选：【例 1】导数的意义 ( 特别提醒 利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上 切点处的三个性质）1、 (2010 新课标全国 )曲线 y x3 2x 1 在点 (1,0) 处的切线方程为( A )A y x 1B y x 1Cy 2x 2D y

6、 2x 2解析： y3x2 2，y| 32 1，切线方程为： y 0 x 1， 即 yx 1.x 12、（ 2012 全国）曲线 yx(3ln x1) 在点（ 1,1）处的切线方程为 _【解析】 y 3lnx 4 ，切线斜率为4，则切线方程为：4x y 3 0 .3、 2014 东广 曲线 y 5ex 3 在点 (0， 2)处的切线方程为_ 5x y 20解析 y 5ex，所求切线斜是k 5e0 5，切线方程是y ( 2) 5(x 0)，即 5x y 2 0.4、 2014 课标全国 )设函数 f(x) aln x1a x2 bx(a 1)，曲线 yf(x)在点 (1， f(1)处的切线斜率为

7、 0.则 b=2；分析： 在第 (1) 问中，根据导数的几何意义将问题转化为f(1) 0，即可求出 b 的值；a解： (1)f(x) (1 a)x b.由题设知f (1)0，解得 b 1.sin x1在点 M5、 (2011， 0 处的切线的斜率为湖南 )曲线 y sin x cos x241122A 2B.2C2D. 2Bycos2x sin2 x1k y|x答案（ sin x cos x）21 sin 2x，故切线斜率()1 ，选 B.6、 2014 江西 若曲线 y xln x 上点 P 处的切线平行于直线2x y 1 0，则点 P 的坐标是 _(e， e)解析 由题意知， y ln x

8、 1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令 ln x 1 2，得 x e，所以 y eln e e，所以 P(e，e)7、如果质点A 按规律 s 2t3(s 的单位是m)运动，则在t 3 s 时的瞬时速度为(C)A 6 m/sB 18 m/sC 54 m/sD 81 m/s解析： s6t2，s| 54.t31，则曲线过 Q( 1,0 )点处的切线方程为4x y 4 08 已知曲线 y=、x9、若直线 y 3x 1 是曲线 y x3 a 的一条切线，求实数 a=解： 设切点为 P( x0， y0)，对 y x3 a 求导数得 y 3x2， 3x02 3， x0 1.当 x0 1 时， P(x0，

9、 y0)在 y 3x1 上， y0 31 1 4，即 P(1,4) 又 P(1,4)也在 y x3 a 上， 4 13 a， a 3；当 x0 1 时， P(x0， y0)在 y 3x1 上， y0 3 ( 1) 1 2，3即 P( 1， 2)又 P( 1， 2)也在 y x3 a 上， 2( 1)3 a， a 1.综上可知，实数a 的值为 3 或 1.10 2014 江苏 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 yax2 b(a， b 为常数 )过点 P(2， 5)，且该曲线在x点 P 处的切线与直线 7x 2y 30 平行，则 a b 的值是 _ 3 5 4a b，a 1，解析 易知 y 2a

10、x b2.根据题意有27解得故 a b 3.xb，b 2，4a 24ax 6的图象在点 M (1， f ( 1) )处的切线方程为 x 2y 5 0，则函数 y f(x)=11、已知函数 f(x) x2 b解： 由函数 f(x) 的图象在点 M ( 1， f( 1)处的切线方程为x 2y 5 0，知 1 2f( 1) 5 0，即 f (x) a x2 b 2x ax 6 x2 b 2a2b 4，1即a 1 b 2 a6 2.1 b 21f( 1) 2， f ( 1) 2.a 6 2，1 b，a 1 b 2 a 6 1，1 b 22解得 a 2， b 3( b1 0， b 1 舍去 )所以所求的

11、函数解析式是2x 6f(x) 2 3.x12、（ 2010 辽宁）已知点P 在曲线 y4上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围ex1是()(A)0, )(B),)（ C） (2, 3(D) 3,)44244解析：选 D. y4ex141，Q ex12, 1y 0，e2 x2exex2exex即 1tan0 ，3,)413、设 P 为曲线 C： y x2 x 1 上一点，曲线C 在点 P 处的切线的斜率的范围是 1,3 ，则点 P 纵坐标的取值范围是 _解析： 设 P(a， a2a212 3 a1)，yx2a 1 1,3 ，0 a 2.而 g(a) a a 1a 4，|2133当 a

12、 2时， g( a) min4.a 2 时， g( a)max 3，故 P 点纵坐标范围是4，3 .【例 2】函数的单调性ln x的单调递增区间为；单调递减区间为1、（ 2014 湖北）函数 f(x) x4ln x1 ln x解：函数 f(x)的定义域为 (0， )因为 f( x) x ，所以 f(x)x2.当 f(x)0，即 0xe 时，函数f(x)单调递增；当 f(x)e 时，函数f(x)单调递减故函数 f(x)的单调递增区间为(0， e)，单调递减区间为(e， )2、设函数f(x) x(ex 1)1 x2 则函数 f( x)的单调递增区间为2答案：递增区间为 (,1) ， (0,)递减区

13、间为 ( 1,0)3函数 f(x) x3 ax 2在区间 (1， )上是增函数，则实数 a的取值范围是( B )A 3， )B 3， )C ( 3， )D (， 3)解析： f(x) x3 ax 2 在 (1， )上是增函数，f (x) 3x2 a 0 在 (1， )上恒成立即a 3x2 在 (1， )上恒成立又在(1， )上 3x2 3，a 3.4、 (2014 课标全国 11)若函数 f (x) kx ln x 在区间 (1， ) 单调递增，则k 的取值范围是( D）A (， 2B (， 1C 2， )D 1， )1，又 f (x)在 (1， )上单调递增，解析： 由 f (x) kx1则

14、 f(x) 0在 x (1， )上恒成立，即 k在 x (1， )上恒成立1x1，故 k1.故选 D.又当 x (1， )时， 0x5、 (2014 湖南 )若 0 x1 x2 1，则(C)A ex2 ex1 ln x2ln x1B ex2 ex1 ln x2 ln x1C x2 ex1x1ex2D x2ex1x1ex2解析： 设 f(x) exln x，则 f xx ex1且 x 趋近于 0 时， xex 1 0；x.当 x0x1 0，因此在 (0,1)上必然存在 x1212当 x 1 时， xe x，使得 f(x ) f(x )，因此 A ， B 不正确；设 gex，当 0 x 1 时，g

15、x( x 1)ex0 ，所以 g( x)在 (0,1)上为减函数 所以 g(x1) g(x2)，xxx2即 ex1ex2，所以 x2ex1x1ex2 .故选 C.x1x26、若函数 f(x) mx2ln x 2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 _1解析： 由题意可得： f (x) 2mx x 2在 (0， )上有 f (x) 0 恒成立，所以2mx1 20 在 (0， )上恒成立，即2m212在 (0， )上恒成立，设t(x)122xxxxx511 x 12 1，只要求出 t( x)在 (0， )上的最大值即可 而当 x 1，即 x1时，t(x)max 1，所以 2m 1，11，

16、即 m 2.答案： 27、已知 f(x) ex ax 1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增，求a 的取值范围解： (1) f(x) ex ax1， f (x) ex a.令 f (x) 0 得 ex a，当 a 0 时，有 f (x) 0 在 R 上恒成立； 当 a 0 时，有 x ln a. 综上，当 a 0 时， f(x)的单调增区间为 (， )；当 a0 时， f(x) 的单调增区间为 ln a， )(2) f(x) exax 1， f( x) ex a. f(x)在 R 上单调递增， f (x) ex a0 恒成立，即 a ex， x R 恒成

17、立 x R 时， ex (0， )， a 0.故当 a 0 时， f(x)在定义域R 内单调递增8、已知函数 f(x) x3 ax2 x1， a R.设函数 f(x)在区间 2，1内是减函数，求 a 的取值范围33解析：若函数在区间 2， 12 2ax 1 0 两根在区间2， 133内是减函数， 则说明 f (x)3x33外，由此 f 2 0，且 f 1 0，由此可以解得a 2.因此 a 的取值范围是 2， )33或用变量分离法9、【2012 高考新课标文21】（本小题满分12 分）设函数 f(x)= ex ax 2求 f(x)的单调区间【例 3】函数的极值与最值1、函数 f(x) x3 3x

18、22 的极大值是2极小值是2解析： f(x) 3x2 6x，令 f(x) 0，得 x 0， x22、 (2014 北京 )已知函数f(x) 2x3 3x.，则 f(x)在区间 2,1 上的最大值为解： (1) 由 f(x) 2x3 3x 得 f(x) 6x2 3，2或 x2令 f(x) 0，得 x.226因为 f(2) 10， f (2 )2， f (2 )2 ， f(1) 1，22所以 f(x)在区间 2,1 上的最大值为f (2 )2 .1233、函数 yx在 1,2 上的值域是 _0, x2e4、 (2014 陕西 )设函数fxln xx，则 f(x)的极小值为解析： f x ln xe

19、x x e，则 fx2x当 x (0，e)， f(x)0， f(x)在 (0， e)上单调递减，当 x (e， )， f(x) 0， f(x)在(e， )上单调递增，ex e 时， f(x)取得极小值 f(e) ln e 2，f(x)的极小值为 2.e5、已知 f(x) 2x3 6x2 m(m 为常数 )在 2,2 上有最大值 3，那么函数在 2,2上的最小值是(A)A 37B 29C 5D 以上都不对解析： f (x) 6x2 12x 6x(x 2)，f(x)在 ( 2,0)上为增函数，在 (0,2)上为减函数，当 x 0 时， f(x) m 最大 m 3，从而 f ( 2) 37，f (2

20、) 5.最小值为 37.6、函数 y x3 2ax a 在 (0,1)内有极小值，则实数 a 的取值范围是(B)A (0,3)B. 0，3C (0， )D (， 3)22a解析： 令 y 3x2 2a 0，得 x 3 (a 0，否则函数 y 为单调增函数 )若函数 y x3 2ax a2a3在 (0,1)内有极小值，则3 1，0 a 2.7、 R，若函数 y exax， x R 有大于零的极值点，则(A)11A a 1B a 1Ca eD a e解析： 由 y (ex ax) ex a0得 ex a，即 x ln( a) 0? a 1? a 1.8、 y f( x)是奇函数，当x (0,2)

21、时， f(x) ln x ax a1 ，当 x ( 2,0)时， f(x)的最小值为1，2则 a 的值等于(D)111A. 4B.3C.2D 11解析： f(x)是奇函数， f(x)在 (0,2)上的最大值为1，当 x (0,2)时， f (x) x a，111令 f (x) 0 得 xa，又 a2，0 a 2.71111令 f (x) 0，则 x a，f(x)在 0， a上递增；令 f (x) 0，则 x a，f( x)在 a， 2 上递减，f(x)max f1 ln111aaa 1，ln 0，得 a 1.aa9、函数 f(x) x3 3ax2 3x 1f(x)在区间 (2,3) 中至少有一

22、个极值点，求a 的取值范围解： f (x) 3(x a)2 1 a2当 1a20 时， f (x) 0， f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当 1a20 时， f (x) 0有两个根， x1 aa2 1， x2a a2 1.由题意知，2 aa2 1 3，或 2 a a2 1 3.式无解，式的解为5 a 5，因此 a 的取值范围是 5， 5434 3 .或用二次函数根的分布做此题10 、（ 2013 年福建） 已知函数 f ( x) x 1aR , e 为自然对数的底数 ).x ( ae(1) 若曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线平行于 x 轴 , 求 a 的值 ;(2

23、) 求函数 f ( x) 的极值 ;【答案】 解:( ) 由fxx1ax1aex , 得 fx .e0 , 即 1 a又曲线 yfx在点 1, f1处的切线平行于x 轴 ,得 f 10 , 解得 a e.ae( ) f x1,ex当 a0 时,fx0,fx为,上的增函数 ,所以函数 fx 无极值 .当 a 0 时, 令 fx0 , 得 exa , x ln a .x,ln a,fx0; xln a,fx 0 .所以 f x在,ln a上单调递减 , 在 ln a,上单调递增 ,故 fx 在 xln a 处取得极小值 , 且极小值为fln a ln a , 无极大值 .综上 , 当 a0时 ,

24、函数 fx无极小值 ;当 a0,fx在xln a处取得极小值 ln a , 无极大值 .11、 (2014 四川 )已知函数 f(x)ex ax2 bx1，其中 a， b R，设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间 0,1 上的最小值；分析： (1) 先利用求导求出 g(x)的解析式，再求出其导函数g(x)，根据 a 的不同取值分类讨论g(x)的符号变化，判断其单调性，从而求其最值；解： (1) 由 f( x) ex ax2 bx 1，有 g(x) f(x) ex 2ax b.所以 g(x)ex 2a.8当 x 0,1 时， g(x) 1 2a， e 2a 1当 a时，

25、g(x) 0， 所以 g(x)在 0,1 上单调递增，因此 g(x)在 0,1 上的最小值是g(0) 1 b；2当 aeg(x)在 0,1 上的最小值是g(1) e 2a b；时， g(x) 0，所以 g(x)在 0,1 上单调递减，因此21e时，令 g(x) 0，得 x ln(2 a) (0,1)当a22所以函数 g(x)在区间 0 ，ln(2 a) 上单调递减，在区间(ln(2 a)，1上单调递增于是， g(x)在 0,1 上的最小值是g(ln(2 a) 2a 2aln(2a) b.综上所述，当 a1g(0) 1 b；时， g(x)在 0,1 上的最小值是21ae时， g(x) 在 0,1

26、 上的最小值是 g(ln(2 a) 2a 2aln(2 a) b；当22e当 ag(1) e2a b.时， g(x)在 0,1 上的最小值是2【例 4】导数与函数的零点1、若函数 f(x) x3 3x a 有 3 个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A ( 2,2)B 2,2C (， 1)D (1， )解析： 由 f (x) 3x2 33(x1)(x1) ，且当 x 1 时， f (x) 0；当 1 x1时， f (x) 0；当 x 1时， f (x) 0.所以当 x 1 时函数 f(x)有极大值，当x1时函数 f(x)有极小值要使函数 f ( x) 有 3 个不同的零点，只需满足f 1

27、 0，解之得 2 a2.f1 0.（或转换成两个函数的图像来做）2、 (2014 课标全国12)已知函数 f(x) ax3 3x2 1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a 的取值范围是(C)A (2， )B (1， )C (， 2)D (， 1)解析： 当 a 0 时， f(x) 3x2 1 存在两个零点，不合题意；当 a 0 时， f(x) 3ax2 6x 3axx2，令 f(x) 0，得 x10， x22，aa所以 f(x)在 x 0 处取得极大值f(0) 1，在 x2214处取得极小值 faa2 ，a要使 f(x)有唯一的零点，需 f20 ，但这时零点x0 一定小于0

28、，不合题意；a当 a 0 时， f(x) 3ax2 6x3axx2，令 f(x)0，得 x12a 0， x2，a这时 f(x)在 x0 处取得极大值f(0) 1，在 x2214处取得极小值fa2，aa要使 f(x) 有唯一零点，应满足2140 ，解得 a 2(a 2 舍去 )，faa29且这时零点x0 一 定大于 0，满足题意，故a 的取值范围是 ( ， 2)3、已知函数 f ( x)ln xx2x 判断函数 f ( x) 零点的个数；解：f ( x)ln x x2x ，其定义域是 (0, )f ( x)12 x12x2x1xx令 f( x)0，即2x2x 10 ，解得 x1 或 x 1x0

29、， x1 舍去x22当时，f ( x)0；当x 1时，f (x) 00 x 1 函数 f(x) 在区间0,1上单调递增，在区间1,上单调递减 当 x =1 时，函数f (x) 取得最大值，其值为f (1)ln1 1210 当 x 1时， f (x)f (1)，即 f ( x)0 函数 f (x) 只有一个零点m4、 (2014 陕西 )设函数fxln x， mR .，xx讨论函数 g x fx零点的个数；3解析：由题设g xf xx1mx3xx2(x 0)，1 x33令 g(x) 0，得 mx (x 0)，1 x33设 (x)mx( x 0)，3则 (x) x2 1 (x 1)(x 1)，当

30、x (0,1) 时， (x) 0， (x)在 (0,1)上单调递增；当 x (1， )时， (x) 0， (x)在 (1， )上单调递减x1 是 (x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x 1 也是 (x)的最大值点，(x)的最大值为 (1)2. 又 (0) 0，结合 y (x)的图像 (如图 )，可知23当 m时，函数 g(x)无零点；3当 m2时，函数 g(x)有且只有一个零点；3当 02m时，函数 g(x)有两个零点；3当 m 0 时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m2 时，函数 g(x) 无零点；32当 m或 m 0 时，函数g(x)有且只有一个零点；3102当 0 m时，函数

31、 g(x) 有两个零点35、 (2014 北京 ) 已知函数 f(x) 2x3 3x.若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线y f(x)相切，求 t 的取值范围；解析：设过点P(1， t)的直线与曲线y f(x)相切于点 (x0， y0)，则 y02x033x0，且切线斜率为k6x023，所以切线方程为 yy0 (6 x023)( xx0 ) ，因此 t y0(6 x0 23)(1 x0 ) 整理得4x036x02t 3 0 ，设 g(x) 4x3 6x2 t 3，则 “ 过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线 y f(x) 相切 ” 等价于 “ g(x)有 3 个不同零点 ”g(x) 12x2 12x 12x(x 1)g(x)与 g(x)的情况如下：x(， 0)0(0,1)1(1， )g(x)00g(x)Zt 3t 1Z所以， g(0) t 3 是 g(x) 的极大值， g(1) t 1 是 g(x)的极小值当 g(0) t 3 0，即 t 3 时，此时 g(x)在区间 ( ，1和 (1， )上分别至多有1 个零点，所以 g(x)至多有 2 个零点当 g(1) t 1 0，即 t 1 时，此时 g(x)在区间 ( ，0)和 0， )上分别至多有1 个零点，