2019届高考数学一轮复习 第二章 函数 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版

1、2 2. .3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 -2- 知识梳理双基自测2341自测点评 1.函数的奇偶性 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 -3- 知识梳理双基自测自测点评2341 2.奇(偶)函数的性质 (1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在 关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇函数奇函数=奇函数,偶函数偶函数 =偶函数,奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函 数偶函数=奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则

2、f(0)=0. -4- 知识梳理双基自测自测点评2341 3.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:T0; 对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且 n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x). f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 -5- 知识梳理双基自测自测点评2341 4.函数周期性的常用结论 对函数f(x)的定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则

3、T=2a. (4)若f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则T=2a. (5)若f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则T=4a. (6)若函数的图象关于两条直线x=a,x=b对称,则T=2|a-b|. (7)若函数的图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称,则T=2|a-b|. (8)若函数的图象关于直线x=a和点M(b,0)对称,则T=4|a-b|. 2 -6- 知识梳理双基自测3415自测点评 答案 答案 关闭 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)函数y=x2,x(0,+)是偶函数. () (2)若函数f(x)为奇函数,则一

4、定有f(0)=0. () (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对 称;若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心 对称. () (4)若函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶 函数. () (5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-,0)内 是减函数,则f(x)在区间(0,+)内是增函数. () (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期. () -7- 知识梳理双基自测自测点评23415 答案 答案 关闭 B 2.已知f(x)

5、=ax2+bx是定义在区间a-1,2a上的偶函数,则a+b的值 是() -8- 知识梳理双基自测自测点评23415 3.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的 个数是() A.4B.3C.2D.1 答案 答案 关闭 C -9- 知识梳理双基自测自测点评23415 4.(教材习题改编P39T6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x0时,f(x)=x(1+x),则当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x); 当x0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x

6、=-(x2+x)=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数. -14- 考点1考点2考点3考点4 解题心得判断函数的奇偶性要注意两点: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提. (2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成 立. -15- 考点1考点2考点3考点4 -16- 考点1考点2考点3考点4 即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数. (2)函数的定义域为x|x0,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x); 当

7、x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x). 故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. -17- 考点1考点2考点3考点4 -18- 考点1考点2考点3考点4 例2(1)(2017贵州贵阳适应性检测)若f(x)是R上的奇函数,且当x0 时,f(x)=x3-8,则x|f(x-2)0=() A.x|-2x2B.x|0 x4 C.x|x0或2x4D.x|x2 (4)已知函数g(x)是定义在区间-2,2上的偶函数,当x0时,g(x)单 调递减,若g(1-m)g(m),求m的取值范围. 思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用? 答案

8、 答案 关闭 (1)B(2)1(3)2 -19- 考点1考点2考点3考点4 解析:(1)当x=2时,有f(2)=0,因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=0,作出f(x) 的大致图象,由图象可知,当-2x-22,即0 x4时,有 f(x-2)0,故选B. (2)因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1). 所以ln a=0,所以a=1. 经检验,a=1时,f(x)为偶函数. -20- 考点1考点2考点3考点4 对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为0,即g(x)max+g(x)min=0, 而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min, 故f(x)max+f(x

9、)min=M+m=2. (4)解:因为g(1-m)g(m),且g(x)为偶函数, 所以g(|1-m|)|m|,且|1-m|2,|m|2, -21- 考点1考点2考点3考点4 解题心得函数奇偶性的应用主要有:利用函数奇偶性求函数解析 式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不 等式;利用函数的奇偶性求最值等. -22- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练2(1)(2017河北百校联考)已知f(x)满足对任意xR,f(- x)+f(x)=0,且当x0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为() A.4B.-4C.6D.-6 (2)已知函数f(x)是定义在

10、R上的偶函数,且在区间0,+)内单调递 减,若f(ln x)+f -2f(1)0,则 x的取值范围是. 答案 答案 关闭 -23- 考点1考点2考点3考点4 解析:(1)由题意知函数f(x)是奇函数.因为f(0)=e0+m=1+m=0,解得 m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故选B. (2)因为f(x)是定义在R上的偶函数, 即2f(ln x)1时,ln x1,即xe.故选D. (3)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|). 所以f(x-1)0可化为f(|x-1|)f(2). 又f(x)在区间0,+)内单调递减, 所以|x

11、-1|2,解得-2x-12,即-1x3. -24- 考点1考点2考点3考点4 (4)因为f(x)在区间(-b,b)内是奇函数, -25- 考点1考点2考点3考点4 例3(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3x-1时,f(x)=- (x+2)2;当-1x3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)等于 () A.335 B.336 C.1 678D.2 012 2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=. 思考函数的周期性主要的应用是什么? 答案 答案 关闭 (1)B(2)2.5 -26- 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)f(x+6)=

12、f(x), 函数f(x)的周期T=6. 当-3x-1时,f(x)=-(x+2)2; 当-1x3时,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1. 又f(2 016)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)=336. -27- 考点1考点2考点3考点4 函数f(x)的周期为4. f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5. 解题心得利用函数的周

13、期性,可将其他区间上的求值、求零点个 数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题进行求解. -28- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练3(1)(2017山东,文14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=. (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x0,都有 f(x+2)= ,且当x0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 013)+f(2 015)= . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 -29- 考点1考点2考点3考点4 例4(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f

14、(x+1)=-f(x),若f(x) 在区间-1,0上是减函数,则f(x)在区间1,3上是() A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 A.(-,-1) B.(-1,2) C.(0,2) D.(1,2) 思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有 哪些? 答案 答案 关闭 (1)D(2)D -30- 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)由f(x)在-1,0上是减函数,又f(x)是R上的偶函数,故f(x)在 0,1上是增函数. 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函数f(x) 的一个周期. 结合以上性质

15、,画出f(x)的部分草图,如图所示. 由图象可以观察出,f(x)在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故 选D. -31- 考点1考点2考点3考点4 -32- 考点1考点2考点3考点4 解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略: (1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性 相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶 性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的 定义域内求解. (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期 性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解. -33

16、- 考点1考点2考点3考点4 对点训练对点训练4(1)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数, 且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 014)的值为() A.2B.0C.-2 D.2 答案 答案 关闭 (1)A(2)D -34- 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=f(x-1),f(x+1)=-f(x-1). f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期 函数, f(2 014)=f(2)=2. -35- 考点1考点2考点3考点4 令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=1. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, f(1.5)=f(-1.5+3)=f(-1.5)=-f(1.5), f(-1)=f(1)=f(0)=f(1.5)=f(-1.5)=0, 又函数f(x)是周期为3的周期函数, 函数f(x)在区间0,6上的零点为0,1,1.5,2,3,4,4.5,5,6,共9个, 故选D. -36- 考点1考点2考点3考点4 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)“定 义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分 条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)