2021年高考数学《考前30天大题冲刺》练习十五(含答案详解)

1、2021年高考数学考前30天大题冲刺练习十五已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足a=3bcos C.(1)求的值；(2)若a=3，tan A=3，求ABC的面积为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，AD=CD=BC=C

2、F.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.如图，已知抛物线和，过抛线上一点作两条直线与相切于、两点，分别交抛物线于、两点，圆心点到抛物线准线的距离为（1）求抛物线的方程；（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值已知函数f(x)=ex-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值;(2)证明:当x0时,g(x)f(x).参考答案解：(1)由正弦定理=2R及a=3bcos C可得2Rsin

3、A=32Rsin Bcos C，即sin A=3sin Bcos C.ABC=，sin A=sin(BC)=3sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C=3sin Bcos C，cos Bsin C=2sin Bcos C，=2，故=2.(2)法一：(直接法)由ABC=，得tan(BC)=tan(A)=3，即=3，将tan C=2tan B代入得=3，解得tan B=1或tan B=.根据tan C=2tan B，得tan C，tan B同号，又tan C，tan B同时为负数不合题意，tan B=1，tan C=2，sin B=，sin C=，sin A=，由正弦定理可得

4、=，b=，SABC=absin C=3=3.法二：(整体代入法)由ABC=，得tan(BC)=tan(A)=3，即=3，将tan C=2tan B代入得=3，解得tan B=1或tan B=.根据tan C=2tan B得tan C，tan B同号，又tan C，tan B同时为负数不合题意，tan B=1，tan C=2.又a=3bcos C=3，bcos C=1，abcos C=3，abcos Ctan C=6，SABC=absin C=6=3.解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为=2

5、.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0,1,2，P(X=1)=P(A)P(B)=，P(X=2)=P(C)=，P(X=0)=P(D)=，X的分布列为X012PE(X)=012=.解：(1)证明：在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，ABCD，BCD=，AB=2，AC2=AB2BC22ABBCcos =3.AB2=AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，而CF

6、BC=C，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，=(，1,0)，=(，1,1)，设平面MAB的法向量为n1=(x，y，z)，则，即，令x=1，则n1=(1，)，为平面MAB的一个法向量.易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos =.0，当=0时，cos 有最小值，点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.解：（1）点到抛物线准线的距离为，即抛物线的方程为（2）当的角平分线垂直轴时，点，设，（3）设点，以为圆心，为半径的圆方程为，方程：-得：直线的方程为当时，直线在轴上的截距，关于的函数在单调递增， (1)解:由题设得f(x)=ex-2ax,所以f(1)=e-2a=b,f(1)=e-a+1=b+2,解得a=1,b=e-2.(2)证明:由(1)知,f(x)=ex-x2+1,令函数h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-(e-2)x-1,所以h(x)=ex-2x-(e-2)