高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做05《立体几何：建系困难问题》(含答案详解)

1、高考数学(理数)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做05立体几何：建系困难问题【例题】如图，在四棱锥中，已知底面是边长为1的正方形，侧面平面，与平面所成角的正弦值为（1）求侧棱的长；（2）设为中点，若，求二面角的余弦值解：（1）取中点，中点，连结，又平面平面，平面，平面平面，平面，又是正方形，以为原点，为，轴建立空间直角坐标系（如图），则，设，则，设平面的一个法向量为，则有，取，则，从而，设与平面所成角为，解得或，或（2）由（1）知，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，而，取，则，即，设二面角的平面角为，根据图形得为锐角，二面角的余弦值为如图1，在矩形中，点在线段上，且，现将沿

2、折到的位置，连结，如图2（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为若二面角为，求与平面所成角的正弦值矩形中，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值 图一 图二在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，底面，是的中点（1）求

3、证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值答案解析证明：（1）先在图1中连结，在中，由，得，在中，由，得，则，从而有，即在图2中有，平面，则；解：（2）延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到在平面内过点作底面垂线，以为原点，分别为， ，及所作垂线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，取，得与平面所成角的正弦值为解：（1）在四棱锥中，从而有，又面，而面，而、面，且，由线面垂直定理可证面，又面，由面面垂直判断定定理即证面面（2）由条件知面，过点做的平行线，又由（1）知面，以、分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示：，面的一个法向

4、量为，设面的法向量为，则有，从而可得面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，与互补，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为解：（1）设的中点为，连接，由题意，得， 在中，为的中点，在中，平面，平面，平面，平面平面（2）由（1）知，平面，是直线与平面所成的角，且，当最短时，即是的中点时，最大由平面，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则由得：令，得，即设平面的法向量为，由得：，令，得，即由图可知，二面角的余弦值为（1）证明：取中点，连接，在中，有，分别为、中点，在矩形中，为中点，四边形是平行四边形，而平面，平面，平面（2）取中点，连接，设四边形是矩形，平面平面，平面平面=，平面，平面，又，为中点，故可建立空间直角坐标系，如图所示，则，设是平面的一个法向量，则，即，不妨设，则易知向量为平面的一个法向量，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为解：（1）因为平面，平面，所以因为，所以所以，所以，又，所以平面，（2）如图，以点为原点，分别为轴，