高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质

1、第第5讲直线、平面垂直的判定及其性质讲直线、平面垂直的判定及其性质 最新考纲最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用 公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的 简单命题. 知 识 梳 理 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与 平面互相垂直. 任意 (2)判定定理与性质定理 两条相交直线 la lb a b 平行 a b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_， 就说这两个平面互相垂直. 直二面角 (2)判定

2、定理与性质定理 文字语言图形表示符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个 平面的一条_，则 这两个平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面互相垂 直，则在一个平面内 垂直于它们_的直 线垂直于另一个平面 垂线 交线 l l a la l 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直 于另一个平面.() (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则 .() 解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有l或l与 斜交

3、或l或l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一 平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可 能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则， 故(4)错误. 答案(1)(2)(3)(4) A.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于 平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直 线垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l，那么l 平面 D.如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平 面 2.(必修2P56A组7T改编)下列命题中错误的是

4、() 解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可 能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、 平行或在平面内，其他选项易知均是正确的. 答案D 3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n 满足m，n，则() A.ml B.mn C.nl D.mn 解析因为l，所以l，又n，所以nl，故选C. 答案C 4.(2017湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是 两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的 是() A.且m B.且m C.mn且n D.mn且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理， 可知C正确. 答案C 5.(必修2P67练习2改编)在三棱

5、锥PABC中，点P在平面 ABC中的射影为点O， (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的 _心. 解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以OAOBOC，即O为ABC的外心. 图2图1 (2)如图2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB， PCAB，又ABPO，POPCP， AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG， 即CG为ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为 ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心. 答案(1)外(2)垂

6、考点一线面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，ABAD，ACCD， ABC60，PAABBC，E是PC 的中点.证明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE. 证明(1)在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD，又ACCD，且PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB平面ABCD， PAAB. 又ABAD，且PAADA， A

7、B平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE. 规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有： 判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)； 面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (，a，la，ll). (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则 需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理 转化是证明线面垂直的基本思想. 考点二面面垂直的判定与性质 【例2】 (2015山东卷)如图，三棱台 DEFABC中，AB2DE，G，H 分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD平面FGH； (2)若CFBC，ABBC，求证： 平面BCD平面EGH.

8、 证明(1)连接DG，CD，设CDGFM，连接MH. 在三棱台DEFABC中， AB2DE，G为AC中点， 可得DFGC，且DFGC， 则四边形DFCG为平行四边形. 从而M为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以HMBD，又HM平面FGH，BD 平面 FGH， 故BD平面FGH. (2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点， 所以GHAB. 由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点， 所以EFHC，EFHC， 因此四边形EFCH是平行四边形， 所以CFHE.又CFBC，所以HEBC. 又HE，GH平面EGH，HEGHH， 所以BC平面EGH. 又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH

9、. 规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的 定义；面面垂直的判定定理. (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一 个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转 化为线线垂直. 【训练2】 如图，在三棱锥PABC中， 平面PAB平面ABC，PAPB，M，N 分别为AB，PA的中点. (1)求证：PB平面MNC； (2)若ACBC，求证：PA平面MNC. 证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB. 又因为MN平面MNC，PB 平面MNC，所以PB平面 MNC. (2)因为PAPB，MNPB，所以PAMN. 因为ACBC，AMBM，所以CMAB. 因为

10、平面PAB平面ABC， CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB. 所以CM平面PAB. 因为PA平面PAB，所以CMPA. 又MNCMM，所以PA平面MNC. 考点三平行与垂直的综合问题(多维探究) 命题角度一多面体中平行与垂直关系的证明 【例31】 (2016江苏卷)如图，在直 三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别 为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上， 且B1DA1F，A1C1A1B1.求证： (1)直线DE平面A1C1F； (2)平面B1DE平面A1C1F. 证明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DEAC，于是

11、DEA1C1. 又因为DE 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， 所以直线DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1. 又因为A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面 ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1. 因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D. 又因为B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F， A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F. 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F. 规律方法(1)三种垂直的综合

12、问题，一般通过作辅助 线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直 的性质及判定的综合应用. 命题角度二平行垂直中探索性问题 【例32】 如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为 矩形，BCCE，点F为CE的中点. (1)证明：AE平面BDF. (2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得 PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存 在，请说明理由. (1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图. 四边形ABCD是矩形， O为AC的中点，又F为EC的中点， OF为ACE的中位线， OFAE，又OF平面BDF，AE 平

13、面BDF， AE平面BDF. (2)解当P为AE中点时，有PMBE， 证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，P为AE的中 点，H为BE的中点，PHAB，又ABCD，PHCD， P，H，C，D四点共面.平面ABCD平面BCE， 平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC. CD平面BCE，又BE平面BCE， CDBE，BCCE，H为BE的中点， CHBE， 又CDCHC， BE平面DPHC，又PM平面DPHC， BEPM，即PMBE. 规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后 证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成 立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分

14、性. (2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的 位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等 分点中某一个，也可以根据相似知识建点. (1)求证：AC平面FBC. (2)求四面体FBCD的体积. (3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在， 请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. (3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平 面FDM.证明如下： 连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN. 因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点. 所以EAMN.因为MN平面FDM，EA 平面FDM， 所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中 点，使得EA平面FDM成立. 2.证明面面垂直的方法 (1)利用定