高三数学二轮复习专题六第2讲概率、随机变量及其分布列教案

1、自主学习导引真题感悟Ow xw 2,1. (2012 北京)设不等式组表示的平面区域为 D,在区域D内随机取一个0W yW2点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是n n 2A. 4B. 2n 4 nC. 6D. 亍解析 如图，平面区域D是面积为4的正方形，D内到坐标原点的距离大于 2的点所组成17逐*Oi 2S.的区域为图中阴影部分，4 n其面积为4 n,故此点到坐标原点的距离大于2的概率为一，故选D.答案 D32 . (2012 山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为匚，命中得142分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为3每命中一次得2分，没有命中得0分该

2、射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击.(1) 求该射手恰好命中一次的概率；(2) 求该射手的总得分X的分布列及数学期望 EX解析(1)记：该射手恰好命中一次”为事件 代该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C, “该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意知 P(B) = 3，PC) = RD = 3,43由于 A= BC D + BCD + B CD,根据事件的独立性和互斥性得P(A) = P(BC D + BCD + B CD)=P(BC D) + P( BCD) + P( B CD)=P( B) P( )P( D) + P( B)P(Q P D)

3、 + P( B) P( C) P( D)3 2232蔦x 1-3 x 1 3 + 1 4 + 3X(2) 根据题意知X的所有可能取值为 根据事件的独立性和互斥性得P(X= 0) = R B C D)=1 P( B)1 RC1 RD2 7x =3 360,1,2,3,4,5.32211 4 X 1 3 X 1 3 = 36.P(X= 1) =D) = P(B)P( R D)3221=X 1 X 1 =,43312P(X= 2) = P( BCD + B CD) = P( BCD) + F( B CD)3 223221=1 X X 1 + 1 X 1 X=,4 334339P(X= 3) = RB

4、C + BCD) = P(BCD) + P(BD)3 22 34 33 - 42 2 11 3 X 3 = 3,P(X= 4) = P( BCD =13 X 2 X 2=1,43 3 92 2 13 3一3.P(X= 5) = RBCD = 4X 3X 3 =故X的分布列为X012345111111P36129393所以 EX= 0X 丄 + 1 X + 2X 1 + 3X 1 + 4X 1+ 5X -361293934112考题分析本部分内容的基础是概率，高考试题中无论是以古典概型为背景的分布列，还是以独立重复 试验为背景的分布列，都要求计算概率解此类问题的一个难点是正确的理解题意，需特别

5、注意.网络构建互斥事件的概率加法公式高频考点突破考点一：古典概型与几何概型【例1】（1）（2012 衡水模拟）盒子中装有形状、大小完全相同的 3个红球和2个白球，从中 随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球那么取球次数恰为3次的概率是A.18V25B3612581C. D. TTT125125（2）（2012 海淀二模）在面积为1的正方形ABC呐部随机取一点巳则厶PAB勺面积大于1等于4的概率是审题导引（1）解题的关键是理解题意，应用计数原理与排列组合公式计算基本事件的个数;1 首先找到使 PAB的面积等于4的点P然后据题意计算.规范解答（1）设事件“取球次数恰为3次”为事件A,

6、则P（A）=2C1 C3 C36E、F分别是AD BC的中点,1则当点p在线段EF上时，”肯，1要使&pab 4需点P位于矩形EFCD内，1Sg形 EFCD 21故所求的概率为：P(A =7；.Se方形 ABCD 12 1答案(1)B(2) 2【规律总结】解答几何概型、古典概型问题时的注意事项(1) 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数， 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2) 在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基 本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性.(3) 当构成试验的结果的区域为长度、面积、体

7、积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求 解.(4) 利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.【变式训练】1. (1)(2012 石景山一模)如图，圆O x2+ y2=n 2内的正弦曲线y = sin x与x轴围成的区域记为M图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率是解析阴影部分的面积为S 阴=2 n sin xdx035=2cos x | 0 = 4,Sw4故 P=J=3Soo n答案2n2. (2012 广州模拟)从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知 3人中至少有34351

8、名女生的概率为由，贝U n=.c3解析 据题意知，所选3人中都是男生的概率为 亍,C1 + 3C334至少有1名女生的概率为 1亍C1 + 3 n= 4.答案 4考点二：相互独立事件的概率与条件概率32【例2】(1)甲射击命中目标的概率为 *乙射击命中目标的概率为3，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为1115A.尹1 C. pD.g(2)从1,2,3,4,5 中任取2个不同的数，事件 A=“取到的2个数之和为偶数”，事件 B =“取到的2个数均为偶数”，则 RB|A!=112 1A. fB. ；C D.845 2审题导引(1)把事件“目标被击中”分解为三个互斥事件求解；(2)据古典

9、概型的概率分别求出R A与P(AB，然后利用公式求 R B A) 规范解答(1)解法一设甲、乙射击命中目标分别记作事件A B,32则 P(A) = 4，RD = 3，则该目标被击中的概率为P(AE) + F( AB) + P(AB32113232=4X 1 3 + 1-4 X 3+ 4X 3 =巨解法二 若采用间接法，则目标未被击中的概率为3 21312P( A B) = 1- X 1 二4则目标被击中的概率为1 P( A B) = 1 -2 =1112 1225,C3+ C24 RA = -CT=10C 1P(AB=責和由条件概率计算公式，得丄P AB To 1 P(B|A) = p a =

10、 7 = 4.10【规律总结】(1) 求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事 件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.(2) 一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解.(3) 注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情 况；在每次试验中，事件发生的概率相同.(4) 牢记公式R(k) = Cnpk(1 p)n k, k= 0,1,2，n,并深刻理解其含义.2 解答条件概率问题时应注意的问题(1) 正确理解事件之间

11、的关系是解答此类题目的关键.(2) 在求P(AB时，要判断事件A与事件B之间的关系，以便采用不同的方法求 P(AB .其P B中，若 B? A,则 P( AB = R ，从而 P(B| A) = p A .【变式训练】3. (2012 宜宾模拟)设某气象站天气预报准确率为0.9，则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是A. 0.287 6B. 0.072 9C. 0.312 4D. 0.291 6解析据题意知在4次预报中恰有3次预报准确的概率为C! 0.9 3 0.1 = 0.291 6.答案 D4. (2012 枣庄模拟)如图，CDEF是以圆O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗 OCFH

12、内”(点H将劣弧Ef二等分),豆子随机地扔到该圆内，用 B表示事件“豆子落在正方形32A.B.n nA表示事件“豆子落在扇形CDEF内 ”，贝U P(B|A)=33nC.8D. 花解析：圆的半径为1,13一 nS扇形 OCFH 24-P(Z =-OO O3 2P(AB =则正方形的边长为：2,3n 8,7t则 P(BA)= pT2=34 n 2 可=n.8答案 B考点三：离散型随机变量的分布列、期望、方差【例3】(2012 合肥模拟)某公司设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的1 1 1 1概率分别为4、

13、2; 一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为2、4两人租车时间都不会超过三小时.(1) 求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2) 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量E ,求E的分布列与数学期望 EE.审题导引(1)把事件“甲、乙两人所付租车费用相同”分解为三个互斥事件：租车费用为2元、租车费用为4元、租车费用为 6元，分别求其概率，然后求和；(2)甲、乙两人所付的租车费用之和可能为4元、6元、8元、10元、12元，分别求出E取上述各值的概率即可得到其概率分布列.1 1规范解答(1)甲、乙两人所付费用相同即为2,4,6元.都付2元的概率为P =-=18；一 1 1 1 都付4兀的概率为

14、F2=248一 1 1 1都付6兀的概率为F3= X -；4416故所付费用相同的概率为P= P+ F2+ R1115=_亠 _ -L =8 8 16= 16(2)依题意，E的可能取值为4,6,8,10,12.P( E= 4) =1； P( E= 6) = -x - + -x -=；84 4 2 216P( 一 8)1111115=4x 4+ 2x 4 + 2x 4 = 16；P( E = 10)11113=4 x 4+2x 4= 16；P( E = 12)1 1 14 x 4 = 16.故E的分布列为E468101215531P=816161616155EE= 4x8+ 6x 屁+8x w+

15、 10x3花 +12x116152所求数学期望【规律总结】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1) 明确随机变量可能取哪些值.(2) 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3) 根据分布列和期望、方差公式求解.注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型 随机变量及其分布列的知识来解决实际问题.【变式训练】5. (2012 西城二模)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中3每道题的概率都是3,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的 10道题中随机抽出35道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视

16、为答错)减5分，至少得15分才能入选.(1) 求乙得分的分布列和数学期望；(2) 求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.解析(1)设乙答题所得分数为C31p(x= 15) = c = 12； Rx= 0)X,贝y X的可能取值为一 c5c5 5=忑=1215,0,15,30.C5C 5C51P(X= 15) = G5? = 12； P(X= 30) = C = 12.乙得分的分布列如下:X1501530P155112121212EX= gx ( 15) + 12 x 0+ 12 x 15+ gx 30=罟.(2)由已知甲、乙至少答对2 3 2 23则 p(A) = c3 55 + 52题才能入选

17、，记甲入选为事件81511,P( B) =+ = _.12512 12 2A乙入选为事件 B故甲乙两人至少有一人入选的概率P= 1 P( )=1 441103125x 2 = 125.名师押题高考2x + y 4W 0,所表示的平面区域内，点(x, y)落在xx + y 3w 0,【押题1】在不等式组x 0,y 01,2区域内的概率是解析如图所示，不等式组所表示的平面区域的面积是7,在这个区域中，x 1,2区域的面积是1,故所求的概率是2.27押题依据几何概型与线性规划问题都是高考的热点，二者结合命题，立意新颖、内涵丰 富，能够很好地考查基础知识与基本能力，故押此题.【押题2】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用 获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1) 求甲以4比1获胜的概率；(2) 求乙获胜且比赛局数多于 5局的概率；(3) 求比赛局数的分布列.答案7局4胜制(即先胜4局者解析(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A,3 1 3 1 4311则 P(A) = &23 2432= 8.记“乙获胜且比赛局数多于 5局”为事件B因为，乙以4比2获胜的概率为3 1 3 1 5 315P匸 G222=32,乙以4比3获胜的概率为x 計3