北京市通州区2018届下学期高三年级三模考试数学试卷(理科

1、北京市通州区2018 届下学期高三年级三模考试数学试卷（理科）本试卷共150 分。考试时长120 分钟。第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合 A x | x0, B x | x21 ，则 AB（A ） x | x1（B ） x | x0（ C） x |1x0（ D） x | 0x1（2）复数 (1i)(3i) 在复平面内对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ） 23（B ） 25（C） 45（D ） 67x

2、 3,3 0, 那么 y1 的最大值为（4）如果 x, y 满足 3x2yxy2 0,x（A ） 1（B ） 2（ C） 1（ D） 2231 / 11（5）已知函数 f ( x)x sin x，则 f () ， f ( 1) ， （f）的大小关系为113f (f ( 1)f ( 1)f ()f ()f ( )（A ）311（ B）311f (f ( 1)f (f (f ( 1)f ()（C） 113（ D）311（6）已知非零向量 a ， b ， c 则 “a ba c ”是 “b = c ”的（A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件（7

3、）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为4（A ） 3（B ） 423（C）103（D ） 2 103（ 8）标准的围棋棋盘共19 行 19 列， 361 个格点，每个格点上可能出现“黑 ”“白 ”“空 ”三种情况，因此有 3361 种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即 1000052 ，下列数据2 / 11361最接近3的是（lg 30.477 ）1000052（A ） 10 37（B ） 10 36（ C） 10 35（ D） 10 34第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 6 小题

4、，每小题5 分，共 30 分。（ 9 ）双曲线 x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于4（10）等差数列 an 满足 a11， a35 ，若 a2 ， a5 ， am 成等比数列，则 m （11）在极坐标系中，曲线cos1 与2sin 的公共点到极点的距离为（12）在平面直角坐标系xOy 中，角以 Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点 (1, y) ，则 sin() 23（13）能够说明 “设 a ， b ， c 是任意实数若a b c ，则 a bb c ”是假命题的一组整数 a ， b ， c 的值依次为（ 14 ） 设 f ( x) 是 定 义 在 D 上 的 函 数 ， 若

5、 存 在 两 个 不 相 等 的 实 数 x1 ,x2D ， 使 得f ( x1x 2)f ( x 1) f (x 2 )，则称函数f ( x) 具有性质 P . 那么下列函数中f ( x) x3 ；22 f ( x)ln x ； f ( x) x2 1 ； f (x) ex2 具有性质 P 的所有序号是矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃。三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13 分）在 ABC 中， sin C3sin B ，A60 ， b1.（）求 a 的值；（）求 tan B 的值 .（16）（本小题14 分）如图，在四

6、棱锥PABCD 中，平面PAD平面ABCD ， PAAD ， ABBC ，AD BC ， PAABBC1 ， AD2 ， E 是棱 PC 上一点，平面AED 与棱 PB 交于点 F .3 / 11（）求证：AD EF ；（）求二面角APDC 的余弦值；（）是否存在点E ，使得 AE平面 PCD ？若存在，求出PE 的值；若不存在，请说明PC理由 .（17）（本小题13 分）某公司（人数众多）为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100 位员工每人手机月平均使用流量L( 单位： M)的数据，其频率分布直方图如图所示：聞創沟燴鐺險爱氇谴净

7、祸測。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸。将频率视为概率，以直方图给的数据作为依据，回答以下问题：（）从该公司的员工中随机抽取3 人，求这 3 人中至少有1 人手机月流量不低于700M 的概率；（）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费 (单位：元 )月套餐流量 (单位： M)A20700B301000流量套餐的规则是：每月 1 日收取套餐费 .如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包 (包含 200M 的流量 )需要 10 元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零 .该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，保证员工的流量使用，并支付所有费用

8、.你认为该企业订购哪一款套餐更经济？请说明理由.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭。（18）（本小题14 分）已知抛物线 C : y22 px ( p 0) ，直线 l 与抛物线 C 交于两点A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .（）若直线 l 经过抛物线 C 的焦点， AB 3p ，求 x1 x2的值；（）若直线 l 过点 M ( m,0)( m 0) ，问在 x 轴上是否存在一点N ，使得 ANM 与 BNM 的面积之比始终为AN : BN ，若存在，请求出点 N 坐标；若不存在，说明理由.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧。（19）（本小题

9、13 分）xa, 其中 x2 .已知函数 f ( x)20, ， a sin x2（）若 a，判断函数f ( x) 的单调性；4 / 11（）求函数f ( x) 的最大值 .（20）（本小题13 分）若数列 bn满足：对于 nN，都有 bn2bnd （常数），则称数列 bn 是公差为 d 的准等差数列4n，当 为奇数时；（）若 cn1n判断 cn是否为准等差数列， 并求出 cn的第 8 项，4n，当 为偶数时9n.第 9项以及前9 项的和 T9；（）设数列 an满足： a1a ，且对于 nN，都有 anan 12n 成立， an的前 n 项和为 Sn （i ）求证： an为准等差数列，并求其通

10、项公式；（ii ）求证：an为等差数列的充分必要条件是n2.Sn2参考答案第一部分（选择题共40 分）一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。12345678ADDBABAB第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。（ 9） 2 5 （10） 14（ 11）2 （ 12）3（13） 102 （此题答案不唯一）52（14）三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（）解：由 sin C3sin B 及正弦定理得 c3b ，因为 b1，所以 c 3 .由余弦定理得

11、 a2b2c22bc cos A12322 1317 .2所以 a7 .（）解：因为 sinC3sin B,A 60，所以 sin(120B)3sin B .即313sin B ，所以 tan B3cos B+sin B.225（16）（）证明：因为AD BC ， AD平面 PBC ， BC平面 PBC ，5 / 11所以 AD 平面 PBC .因为 AD平面 AFED ，平面 AFED平面 PBCEF ，所以 AD / / EF .（）解：因为平面PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCDAD ，PA 平面 PAD ， PA AD ，所以 PA平面 ABCD .所以 PA AB .因

12、为 ABBC, AD BC ，所以 ABAD .如图，建立空间直角坐标系Axyz .由 PA AB BC 1 ， AD 2 ，可得A(0,0,0) ， C(1,1,0)， D(2,0,0) ， P(0,0,1) .PC (1,1,1)， PD(2,0,1) .设平面 PCD 的一个法向量 m( x, y, z) ，m PC0,xyz，0由得，m PD0,2xz0令 x 1 ，得 y1,z2 ，所以 m(1,1,2).因为 ABAD , ABAP ， ADAP A，所以 AB平面 PAD .所以平面 PAD 的法向量 n(0,1,0) .cos m, nm n16m n616.由图可知二面角A

13、PD C 为锐角，所以二面角 A PDC 的余弦值为6.66 / 11（）解：设 PEPC(,) ，0,1 ， AEAP PC ( , ,1 ) .当AE m,(R)，即(,1)(1,1,2)时，13AE平面 PCD .PE1此时.（17）（）解：依题意，(0.0008 0.0022 a0.0035 0.0008 0.0002) 100 1.得 a 0.0025.从该公司的员工中随机抽取3 人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量超过700M的概率为 1- (0.0008 0.0022) 1000.7.设事件 A 为 “没有人的手机流量超过700M” ，则 P( A)0.330.027 .

14、所以这 3 人中至少有1 人手机月流量超过700M 的概率为 1 - 0.027=0.973 .（）解：若该公司选择A 套餐，设一个员工的所需费用为X ，则 X 可能为 20,30,40 .X 的分布列为X203040P0.30.60.1EX200.3300.6400.128 .若该公司选择B 套餐，设一个员工的所需费用为Y ，则 Y 可能为 30,40 .Y 的分布列为Y3040P0.980.02EY300.98400.0230.2 .因为 30.228 ，所以订购 A 套餐更经济 .（18）（）解：设抛物线C 的焦点为 F ，则AFx1p ， BFx2p ，22所以ABAFBFx1x1p

15、，所以 x1x1p 3 p ， x1x12 p .（）解：因为S ANM1AN MN sin ANM , SBNM12BN MN sin BNM ,2所以 S ANM : SBNMAN sinANM : BN sin BNM ，7 / 11所以 “在 x轴上存在一点 N ，使得 ANM 与 BNM 的面积之比为 AN : BN ”，等价于 “在 x轴上存在一点N ，使得 sinANM sinBNM ”,依题意等价于 “ ANMBNM ”， 即 “kBN0” .kAN设 x轴上存在点 N ( x0 ,0) 满足题意，直线l 的方程为 xty m .由 xtym,得 y22 pty 2 pm 0

16、.y22 px所以 y1y22 pt, y1 y22 pm .kAN +kBNy1y2y1y2x1x0x2x0ty1m x0ty2m x0y1 (ty2mx0 )y2 (ty1m x0 )(ty1mx0 )(ty2mx0 )2ty1 y2(mx0 )( y1y2 )(ty1mx0 )(ty2mx0 )2t (2 pm)( mx0 )(2 pt )(ty1mx0 )(ty2mx0 )2 pt(mx0 ).(ty1m x0 )(ty2mx0 )若 t0，则 k AN +kBN0 ，即 x 轴上除点 M 的任意一点均满足题意；若 t0，令2 pt(mx0 )0，得 x0m.mx0 )(ty2 m(t

17、y1x0 )点 N ( m,0) 满足题意 .综上，存在一点N ( m,0) ，使得 ANM 与 BNM 的面积之比始终为AN : BN .（19）（）解：若 ax2 sin x ( x)cos x，则 f (x)2， f (x)2)2sin x(sin x法一：令 g(x)2sin x(x)cosx ，g (x)(x)sin x08 / 11所以 g(x) 在区间 0,g(3 0 单调递减，且有)22所以 f (x)0 ，函数 f (x) 在区间 0, 上单调递增；2法二：令 g(x)2sin x( x)cos x ，因为当x0,cosx 00, 时， sin x 0, ( x)2所以所以g

18、(x)0对 x0,成立，2f (x)0对 x0,f ( x) 在区间 0,2 成立，函数 上单调递增；2（）解：f2sin x(xa)cos x(x)(sin x2)2令 h(x)2sin x (xa)cos x .h ( x)(x a)sin x .令 h (x)0，得到 xa .当 a (0,) ， x a 是函数 h(x) 的极小值点，也是最小值点 .2因为 h(a)2sin a0， a a所以函数 f ( x) 在区间 0,2= 上单调递增， f (x) 的最大值 f ()=6；2233当 a ) ， h ( x)0，函数 h( x) 在区间 0,h(30，, 上递减，)222所以函数 f ( x) 在区间 0, 上单调递增，2函数 f (x)的最大值 f ( a；)6329 / 11当 a 2,0 时 h( x) 0， h(0) 2a , h(0)0 ，所以函数 f ( x) 在区间 0, 上递增，2函数 f (x) 的最大值 af ( )6；23综上所述，当 a2 时，函数 f (x) 的最大值为 af ( )6.23（20）（）解：当 n 为奇数时， cn 2cn 8，当 n 为偶数时， cn 2 cn 8 ，所以 cn 为准等差数列 .且 c841 ， c935T9(335)5(1741)422211.（）（