2019年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 A= x|x 1， B= x|x2-x-20 ，则 AB=（）A. x|x 1B. x|1 x 2C. x|-1 x 1D.2.设复数z满足（3+i）z=3-i，则|z|=）（A.B. 1C.D.总分 x|x -1 23.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分10%20%26%18%12%4%2%比8%

2、估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）A. 参加活动次数是3场的学生约为 360人B. 参加活动次数是2 场或 4 场的学生约为 480 人C. 参加活动次数不高于2 场的学生约为280人D. 参加活动次数不低于4 场的学生约为360 人4.已知双曲线C，直线y=b与C的两条渐近线的交点分别为：M， N， O 为坐标原点若 OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.5.已知数列 an 中， a3=2， a7=1若数列为等差数列，则a9 =（）A.B.C.D.6.已知，且，则=（）A. 0B.C.1D.7.已知函数 f（ x） =xsinx， f（ x）为 f（ x）

3、的导函数，则函数f（ x）的部分图象大致为（）第1页，共 19页A.B.C.D.8. 在边长为3ABC中，点M满足=，则=（）的等边 A.B.C. 6D.9. 如图，线段 MN 是半径为 2 的圆 O 的一条弦， 且 MN 的长为 2在圆 O 内，将线段 MN 绕 N 点按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将线段 NM 绕 M 点按逆时针方向转动，使点 N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动 点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分若在圆 O 内随机取一点， 则此点取自阴影部分内的概率为（）A.B.C.D.10.已知函数，当 xm，m+1 时，不等式 f（ 2m-x）（f

4、 x+m）恒成立，则实数m 的取值范围是（）D. （A. （， ）B. （，）C. （-2，2），）-4-2- 011.已知 F1，F2为椭圆的左、右焦点， P 是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是 F 1PF2 内切圆的圆心，过F 1 作 F 1MPK 于 M，O 是坐标原点，则 |OM|的取值范围为（）A. （ 0，1）B.C. （0， ）D.12. 如图，棱长为 f（ x）正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的木块，平面过点 D 且平行于平面ACD 1，则木块在平面内的正投影面积是（）A.B.C.D. 1二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）第2页，共 19页13.若实数 x，

5、 y 满足约束条件，则 z=3x-y 的最小值等于_14. 已知长方体ABCD -A1 1 1 1 的外接球体积为，且 AA1=BC=21B C D，则直线 A C 与平面 BB1C1C 所成的角为 _15. 将函数 f（ x）=asinx+bcosx（a， bR， a0）的图象向左平移 个单位长度，得到一个偶函数图象，则 =_ 16. 已知数列 an 的前 nn1nn（为常数）若数列n项和为 S ， a =1，且 S =a -1 b 满足，且 bn+1 bn，则满足条件的n 的取值集合为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 在 RtABC 中， C=90，点 D， E 分

6、别在边 AB， BC 上， CD =5， CE=3，且 ECD的面积为（ 1）求边 DE 长；（ 2）若 AD =3，求 sinA 的值18. 峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别它是将一天24 小时划分成两个时间段， 把 8：00 22：00 共 14 小时称为峰段， 执行峰电价， 即电价上调； 22：00次日 8： 00 共 10 个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以100， 300）， 300， 500）， 500 ， 700），700 ，900），900，1100

7、），1100，1300（单位： 度）分组的频率分布直方图如图所示若将小区月平均用电量不低于700 度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”其中，使用峰谷电价的户数如表：月平均用100 ， 300）300，500）500 ， 700）700，900）900，1100）1100，电量（度）1300使用峰谷电价的户3913721数（ 1）估计所抽取的 50 户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ 2）（ i）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面22 的列联表：一般用户大用户使用峰谷电价的用户_不使用峰谷电价的用户_第3页，共 19

8、页（ ii）根据（ i）中的列联表，能否有 99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？附：，P（K 2k）0.0250.0100.001k5.0246.63510.82819. 如图，四棱锥 E-ABCD ，平面 ABCD 平面 ABE，四边形 ABCD 为矩形， AD =6，AB =5， BE=3 ， F 为 CE 上的点，且 BF 平面ACE（ 1）求证： AEBE ；（ 2）设 M 在线段 DE 上，且满足 EM=2 MD ，试在线段 AB 上确定一点 N，使得 MN 平面 BCE，并求 MN 的长20. 已知抛物线 C1： x2=2py（ p 0）和圆 C2：（ x+1）

9、 2+y2=2，倾斜角为 45的直线 l 1 过 C1 的焦点且与 C2 相切（ 1）求 p 的值；（ 2）点 M 在 C1 的准线上，动点A 在 C1 上， C1 在 A 点处的切线l2 交 y 轴于点 B，设，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程第4页，共 19页21.已知函数（ aR）（ 1）求函数f（ x）的单调区间；（ 2）当 e a时，关于x 的方程有两个不同的实数解x1，x2，求证： x1+x2 4x1x222. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t为参数，a R（ ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为=4cos，射线与曲线

10、C 交于 O，P 两点，直线l 与曲线 C 交于 A， B 两点（ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）当 |AB|=|OP |时，求 a 的值23. 已知不等式 |2x+1|+|2x-1| 4 的解集为 M（ 1）求集合 M；（ 2）设实数 aM， b? M，证明： |ab|+1 |a|+|b|第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：B=x|-1 x 2 ；A B=x|x -1 故选：D可解出集合 B，然后进行并集的运算即可考查描述法的定 义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算2.【答案】 B【解析】解法一：因为，所以|z|=1，故选 B解法二：因

11、为（3+i）z=3-i，所以|（3+i）z|=|（3+i ）|z|=|3-i|，所以|z|=1，故选：B根据复数的运算法 则先求出 z，结合复数的模 长公式进行计算即可本题主要考查复数的模 长的计算，结合复数的运算法 则进行化简是解决本 题的关键3.【答案】 D【解析】解：估计该校高一学生参加活 动次数不低于 4 场的学生约为：1000（0.18+0.12+0.04+0.02）=360 人，故选：D根据频率统计表即可求出本题考查了频率统计表，属于基础题4.【答案】 A【解析】题为为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为y=x，解：依 意得：因 OMN即 C 是等轴双曲线，所以 C 的离心率，故选

12、：A第6页，共 19页根据题意可得双曲 线的渐近线方程为 y=x，即可求出离心率本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5.【答案】 C【解析】解：依题意得：a3=2，a7=1，因为数列为等差数列，所以，所以，所以，故选：C利用等差数列的通 项公式及其性 质即可得出本题考查了等差数列的通项公式及其性质查计算能力，属，考 了推理能力与于中档题6.【答案】 C【解析】解：由，且，可得，代入，可得=cos0=1，故选：C解法二：由，且，可得，所以，故选：C题的值解法一：由 意先求出角，从而求得解法二：由题意求得 cos（-），再根据=cos（-）+ 吧，利用两角差的三角公式求得 结果本题主要考查

13、两角和差的三角公式的 应用，属于基础题7.【答案】 A【解析】第7页，共 19页解：函数的导数 f（x）=sinx+xcosx 为奇函数，图象关于原点 对称，排除 C，D，设 g（x）=f（x），则 g（x）=2cosx-xsinx，g（0）=20，排除B，故选：A先求出函数的 导数，判断函数的奇偶性以及函数的 单调性，利用排除法进行求解即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本 题的关键8.【答案】 D【解析】解：依题意得：，故选：D将转化为三角形边上的向量后再相乘可得本题考查了平面向量数量 积的性质及其运算，属基础题9.【答案】 B【解析】解：依题意得：阴影部分的面积，设 “

14、在圆 O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内 ”为事件 A ，由几何概型中的面 积型可得：P（A）=1-，故选：B由扇形的面 积的求法得：阴影部分的面 积，由几何概型中的面 积型得：P（A ）=第8页，共 19页=1-，得解本题考查了扇形的面 积的求法及几何概型中的面积型，属中档题10.【答案】 B【解析】解：当x0时 ，f（x）=+4 单调递减，且 f （x ）f（0）=5；当 x 0 时，f（x）=-x3-x+5，f （x ）=-3x2-10，f（x）单调递减，且f （x）f（0）=5；所以函数在 xR 上单调递减，因为 f （2m-x）f（x+m），所以2m-x x+m，即 2x m，在

15、xm，m+1上恒成立，所以 2（m+1）m，解得 m -2即 m 的取值范围是（-，-2）故选：B先判断分段 f （x ）在xR 上单调递减，再把 f （2m-x ）f（x+m ）化为 2m-xx+m，求 2x m 在 xm，m+1上恒成立 时 m 的取值范围即可本题考查了判断分段函数的 单调性与应用问题，也考查了不等式恒成立 问题，是中档题11.【答案】 C【解析】解：如图，延长相交于 N 点，连接 OM ，K 点是 F1PF2 内切圆的圆心，PK 平分 F1PF2，F1M PK，|PN|=|PF |，M 为 F N 中点，11O 为 F1F2 中点，M 为 F1N 中点，|OM|的取值范围

16、为，故选：C第9页，共 19页由题意画出图形，利用三角形中位 线定理结合椭圆定义可得 |OM|的取值范围本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题12.【答案】 A【解析】解：棱长为 f（x）正方体ABCD-A 1B1C1D1 的木块的三个面在平面 内的正投影是三个全等的菱形（如 图所示），可以看成两个 边长为的等边三角形，所以木块在平面 内的正投影面 积是S=故选：A正方体ABCD-A BC D的木块的三个面在平面 内的正投影是三个全等的1111菱形，可以看成两个边长为的等边三角形，由此求出木块在平面内的正投影面积本题考查了平面投影的形状与面积的计算问

17、题题，是中档 13.【答案】 -【解析】解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y=3x-z，则 z 的最小值即为动直线在 y 轴上的截距的最大值 通过平移可知在 A 点处动直线在 y 轴上的截距最大因为解得，所以 z=3x-y 的最小值故答案为：第10 页，共 19页作出不等式 组对应的平面区域，通过目标函数的几何意 义，利用数形结合即可的得到 结论本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意 义，通过数形结合是解决本题的关键14.【答案】【解析】设长方体 ABCD-A 1B1C1D1的外接球半径为R，解：因为长方体 ABCD-A 1B1C1D1 的外接球体 积为

18、，所以 R=2，即 A1C=，因为 AA 1=BC=2，所以因为 A1B1平面 BB1C1C，所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角 为A1CB1，在 RtA 1CB1 中，因为 AA 1=BC=2，所以，所以故答案为： 求出长方体 ABCD-A 1B1C1D1 的外接球半径 为 R=2，从而 A 1C=进由A1B1平面 BB1C1C，得A1C 与， 而平面 BB1C1C 所成的角 为A1CB1，由此能求出直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成的角该题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题15.【答案】【解析】第11 页，

19、共 19页为图单位长度，解：因f （x）=asinx+bcosx（a，bR，a0）的 象向左平移得到偶函数 图象，所以函数 f（x）=asinx+bcosx 的对称轴为，所以，因为 a0，所以故答案为：直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数关系式的平移 变换和伸缩变换的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变变换，函数关系式的平移 变换和伸 缩变换 的 应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基 础题型16.【答案】 5 ， 6【解析】为 aa 为常数），解：因1=1，且Sn= n-1（所以 a1=-1=1，解得 =2，所以 Sn=2an-1，所以 Sn-1=2an-1

20、-1（n2），所以 an=2an-1，所以，因为，所以，所以 0，解得 4n7，又因为 nN* ，所以 n=5 或 n=6第12 页，共 19页所以，当 n=5 或 n=6 时，bn+1bn，即满足条件的 n 的取值集合为：5 ，6 故答案为：5 ，6 首先利用已知条件求出的值，进一步求出数列的通 项公式，再利用分解因式的方法求出 结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，递推关系式的整理和应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型17.【答案】 （本小题满分12 分）解：（ 1）如图，在 ECD 中，所以， （ 2 分）因为0 DCE 90，所以， （4 分）由余弦定

21、理得： DE 2=CE2+CD2-2?CECDcos DCE =，解得：? （ 7分）（ 2）因为 ACB=90，所以， （ 9 分）在 ADC ，由正弦定理得，即，所以 （ 12 分）【解析】（1）由已知在ECD 中，利用三角形面积公式可求，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理即可解得DE 的值（2）利用诱导公式可求 sinACD 的值，根据正弦定理可求 sinA 的值本题主要考查了三角形面 积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理， 诱第13 页，共 19页导公式，正弦定理在解三角形中的 应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题18.【答案】 解：（ 1）平均用电量在300 ，

22、500）， 500 ， 700）， 700 ， 900）， 900 ，1100 ）， 1100 ， 1300段的频率依次为： 0.001 200=0.2，0.0015 200=0.3，0.0012 200=0.24，0.0006 200=0.12，0.0002 200=0.04,所以月平均用电量在100 度到 300 度之间的用户所占的频率：1-0.2-0.3-0.24-0.12-0.04=0.1 ，频率最大的一段为500，700），这 50 户的月均用电量的众数估计值为：（度）；月均用电量的平均数的估计值为：=640（度）（ 2）（ i ）依题意， 22 列联表如下：一般用户大用户使用峰谷电

23、价的用户2510不使用峰谷电价的用户 510（ ii ） K2 的观测值所以不能有99% 的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关【解析】本题考查频率直方图，考查众数、平均数的求法，考查独立性检验，考查运算求解能力，是基础题（1）根据频率分布直方 图中的总频率等于 1 可求得月平均用 电量在 100 度到300 度之间的用户所占的频率；将最高段的中间值作为众数的估 计值；将各组段的中间值作为代表，分别乘以其频率得到月均用 电量的平均数（2）依题意，作出 22 列联表，求出 K2 的观测值，与临界值中的临界值比较，看是否大于 99%，即0.010 的临界值即可做出判断19.【答案】 解：

24、（ 1）证明： 四边形 ABCD 为矩形，BC AB平面 ABCD 平面 ABE，BC 平面 ABEBC AEBF 平面 ACE，BF AE第14 页，共 19页又 BCBF=B， BC? 平面 BCE， BF? 平面 BCE ，AE平面 BCE，AEBE（ 2）取 CE 的三等分点 G（近 C），即 EG=2GC，连接 MG，EM =2MD ，MG CD，MG=，在 AB 上取点 N，使 NB=2NA ，即 NB= AB，矩形 ABCD 中， ABCD ， AB=CD，MG NB， MG =NB ，四边形 MGBN 是平行四边形，MN BG，MN 平面 BCE，在 CBG 中，BC=AD =

25、6，【解析】（1）先证 AE 与 BF，BC 垂直，再利用线面垂直的判定定理即可；（2）取CE，AB 的三等分点 G，N，构建四边形 MNBG ，不难证明其为平行四边形，只需求 BG 即可此题考查了线面垂直，面面垂直，线面平行，解三角形等，难度适中20.【答案】 解：（ 1）依题意设直线l 1 的方程为，22，0），半径，由已知得：圆 C2 ：（ x+1 ） +y =2 的圆心 C2（ -1因为直线 l 1 与圆 C2 相切，所以圆心到直线的距离，即，解得 p=6 或 p=-2（舍去）所以 p=6；（ 2）解法一：依题意设M（ m， -3），由（ 1）知抛物线 C1 方程为 x2=12y，所以

26、，所以，设，则以A 为切点的切线l 2 的斜率为，第15 页，共 19页所以切线 l 2 的方程为令 x=0 ，即 l2 交 y 轴于 B 点坐标为，所以，（9分），=（ x1-2m， 6），设 N 点坐标为（ x， y），则 y=3，所以点 N 在定直线 y=3 上解法二：设M（ m， -3），由（ 1）知抛物线C1 方程为 x2=12y，设，以 A 为切点的切线l 2 的方程为，联立得：，因为，所以，所以切线l 2 的方程为令 x=0 ，得切线 l 2 交 y 轴的 B 点坐标为，所以，=（ x1-2m， 6），设 N 点坐标为（ x， y），则 y=3，所以点 N 在定直线 y=3 上【

27、解析】（1）设出直线 l1 的方程为，由直线和圆相切的条件：d=r，解得 p；（2）方法一、设出 M （m，-3），运用导数求得切 线的斜率，求得 A 为切点的切 线方程，再由向量的坐 标表示，可得 N 在定直线上；方法二、设出 l 2 的方程，联立抛物线方程，运用判别式为 0，可得切线斜率和方程，再由向量的坐 标表示，可得 N 在定直线上本题考查抛物线的方程和性 质，直线与圆的位置关系的判断，考 查直线方程和圆方程的运用，以及切 线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于 综合题第16 页，共 19页21.【答案】 解：函数 f（ x）的定义域是（ 0， +），当 a+1 0，即 a -1

28、时， f（ x）在（ 0， 1+ a）递减，在（1+a，+）递增，当 a+10即 a-1 时， f（ x）在（ 0， +）递增（ 2）证明：设，所以，当 0 x1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）在区间（ 0， 1）上单调递增；当 x 1 时， g（ x） 0，函数 g（ x）在区间（ 1，+）上单调递减；所以 g（ x）在 x=1 处取得最大值当 e a时，方程有两个不同的实数解x1， x2所以函数g（ x）的两个不同的零点x1， x2，一个零点比1 小，一个零点比1 大不妨设 0x1 1 x2，由 g（ x1） =0，且 g（ x2）=0，得 x1=ln （ ax1），且 x2=ln （ax2），则，所以，所以，令 x1+x2 =t， t=x1+x2， 0x11 x2， t 1，所以 h（ t） 0，所以函数 h（