2019-2020学年高中数学 第一章 统计案例 1 回归分析 1.3 可线性化的回归分析课件 北师大版选修1-2

1、-1- 1.3可线性化的回归分析 目标导航 1.进一步了解回归分析的基本思想,明确建立回归模型的基本步 骤. 2.了解回归模型与函数模型的区别,体会有些非线性模型通过变 换可以转化为线性回归模型,了解在解决问题中寻找更好的模型的 方法,提升学生数学建模能力. 知识梳理 1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的散点图,从 散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进 行拟合. 2.对于非线性回归模型一般可转化为线性回归模型,从而得到相 应的回归方程. 知识梳理 3.几种常见模型: (1)幂函数曲线y=axb. 其散点图在如图所示的曲线附近. 作变换u=ln y,v=l

2、n x,c=ln a,得线性函数u=c+bv. 知识梳理 (2)指数曲线y=aebx. 其散点图在如图所示的曲线附近. 作变换u=ln y,c=ln a,得线性函数u=c+bx. 知识梳理 (3)倒指数曲线 其散点图在如图所示的曲线附近. 知识梳理 (4)对数曲线y=a+bln x. 其散点图在如图所示的曲线附近. 作变换v=ln x,得线性函数y=a+bv. 知识梳理 【做一做1】 下图中曲线所表示的函数最有可能是() 答案:D 【做一做2】 若一个函数模型为y=2+3log2x,则作变换u=, 才能转化为y是u的线性回归方程. 答案:log2x 知识梳理 4.解决非线性回归问题的方法及步骤

3、 (1)确定变量:确定解释变量为x,预报变量为y; (2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型; (3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题; (4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果; (5)写出非线性回归方程. 典例透析 题型一题型二题型三 已知模拟函数类型确定解析式 【例1】 为了研究某种细菌随时间x(单位:天)变化时繁殖的个数y, 收集数据如下: 解:设u=ln y,c=ln a, 则u=c+bx. 若x,y之间近似满足y=aebx,求y对x的回归方程. 典例透析 题型一题型二题型三

4、 典例透析 题型一题型二题型三 反思本题中已知函数模型,可通过恰当的变换将函数转化为线性函 数关系u=c+bx,然后通过变换公式计算出相应的u与x之间的数据关 系表,根据求线性回归方程的公式计算出u与x之间的函数关系,并 将u与x之间的关系再转回到y与x之间的函数关系. 典例透析 题型一题型二题型三 【变式训练1】 某工厂每日生产某种产品x(x1)吨,每日生产的 产品当日销售完毕,日销售额为y万元,产品价格随着产量变化而有 所变化,经过一段时间的产销,得到了x,y的一组统计数据如下表: (1)请判断y=bx+a与y=dln x+c中,哪个模型更适合刻画x,y之间的 关系?可从函数增长趋势方面给

5、出简单的理由; (2)根据你的判断及下面的数据和公式,求出y关于x的回归方程, 并估计当日产量x=6时,日销售额是多少?(结果保留整数) 典例透析 题型一题型二题型三 解:(1)y=dln x+c更适合刻画x,y之间的关系.理由如下: x值每增加1,函数值的增加量分别为7,4,3,2,增加得越来越缓慢,贴 合对数型函数的增长规律,与直线型函数的均匀增长存在较大差异, 故y=dlnx+c更适合刻画x,y之间的关系. 所以所求线性回归方程为y=10ln x+5. 当x=6时,日销售额为y=10ln 6+523(万元). 典例透析 题型一题型二题型三 通过数据探寻函数关系模型 【例2】 某种书每册的

6、成本费y(单位:元)与印刷册数x(单位:千册) 有关,经统计得到数据如下表所示: 典例透析 题型一题型二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 【变式训练2】 炼钢厂出钢时盛钢水的钢包在使用过程中受钢 水和炉渣侵蚀,其容积不断增大.下表是钢包使用不同次数时钢包 容积(由于容积不便测量,故以钢包盛满钢水质量表示)的一组实测 数据:钢包使用次数与容积实测数据 典例透析 题型一题型二题型三 解:先建立平面直角坐标系,画出散点图,如图所示. 从图中我们可以发现,这一系列的点并不是均匀分布在一条直线 附近,这些点开始时y值增加很快,随后逐渐减慢趋于平缓. 典例透析 题型一题型

7、二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 易错辨析 易错点未判断两个变量之间的关系致误 【例3】 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表: 试建立y与x之间的回归方程. 典例透析 题型一题型二题型三 错解:由已知条件制成下表: 故所求的y对x的回归方程是y=-3.53x+12.67. 典例透析 题型一题型二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 典例透析 题型一题型二题型三 由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系.列表如下: 1234 1.两个变量的散点图如图所示,用如下函数进行拟合比较合理的是 () A.y=axb B.y=a+bln x C.y=aebx 解析:由题中散点图知,此曲线类似对数函数型曲线,可用B项函数 进行拟合. 答案:B 1234 A.y=a+bvB.u=a+bv C.u=c+bvD.y=c+bx 答案:C 1234 3.若x,y满足如下表的关系: 则符合x,y之间关系的函数模型为. 解析:通过数据发现y的值与x值的平方比较接近,所以符合x与y之间 关系的函数模型为y=x2. 答案:y=x2 1234 4.设在海拔x m处的大气压强是y Pa,y与x之