【配套Word版文档】第八章8.5(2)

1、A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷8.5空间中的垂直关系2014 高 考 会 这 样 考1. 考查垂直关系的命题的判定；2.考查线线、线面、面面垂直关系的判定和性质；3考查平行和垂直的综合问题；4考查空间想象能力,逻辑思维能力和转化思想.东方工咋愛樓2备棵纽剧冷复 习 备考要 这样做1熟记、理解线面垂直关系的判定与性质定理；2解题中规范使用数学语言，严格证题过程；3重视转化思想的应用，解题中要以寻找线 线垂直作为突破.ft 宾东方工作窒桟2备课纽制作1 .两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两 条直线互相垂直.2. 直线与平面垂直(1)

2、 直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点 (0)的任何直线都垂直,就说这条直线和这个平面互相垂直.(2) 直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言付号语言东厉工昨裳核2备课纽制作判定定理如果一条直线与平面内 的两条相交直线垂直， 则这条直线与这个平面 垂直a? ab? aaA b= O ? l丄 a l丄al丄b推论1如果在两条平行直线 中，有一条垂直于平面， 那么另一条直线也垂直 于这个平面a / b? b丄aa丄a推论2如果两条直线垂直于冋一个平面，那么这两条直线平行a丄a? a / bb丄a3.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如

3、果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条 交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理:文字语言图形语言付号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直l 1 a? a丄3(3)平面与平面垂直的性质定理:文字语言图形语言付号语言性质定理如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线垂直 于另一个平面a丄3? 1丄aa A 3= a1丨a难点正本疑点清源1 .在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即:A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷2

4、.几个常用的结论：(1) 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2) 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3) 垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4) 垂直于同一直线的两个平面互相平行.3. 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点P作平面的垂线，通常是先作(找)个过点P并且和a垂直的平面设 附a= I，在B内作直线a丄I，则a丄aA %1 . 一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是_答案垂直“两平行线解析 由线面平行的性质定理知，该面必有

5、一直线与已知直线平行，再根据中一条垂直于一平面，另一条也垂直于该平面”得出结论.A % H魅亶东方工作堂核心备课u *-!作A .相交且垂直C .异面且垂直答案 C图1B .相交但不垂直D .异面但不垂直A X-CX ABC中，/ ABC = 90 PA丄平面ABC，则图中直角三角形的个数是答案 4%、B是两个不同的平面， m、n是平面a及B之外的两条不同的直线，给出四个论断:m丄n；a丄B;n丄B；m丄a,以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题答案 可填？与？中的一个4. 设a, b, c是三条不同的直线，a, B是两个不同的平面，则a丄b的一个充分条件是（

6、）A . a丄c,b丄 cB .a丄 B,a?a,b? 3C . a 丄 a,b II aD .a 丄 a,b丄a答案 C解析 对于选项C,在平面a内作cl b,因为a丄a,所以a丄c,故a丄b; A, B选项中，直线a, b可能是平行直线,也可能是异面直线；D选项中一定有al b.5. 将图1中的等腰直角三角形 ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形 ABCD（如图2）, 则在空间四边形 ABCD中，AD与BC的位置关系是（）解析 在图1中的等腰直角三角形 ABC中，斜边上的中线 AD就是斜边上的高，则AD丄BC,翻折后如图2, AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD

7、,东方工咋愛樓2备棵纽剧冷这两条线段与 AD垂直，即AD丄BD, AD丄CD，故AD丄平面BCD，所以AD丄BC.题型一直线与平面垂直的判定与性质Io fs X-CX东方工咋窒核2备裸纽制作1如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA丄底面 ABCD , AB 丄 AD ,AC 丄CD，/ ABC = 60 FA= AB = BC, E 是 PC 的中点.证明：(1)CD丄AE;(2)PD丄平面ABE.思维启迪：第(1)问通过DC丄平面FAC证明；也可通过 AE丄平面PCD得到结论；第(2) 问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.证明 在四棱锥 P ABCD中，/

8、 PA丄底面 ABCD , CD?平面 ABCD , PA丄CD. / AC丄 CD, PA A AC = A, CD丄平面PAC.而 AE?平面 PAC, CD 丄AE.(2) 由 PA= AB= BC , / ABC = 60 可得 AC = PA./ E是PC的中点， AE丄PC.由(1)，知 AE 丄 CD，且 PC A CD = C, AE丄平面PCD.而 PD?平面 PCD , AE丄PD./ PA丄底面 ABCD , PA丄AB.又 AB丄 AD 且 PA A AD = A,TELr车芳工作愛樓心备课纽制作* 宾xx AB丄平面PAD，而PD?平面FAD , AB 丄PD又/ A

9、B A AE= A, PD 丄平面 ABE.探究提高破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.所示，证明命题“ a是平面n内的一条直线，b是n外的一条直线(b不垂直于影，若a丄b,贝U a丄c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(1)证明 方法一 如图，过直线b上任一线a, b, c, n的方向向量分别是 a, b,(2012陕西)(1)如图,C是直线b在n

10、上的投(不需证明)根据平面向量基本定理，存在实数入 使得c= b +,则 a = a ( b + pn) = ba b)+ a n ).因为a丄b,所以a b= 0.又因为a? n n丄n,所以a n = 0.故a c= 0,从而a丄c.方法二 如图，血 东方工咋窒垓2备裸U制作* 宾xx记cn b = A, P为直线b上异于点A的任意一点，过 P作PO丄n%垂足为0,则0 c.因为P0丄n a? n,所以直线P0丄a.又 a 丄 b, b?平面 PA0, POn b = P,所以a丄平面PA0.又c?平面PA0,所以a丄c.(2)解 逆命题为a是平面n内的一条直线，b是n外的一条直线(b不垂

11、直于 n ,c是直线b在n上的投影，若 a丄c,贝U a丄b.逆命题为真命题.题型二平面与平面垂直的判定与性质 f： x-cx东看工咋窒核心备课U制件ft2（2012江苏）如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AiBi = A1C1, D ,E分别是棱BC, CCi上的点（点D不同于点C）,且AD丄DE , F为BiCi的中点.求证： 平面ADE丄平面BCCiBi；（2）直线AiF /平面ADE.思维启迪：（i）证明两个平面垂直，关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线；（2）两个平面垂直的性质是证明的突破点.证明 （i）因为ABC AiBiCi是直三棱柱，所以CCi丄平面ABC.又A

12、D?平面ABC，所以CCi丄AD.又因为 AD 丄DE , CCi, DE?平面 BCCiBi, CCi n DE = E,所以AD丄平面BCCiBi.又AD?平面ADE ,所以平面 ADE丄平面BCCiBi.（2）因为 AiBi= AiCi, F 为 BiCi 的中点，所以AiF丄BiCi.因为CCi丄平面AiBiCi，且AiF?平面AiBiCi,所以CCi丄AiF.又因为 CCi, BiCi?平面 BCCiBi, CCi n BiCi = Ci,* $： x-cx东看工咋堂榻2备课纽制件所以A1F丄平面BCCiBi.由(1)知AD丄平面BCCiBi，所以 AiF / AD.又AD?平面AD

13、E , Ai F?平面ADE ,所以AiF /平面ADE.探究提高面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法.A(20ii江苏)如图，在E, F分别是AP, AD的中点.EF / PD.所以 ABD为正三角形.四棱锥 P ABCD中，平面 PAD丄平面 ABCD , AB= AD，/ BAD = 60求证：直线EF /平面PCD ;(2)平面BEF丄平面PAD.证明 如图，在 FAD中，因为E, F分别为AP, AD的中点，所以又因为EF?平面PCD ,

14、PD?平面 PCD,所以直线EF /平面PCD.(2)连接 BD.因为 AB= AD , / BAD = 60 因为F是AD的中点，所以BF丄AD. x-cx东方工作窒核心备课纽制作因为平面 PAD丄平面 ABCD , BF?平面ABCD ,平面PAD门平面 ABCD = AD，所以BF丄平面PAD.又因为 BF?平面BEF，所以平面 BEF丄平面FAD.题型三线面、面面垂直的综合应用如图所示，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD丄平面ABCD ,AB / DC,A PAD是等边三角形，已知BD = 2AD = 8, AB = 2DC = 4 ：5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD丄

15、平面PAD ;求四棱锥P ABCD的体积.思维启迪：(1)因为两平面垂直与 M点位置无关，所以在平面 MBD东方工昨金核2备裸M 件内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD丄平面PAD.四棱锥底面为一梯形，高为 P到面ABCD的距离.证明 在厶 ABD 中，/ AD = 4, BD = 8, AB = 4 5,二 AD2+ BD2= AB2. AD 丄BD.又/ 面 FAD 丄面 ABCD，面 PAD n 面 ABCD = AD , BD?面 ABCD , BD丄面 PAD.又 BD?面 BDM ,面 MBD 丄面 PAD.(2)解过P作PO丄AD ,面 PAD 丄面 ABCD , PO

16、 丄面 ABCD ,即PO为四棱锥P ABCD的高.又厶PAD是边长为4的等边三角形, PO = 2 3在底面四边形 ABCD中，AB / DC, AB = 2DC ,四边形ABCD为梯形.在Rt ADB中，斜边 AB边上的高为48=呼此即为梯形的高. S25 + 4 ：5 乂 亘5“-S 四边形 ABCD =A = 24.25 Vpabcd =24X 2y3 = 16 3.探究提高 当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面 垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直.3* 宾东看工咋堂核2备课纽制桦女口图所示，已知长方体 ABCD AiBiCiDi 的底面 ABCD为

17、正方形，E为线段ADi的中点，F为线段BDi的中点，(1) 求证：EF /平面 ABCD ;(2) 设M为线段CiC的中点，当DD的比值为多少时，DF丄平面DiMB ?并说明理由.(1) 证明/ E为线段ADi的中点，F为线段BDi的中点， EF / AB.v EF?平面ABCD ,AB?平面 ABCD , EF / 平面 ABCD.(2) 解 当 DADD = .2时，DF 丄平面 DiMB./ ABCD是正方形， AC丄BD.tDiD丄平面 ABC, DiD 丄AC. AC丄平面 BBiDiD, AC丄DF . F , M分别是BDi, CCi的中点， FM / AC. DF 丄FM.TD

18、iD= ,2AD , DiD = BD.a 矩形 DiDBBi 为正方形. F为BDi的中点， DF丄BDi. FM n BDi= F, DF 丄平面 DiMB.东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶解答过程要规范a n C东方工作畫核心备裸纽*-件典例：（12分）如图所示，M , N, K分别是正方体 ABCD AiBQiDi的 棱AB, CD , C1D1的中点.求证：（1）AN /平面 AiMK ;（2）平面A1B1C丄平面 A1MK.审题视角（1）要证线面平行，需证线线平行.（2）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直.规范解答证明（1）如图所示，连接 NK.在正方体A

19、BCD A1B1C1D1中，四边形AA1D1D, DD1C1C都为正方形，二 AA1 / DD1, AA1= DD1 , C1D1 / CD , C1D1 = CD.2 分 N , K分别为CD , C1D1的中点， DN / D1K , DN = D1K ,四边形DD1KN为平行四边形.3分 KN / DD1 , KN = DD1 ,- AA1 / KN , AA1= KN .四边形AA1KN为平行四边形. AN / A1K.4分T A1K?平面 A1MK , AN?平面 A1MK , AN / 平面 A1MK.6 分如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB /

20、C1D1 , AB = C1D1. M , K 分别为 AB , C1D1 的中点, BM / C1K , BM = C1K.四边形BC1KM为平行四边形. MK / BC1.8分在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 丄平面 BB1C1C ,BC1?平面 BB1C1C , A1B1 丄 BC1. MK / BC1 , A1B1 丄 MK.石东方工咋衰樓Z备棵纽剧柞A % H魅亶四边形BBiCiC为正方形, BCi丄BiC.10分 MK 丄 BiC.t A1B1?平面 AiBiC,BiC?平面 AiBiC,AiBiQ BiC= Bi, MK 丄平面 AiBiC.又/ MK?平面 A

21、iMK ,二平面AiMK丄平面AiBiC.i2分温馨提醒(i)步骤规范是答题得满分的最后保证，包括使用定理的严谨性，书写过程的流畅性.(2)本题证明常犯错误： 定理应用不严谨.如：要证AN/平面AiMK，必须强调AN?平面AiMK. 解题过程不完整，缺少关键步骤，如第(i)问中，应先证四边形 ANKAi为平行四边形.第(2)问中，缺少必要的条件，使思维不严谨，过程不流畅.方法与技巧i .证明线面垂直的方法(1) 线面垂直的定义：a与a内任何直线都垂直？ a丄a；m、n? a，m A n= A(2) 判定定理i:? I丄a；l丄m， I丄n(3) 判定定理2： a / b，a丄a? b丄a;(4

22、) 面面平行的性质：a/ 3, a丄a a丄3;面面垂直的性质：a丄3, aA 3= I， a? a， a丄I? a丄3M *作血东方工咋愛樓金备课纽剧件* % X1EX2 .证明线线垂直的方法(1) 定义：两条直线所成的角为90 (2) 平面几何中证明线线垂直的方法；(3) 线面垂直的性质：a丄a, b? a? a丄b;(4) 线面垂直的性质：a丄a, b/ a? a丄b.3.证明面面垂直的方法判定定理：a? a, a丄价a丄B失误与防范1. 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.2. 面面垂直的性质

23、定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.设I, m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是()A .若I丄m, m? a,贝U I丄aB .若 I 丄 a, I / m,贝y m aA f： X-CXC 若l /a, m? a,贝U I /D 若l /a, m / a,贝U l /答案解析l 丄 m , m? a,则l与a可能平行、相交或I?a；若l丄a, l / m,贝y m丄a；若l /a,m?a,则I与m可能平行或

24、异面；若I /a, m /a,则I与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确.2 .已知平面a与平面B相交，直线m丄a,则A . B内必存在直线与 m平行，且存在直线与m垂直B . B内不一定存在直线与 m平行，不一定存在直线与m垂直C. B内不一定存在直线与 m平行，但必存在直线与m垂直D. B内必存在直线与 m平行，不一定存在直线与m垂直 答案 C解析 如图，在平面B内的直线若与 a, B的交线a平行，则有m与 之垂直.但却不一定在 B内有与m平行的直线,只有当a丄B时才存 在.3 .已知m是平面a的一条斜线，点 A?a , I为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是()A . I

25、/ m, 1 丄 aB . I 丄m, l aC. I 丄 m, I / aD. I / m, I / a答案 C解析设m在平面a内的射影为n,当1丄n且与a无公共点时，1丄m, I / a4. 正方体 ABCD AB C D中，E为A C的中点，则直线 CE垂直于()A . A C B . BDC . A D D . AA答案 B解析连接B D,/ B D丄 A C , B D丄 CC,且 A CQ CC = C B D丄平面 CC E.而CE?平面CC E,1r牟看工作愛樓z备裸纽制作 B D丄 CE.又/ BD / B D , BD 丄CE.二、填空题（每小题5分，共I5分）5.如图，/

26、 BAC = 90 PC丄平面 ABC，则在 ABC, PAC的边所在的直线中：与 PC垂直的直线有与AP垂直的直线有答案 AB, BC，AC AB解析 / PC丄平面ABC, PC垂直于直线 AB, BC, AC;/ AB 丄 AC, AB 丄 PC, AB 丄平面 PAC, AB丄PC与AP垂直的直线是 AB.如图，PA丄圆0所在的平面，AB是圆0的直径，C是圆0上的一点,F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论:AF丄PB;EF丄PB;AF丄BC;AE丄平面 PBC.其中正确结论的序号是答案解析 由题意知PA丄平面ABC, PA丄BC.又 AC 丄 BC, PAn AC = A,

27、 BC 丄平面 PAC. BC 丄 AF.v AF 丄 PC, BC n PC= C, AF 丄平面 PBC, AF 丄 PB, AF 丄 BC.又 AE丄 PB, AE n AF = A, PB丄平面 AEF. PB丄EF.故 正确.已知平面答案解析三、解答题E、a, B和直线m,给出条件： m/ a；ml a；m? a；all B当满足条件时，有m丄B（填所选条件的序号）若 m丄 a, al B 贝U m B（共22分）8.（10分）如图所示，在斜三棱柱 AiBiCi ABC中，底面是等腰三角形,AiBi= A1C1，侧面 BBiCiC丄底面 AiBiCi.*宾工耀东方工作盛樓更备裸纽剧作

28、(1)若D是BC的中点，求证： AD丄CCi；过侧面BBiCiC的对角线BCi的平面交侧棱于 M，若AM = MAi, 求证：截面 MBCi丄侧面BBiCiC.证明 (1) TAB = AC, D是BC的中点, AD 丄 BC.底面ABC丄侧面BBiCiC, AD 丄侧面 BBiCiC, AD 丄 CCi.如图，延长 BiAi与BM的延长线交于点 N,连接CiN.i AM = MAi,MAi 綊2BBi, NAi = AiBi.-Ai Bi = AiCi, AiCi = AiN = AiBi, NCi 丄 CiBi.底面 NBiCi丄侧面 BBiCiC, CiN 丄侧面 BBiCiC,截面Ci

29、NB丄侧面BBiCiC,即截面 MBCi丄侧面BBiCiC.(i2分)如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是 CD、AiDi 的中点.(i)求证：ABi 丄 BF ;求证：AE丄BF;(3)棱CCi上是否存在点 P,使BF丄平面AEP?若存在，确定点 P的位置，若不存在，说明理由.(i)证明连接AiB,贝U ABi丄AiB,又 ABi 丄 AiF，且 AiB A AiF = Ai, ABi丄平面AiBF.又 BF?平面 AiBF, ABi丄 BF.* x-cx伍F牟看工作愛樓z备课纽制作（2）证明 取AD中点G,连接FG, BG，贝U FG丄AE,/ ABG = Z DAE

30、. AE 丄 BG.又 T BG A FG = G , AE丄平面BFG.又BF?平面BFG , AE 丄 BF.（3）解存在.取CCi中点P,即为所求.连接 EP, AP, CiD, EP / CiD,CiD / ABi, EP / ABi.由(i)知 ABi丄 BF , BF 丄EP.又由(2)知 AE 丄 BF，且 AEA EP = E, BF丄平面AEP.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）B是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是 （）2 .（20i2浙江）已知矩形 ABCD ,、选择题（每小题5分，共15分）A .若I丄a,a丄则I/ BB .若I / a,a丄则1

31、/ BC.若I丄m,allm?B贝U 1丄aD .若I丄a,allm?B,贝U 1丄m答案D解析/ I丄a, a/ I 丄 B又/ m? B I丄 m.i.已知I ,m是不同的两条直线，a,AB = 1, BC = .2,将厶ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中A .存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B .存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C .存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D .对任意位置，三对直线“AC 与 BD ”，“ AB与CD ”，“ AD与BC”均不垂直答案 B东芳工咋窒核2备课纽制件解析 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项

32、 A，过点A作AE丄BD，垂足为E,过点C作CF丄BD，垂足为F ,在图中，由边AB, BC不相等可知点E, F不重合.在图（2）中，连接CE,若直线AC与直线BD垂直，又 ACA AE = A, BD丄面 ACE , BD丄CE ,与点E, F不重合相矛盾，故 A错误.对于选项B,若AB丄CD ,又 AB丄 AD , AD A CD= D , AB 丄面 ADC ,AB与直线CD垂直, AB丄AC ,由ABAB,不存在这样的直角三角形. C错误.C由上可知D错误，故选B.3. 如图，已知 ABC为直角三角形，其中/ ACB = 90 M为AB的中点,东方工 咋鑒核2 备课纽制 作PM垂直于

33、ABC所在平面，那么A . PA = PBPC B . PA= PBPC C . PA= PB= PC D . PA工 PBM PC答案 C解析 M为AB的中点， ACB为直角三角形,BM = AM = CM，又 PM 丄平面 ABC, Rt PMB也 Rt PMA也 Rt PMC，故 PA= PB= PC.、填空题（每小题5分，共15分）4. 已知PABC所在平面外一点，且 PA、PB、PC两两垂直，则下列命题: PA丄BC;PB丄AC :PC丄AB; AB丄BC.其中正确的个数是.答案 3解析 如图所示./ PA丄PC、PA丄PB, PCn PB = P, PA丄平面PBC.又/ BC?平面PBC, PA 丄 BC.同理PB丄AC、PC丄AB.但AB不一定垂直于 BC.在正四棱锥PABCD 中，FA=-aB, M是BC的中点,G是厶PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 条.答案无数解析设正四棱锥的底面边长为 a,（如图）则侧棱长为于玄.由PM丄BC,连接PG并延长与AD相交于N点，则PN =MN = AB= a,