弹塑性力学课件 应变教学课件讲义

1、 位移 应变张量 应变与位移的关系 体积应变 刚体转动 应变分量的坐标转换 主应变 不变量 应变张量的分解 第2章 应变 u(x、y、z) = rx rx v(x、y、z) = ry ry w(x、y、z) = rz rz r r u a a x y z 位 移 应变 考察物体内任意一微小线段 长度的相对改变 正（线）应变 方向的相对改变 剪（角）应变 l ll 0 90 a b a b l l x y z a b a b l l c c 90 0 x y z 应变张量 三个方向线元的应变决定该点的应变状态 取与坐标轴相平行的三个方向 o a b c o a b c x y z oa oa-a

2、o x ob ob-bo y oc oc-co z aob yxxy 2 boc zyyz 2 coa zxxz 2 对称张量 张量的剪切应变分量 实际的剪切应变 zzyzx yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 应变与位移的关系（几何方程） u v xy yx x y o a b a b o dx x u u dx x v v dy y u u dy y v v oa和ob两线元的长度分别为oa=dx，ob=dy。 设o点的位移是u(x，y)和v(x，y)， a点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)， b点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+d

3、y)。 dx x u u ， dx x v v dy y u u ， dy y v v 根据定义，导出xy平面内的应变分量 考虑小变形假定 其他应变分量 x u dx udx x u u x y v dy vdy y v v y x v dx vdx x v v yx )( y u dy udy y u u xy )( x v y u xyyxyxxy z w z x w z u zxxz y w z v zyyz 几何方程张量表示 位移梯度 应变张量是位移梯度的对称化 )( 2 1 ,ijjiij uu j i ji x u u , 体积应变 a b c a b c x y z m m dx

4、 x w dx x v dx x u am，1 dy y w dy y v dy y u bm， 1 dz z w dz z v dz z u cm1， 变形前的体积是 v0=dxdydz 变形后的体积是 体积应变 dz z w dz z v dz z u dy y w dy y v dy y u dx x w dx x v dx x u cmbmamv 1 1 1 dxdydz z w y v x u v1(1+x+y+z)dxdydz 0 0 v vv x+y+z 刚体转动 a点位移是： u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)， b点位移是： u=u(x+dx、y+dy、z+

5、dz) v=v(x+dx、y+dy、z+dz) w=w(x+dx、y+dy、z+dz) a b a b x y z taylor级数将b点位移相对a点展开 dz z u dy y u dx x u uu dz z v dy y v dx x v vv dz z w dy y w dx x w ww dzdydzrdyrdxu dz x w z u dy y u x v dz x w z u dy x v y u dx x u uu yzxzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 dzdxdzdydxvv xzyzyyx 2 1 2 1 dydxdzdyrdxrww xyzzyz

6、x 2 1 2 1 矩阵表示 z v y w x 2 1 x w z u y 2 1 y u x v z 2 1 dz dy dx dz dy dx w v u w v u zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 dz dy dx dz dy dx q w v u w v u 转动矢量 xexyeyzez 刚体转动：以 方向的直线为转轴，且转角为 z y x dx dx dx dz dy dx q 变形分解 （1）随a点平动； ab ab （2）相对a点刚体转动； ab ab （3）纯变形。 ab ab。 a b a b

7、 b b 应变分量的坐标变换、主应变、不变量 将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换， 例如求主应变的特征方程 2 1 (x)l+ xym+ xzn0 yxl+(y)m+ yzn0 zxl+ zym+(z)n0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 应变张量的分解 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变 zzyzx yzyyx xzxyx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 00 00 00 0 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx -

8、 - 变形协调方程 问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系， 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是 yxxy xy 2 2 y 2 2 x 2 yxxzyx x 2 yzxy zx 2 zyyz yz 2 2 z 2 2 y 2 zxyxzy y 2 xz yzxy 2 zxzx xz 2 2 x 2 2 z 2 yxzyxz z 2 xy zx yz 2 必要性证明 充分性证明 x u x ， y v y ， x v y u xy yxx v y u yxyx v yx u x

9、y xy 2 2 2 2 2 2 2 y 2 2 x 2 yzxzxyx r x w x v x u 2 2 1 2 2 1 xyzyzxy y w y v r y u 2 2 1 2 2 1 zxyzyzx z w z v z u 2 2 1 2 2 1 u单值的条件是积分与路径无关，即du为全微分 cdzbdyadxdz z u dy y u dx x u duu x c z a y c z b x b y a zyx xy zxx 2 1 zxx xzx y 2 1 yxx x xy z 2 1 zyy yyz x 2 1 xzy yzxyy 2 1 xyy yxy z 2 1 yxz zx yz z 2 1 xzz zzx y 2 1 yzz z yz x 2 1 位移的导数a、b、c单值就要求x、y、z必须单值 fdzedyddxdz z dy y dx x xxx x zxyxzy y 2 xz yzxy 2 yxzyxz z 2 xy zx yz 2 zyyz