力物体的平衡典型例题

1、处于共点力作用下物体平衡的分析及求解 湖南衡东欧阳遇实验中学 阳其保 421411 一：共点力作用下的平衡状态 ： 1两种状态： A :静止，B:匀速直线运动 2：两个基本特征： A ：运动学特征：速度为 0或速度不变。 B ：动力学特征：物体所受的合外力为 0 ， （即平衡条件） 二：求解共点力平衡的基本步骤： 1 ：正确画出受力分析图。 受力分析方法：A:整体法和隔离法（区分内力和外力） B：假设法。（判定弹力、摩擦力的有无和方向） 2 ：合理建立坐标系，对不在坐标轴上的力进行分解 3 ：利用力的分解和合成求合力，列平衡方程。 4 ：解方程。 三：求解共点力平衡的基本方法： 1 ：力的正交

2、分解法： 此方法适用于三个以上共点力作用下物体的平衡， 注意合理选取坐 标系，尽可能使落在坐标轴上的力多一些，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。 2 ：力的合成、分解法：对于三力平衡，可根据结论： “任意两个力的合力与第三个力等 大反向”，借助几何知识求解。对于多个力的平衡，可利用先分解再合成的正交分解法。 3 ：矢量三角形法： 物体受同一平面内三个互不平行的力作用下平衡时， 这三个力的矢量 箭头首尾相接， 构成一个矢量三角形， 利用三角形法， 根据正弦定理、 余弦定理或相似三角形 等数学知识求得未知力。此种方法直观、简便，但它仅适于三力平衡。 4 ：相似三角形法：即找一个与矢量三角形

3、相似的三角形，利用几何知识求解。 5 ：正弦定理法： 三力平衡时， 三个力可构成一封闭的三角形， 若由题设条件寻找到角度 关系，则可用正弦定理列式求解。 四：平衡问题中的临界与极值问题。 1 ：临界状态： 是从一种物理现象转变为另一种物理现象， 或从一物理过程转入到另一物 理过程的转折状态。临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。 常见的临界状态有： A:两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0（主要体现为两物体间的弹力为 0）, B:绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值，弯与不弯的临界条件为作用力为0； C:靠摩擦力连接的物体间发生相对滑动或相对静止的临界条

4、件为摩擦力达到最大。 研究的基本思维方法:采用假设推理法。 2 :极值问题:是指研究平衡问题过程中某物理量变化时出现的最大值或最小值,中学物 理的极值问题可分为简单极值问题和极值条件问题,区分的依据就是是否受附加条件限制。 处理极值问题的两种基本方法: A :解析法:根据物体的平衡条件列方程,通过数学求极值的方法求极值。思维严谨,但有 时运算量比较大,相对来说较复杂。 B :图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析， 确定最 大值和最小值。此法简便、直观。 通常可利用几何极值原理：如图：三角形一条边a的大 小和方向都确定，另一条边 b只能确定其方向(即 a、b间的

5、夹角B角确定)，欲求第三边的最小值，则必有 c垂直于b, 且 c=asin 0 例1 (2003年全国高考卷 19题)如图所示，一个半球 =60 .两小球的质量比 mVmi 为 2 形的碗放在桌面上，碗口水平，o点为其球心，碗的内 表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端 分别系有质量为 m和mi的小球，当它们处于平衡状态时, 质量为m的小球与O点的连线与水平线的夹角为a 解军析：本题若采用整体法，因为绳与碗口处的弹力未知无法 得解，故应该用隔离法. 对m进行受力分析可知 T=mg, 对m进行受力分析，如图所示. 由几何知识有：0二a /2 由共点力的平衡条件得 Tcos( a /2)

6、+N cos( a /2)=mig Tcos a =N cos a 解得:m2/mi = 3 正确答案：(A) 点评：本题的解题关键是利用正交分解法列平衡方程，正交分解法解物体的平衡是基本 方法，必须熟练掌握. 例2 .三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半 径为r。的圆环1上，彼此间距相等，绳穿过半径也为 r。的圆环2，另一端同样等间距地系在半径为2ro的圆 环3上，三个圆环环面平行.环心在同一竖直线上， 如图所示环1固定在水平面上，整个系统处于平衡 状态，试求第 2个环中心与第3个环中心之间的距离 (三个环都是用相同的金属丝制作的，摩擦不计). 解军：由于对称，三根轻绳中张力相同，设为T，

7、如右图所示，若环2重为G,则可得环3的重力为2G, 对环2、3整体平衡有 3T=G+2G即有：T=G 隔离环3,由平衡条件得：3Tsin 0 =2G 贝U: sin 0 =2/3 即: d /. r02 d2 = 2/ 3 2 5 ro 所以环2、3间间距d 5 点评：本题虽为全俄竞赛题，物理情景有所变换，但处理的方法仍是基本的隔离法与整体 法的应用，注意在利用整体法时，系统内力与外力的区别，同时，因避开了系统的内力，使得 解题更合理，更简便。是解物体平衡的常用方法。 ,所以物体不会滑动，出现 例3.如图所示，三角形木块放在倾角为0的斜面上，若木块与 斜面问动摩擦因数卩 tan 0,则无论作用

8、在木块上竖直向下的外力 多大，木块都不会滑动，这种现象叫做“自锁”试证明之. 证明：当F作用在物体上时， 物体所受外力沿斜面向下的分力为：(F+mg)sin 0 假设物体下滑，则沿斜面向上的滑动摩擦力为： (F+mg) cos 0 由卩 tan 0 可得 i (F+mg) cos (F+mg) sin 0 即物体所受的滑动摩擦力总大于物体沿斜面向下的分力 “自锁”现象 点评：本题是假设法在解物体平衡中临界问题的应用，解题的关键是能否找出物体滑 动的临界条件：沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，并能巧用假设法列出相应的关系式。 例4：如图所示，把一个球放在 AB和CD两个与纸面垂 直的光滑板之间，保

9、持静止，AB板固定不动，与水平面间的 夹角为a, CD板与AB板活动连接，CD板可绕通过D点 的并垂直于纸面的轴转动，在0角缓慢地由0增大到 90的过程中，AB板和CD板对球的支持力的大小如何变化？ 解法一：正交分解法： 球的受力如右图所示，球在重力G AB板的支持力 R、CD板的支持力F2这三个力作用下保持平衡，利用几何关 系知F1与竖直线夹角为a，F2与竖直线夹角为0,根据平 行四边形定则，将F1、F2分解为水平、竖直方向的分力， 则由平衡条件有： F 1Sin a 二Fsin 0 F 1cos a +Hcos 0 =G 联立以上两式得： F i=G/ (cos a +sin a cot

10、0) F 2=CSin a / si n （a + 0） 故当a定、0由0。逐渐增大到90的过程中，因cot 0减小，故Fi 一直增大，当 a + 0 =90时，sin （ a + 0）最大为1，故H最小值为Osin a,所以F2先减小后增大。 解法二：图解法： 如右图所示，根据平行四边形法则，作出Fi、F2的 合力F,由平衡条件可知，F与G等大反向。在a角一 定，F方向竖直向上的情况下选取平行四边形的一半， 可得一矢量三角形，当0由0增大到90的过程中，由 图可知，Fi 一直增大，F2先减小后增大，当a + 0 =90，即 CD板垂直 AB板时，F2最小，且Fmn=Gsin a 点评：在用解

11、析法和图解法求解物体平衡中有关力的变 化中，图解法能直观反映各力的变化情况，而解析法通常要 涉及三角函数的知识， 相对较为复杂，在定性判定力的变化 时宜采用图解法。 例5如图（I）所示，一根轻绳上端固定在 0点，下端拴一个重 为G的钢球，球处于静止状态.现对球施加一个方向向右的外力F， 使球缓慢偏移，在移动中的每一个时刻，都可以认为是处于平衡状 态如果外力F方向始终水平，最大值为 2G,在此过程中，轻绳拉力 T的大小的取值范围是 .在图（n ）中画出T与cos 0 的函数关系图象. 解军：钢球受重力 G绳拉力T、及水平向右的外力 F 作用下处于平衡状态，所以有：F=Gta n0 ， 又因为：0

12、0 2 分别表示两边绳的拉力、长度以及绳与水平面之间的夹角. 因为绳与滑轮之间的接触是光滑的，故有： F Tl 一一 Ft2=Ft 由水平方向的平衡可知 F t cos 0 i=FtCOS 0 2,即 B i = 0 2= 0 由题意与几何关系可知： L i+L2=2s （OA 距离设为s） L l cos 0 +L2COS 0 =s 由式得cos 0 =1/20 =60。 由竖直方向力的平衡可知 2F t sin 0 =mg,所以 Ft=mg 3 点评：本题应注意隐含条件的挖掘，即同一段绳中各处的张力 相同（不计重力），然后由对称性进行求解，此结论一定是记住。 例8：如图所示，物体的质量为

13、2 kg，两根轻绳AB和A（一端连接于竖直墙上，另一端系于物 体上，在物体上另施加一个方向与水平线成0=60的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力 F的 2 大小范围（g=10m/s ） 解:作出A受力图，如力所示，由平衡条件得: F sin 0 +sin 0 -mg=0 F cos 0 -T 2-T 1cos 0 =0 由以上两式可得：F= mg/ sin 0 -T1 7A x F=T 2/2 cos 0 + mg/2 sin 0 要使两绳都能绷直，则有 Ti 0, T20 所以 F有最大值：Fmax= mg/ sin 0 =40._3/3N 最小值：Fmin= mg/2 sin 0 =20.、

14、3/3N 即有 20 .、3/3N w Fw 40、3/3N 点评：本题是平衡中临界条件及极值问题的综合，对于绳 是否被拉直的临界条件为绳的张力大于或等于0,同时注意条件 极值的求解。 例9： 1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船对北极 地区海域进行了全方位的卓有成效的科学考察，这次考察获得了圆满的成功，并取得了一大批 极为珍贵的资料，“雪龙：号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的 条件，以对付北极地区的冰层与冰块，它是靠本身的重力压碎周围的冰块，同时又应将碎冰块 挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船帮之间，船帮由于受巨大的侧压力而可能解体

15、，为此, 如图所示，船帮与竖直面之间必须有一倾角0，设船体与冰块间的动摩擦因数为卩，试问使压 碎的冰块能被挤向船底，0角应满足什么条件？（冰块受到的重力、浮力忽略不计。） 解军：如图为一碎冰块的受力图，N为考察船侧对 冰块的压力，f为考察船对冰块的滑动摩擦力， 则有：f=卩N, 将N按图分解，则有Ni=Ntan 0， 要使冰块能向下滑，Ntan 0卩N 即满足：tan 0卩0 arctan卩 点评：本题为物体平衡在实际生活中的应用，与 现代高科技紧密相关。现代物理教学中倡导的“科 学、技术、社会” （STS教育的思想，正是试图培养未来人才正确的科学思想，提高人类的科 学素质，关注当前社会热点问

16、题，要求学生根据自己的知识对热点问题进行思考，做出判断， 这将有助于学生形成科学的民主意识，科学决策能力及正确的价值伦理观念，也正是物理教学 中最终要达到的目标之一。 专题一：平衡类问题（I ）2006.3.1 【考点分析】主讲：陈益富 1、要熟练掌握重力、弹力、摩擦力以及电场力、安培力（洛仑兹力）的性质和特点，能 利用共点力平衡条件解题。 2、对力的处理方法主要是利用平行四边形法则（三角形法则）和正交分解法；对研究对 象的处理方法主要是利用整体法和隔离法。 【知识要点】 9 1、共点力平衡状态及条件：静止或匀速直线运动状态都称为平衡状态，处在平衡状态的 物体所受合外力一定为 0。即所有外力在

17、任意一个方向上的投影的代数和为 0。 2、整体法和隔离法：合理选择研究对象是研究力学问题的关键，有时选择一个物体为研 究对象分析较为烦琐，但选用整个系统作为研究对象却简洁明了，整体法的优点是未知量少， 方程数少，求解简捷原则： 先整体后隔离 思路点拨 本专题内容高考涉及的主要是三力平衡，往往以选择填空为主，在电场磁场中带电粒子 及导体的平衡计算题出现较多。近几年考查在运动中受变力（如f=kx，f=kv、f=Kv2）出现的 变化过程和稳定状态（平衡态）较为频繁，应引起足够的重视。 【解题指导】 一、静力学中的平衡问题： 运动状态未发生改变，即 a=0，表现：静止或匀速直线运动 1、二力平衡： 2

18、、三力平衡：任何两力的合力为第三个力的平衡力 例一、如图1-3所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为 r的光滑大圆环 上，一劲度系数为 k，自然长度为L（L2r）弹簧的一端固定在小环上，另一端 固定在大圆环的最高点A。当小环静止时，略去弹簧的自重和小环与大圆环间 的摩擦。求弹簧与竖直方向之间的夹角0 ? 例二、如图所示，一个重量为G的物体，被悬挂后，要对物体施加一个大小一定的作用力F（ F 小于G,使物体在某一位置重新获得平衡，若不计悬线的质量，求悬线与竖直方向的最大夹 角？ 3、多力平衡：正交分解法 例三：质量为m=5kg的物体置于一粗糙的斜面上 ，用一平行于斜面的大小为30N的力F推物

19、体, 使物体沿斜面向上匀速运动，斜面体的质量 M=10Kg,且始终保持静止 体的摩擦力f和地面对斜面体的支持力N . 练：如图所示，质量为m=1kg的物体置于一斜面体的光滑斜面上 用一大小为10N的水平力F推物体，使物体和斜面一起沿水平面 向右匀速运动，斜面体的质量M=4kg,求： (1) 斜面的倾角a ； (2) 斜面体底面和水平面间的动摩擦因数 例四：质量为 m的物体置于动摩擦因数为 的水平面上，现对它施加一个拉力，使它做匀速 直线运动，问拉力与水平方向成多大夹角时这个力最小? 专题一：平衡类问题(II )2006.3.2 主讲：陈益富 二、动态收尾平衡冋题： 例：如图所示，AB CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间距离为|，导轨平面与水 平面的夹角为 二。空间有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B。在导轨的 A、C端连接一个阻 值为R的电阻。一根垂直于导轨放置的金属棒 ab,质量为m ,从静止开始沿导轨下滑。求ab 棒的最大速度。(已知ab和导轨间的动摩擦因数为 J,导轨和金属棒的电阻不计) a C 在摆运动中“平衡位置”为速度最大的位置但非处于平衡状态 例：质量为m电量为+q的单摆球用长为I的细线悬挂处