概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt

1、概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt 3.1多维随机变量及其联合分布 在实际问题中，试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的r.v.来描述.例如用温度和风力来描述天气情况;通过对含 碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分等要研究这些r.v.之间的联系，就需考虑 多维r.v.及其取值规律一多维r.v.的分布. 1. 多维随机变量 定义：设X1 , , X n是定义在同一个样本空间上的随机变 量，则称 X ( XJ , ,xn) 为n维随机变量或随机向量。 随机向量的例子 掷一颗骰子两次，设 示第i次所掷点数，则2维随机向量。表为 研究4到6岁儿童的发育状况时，令表示身高，表示体重，则 为

2、2维随机向量。 考虑某商场一天的销售额和顾客数，则为2维随机向量。 2. 联合分布函数 定义：对任意n个实数 以下n个事件同时发生的概率 定义了一个n元函数，称之为为n维随机变 量 的联合分布函数。主要考虑2维情 形。 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维r.v. (X，丫 ) 一组可能取值，则 F (x, y) 表 示(X，丫 )取值落入图所示角形区域的概率.y (x, y) x (, ) 联合分布函数的性质n f L c )1 y () I- (,)1 (X, y) X I- (,)0 y IM x ,) (i X X 对每个变量单调不减固定X ,对任意的y1 F (x

3、0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 对于任意a 事实上 F (b,d)- F (b,c) d c a b 0 满足上述四条性质的二元函数一定是某 不能由前三条得出(见 P135例3.1.1 个二 )。 -F (a,d) + F (a,c) ? fi X b, c V d 任一分布函数都满足上述四条性质，且 维随机变量的分布函数。 注：性质(4)是二维分布函数特有的, 3. 联合分布列定义：若二维r.v.（X，丫 ）所有可能的取值为有限多个或无穷可列 多个,则称（X，丫 ） 为二 维离散型r.v. 设（X，丫 ）的所有可能的取值为和，y j ；，, i, I,工 则称 卩（X

4、xi , Y y j ） pi j , i, j 1, 2, 为二维r.v.（ X ,Y ）的联合概率分布，也简称概率分布或分布列。 显然，上述分布列满足非负性和规范性，即 P1J 0, 11 J 1 i, J 山 Pij 1 （X，丫） 的联合分布列（表格形式） X Y X1 p11 xi pi1 yi yj pi j Pij I匸 lJ|- X xi , Y y)的求法 利用古典概型直接求；利用乘法公式 pij Pt X xi ) P(Y y j X “丿. 例1某校新选出的学生 会有6名女生，文、理、工科各占1人、2人、3人，现从中随机指定2人为学生 会主席候选人令X，丫分别为候 选人中

5、来自文、理科的人数求(X, Y)的联合 分布列. 3.联合密度函数 定义 设二维r.v.( X ,Y )的分布函数为F(x ,y ), 若存在非负可 积函数f (x,y),使得对于任意实数x,y有 I - ( X, V )f G1, V； C Vi 111 则称(X ,Y )为二维连续型r.v. f (x,y) 为(X ,Y )的联合概率密度函数，简 称概率密度函数简记p.d.f. x y 联合密度函数的性质 (1) f ( X,叮 i) f ( x, y)dydx 1 (3)在F ( x, y)的偏导存在的点处 F f ( xn y J x y 2 若f在(x,y)点处连续，则 Pt x X

6、 x 爼 y Y yy) f ( x, y) x y 若G是平面上的区域，则 P ( X , Y ) Gf ( . y )dxdy G 由重积分化累次积分时要注意积分区间的变化! 例2设r.v.( X，丫 )的联合密度函数 为 kxv, ii x 汕 v Xc；其他 巾 其中k为常数.求 (1) 常数k :卩(X + Y 1) 卩戈 4. 常用多维分布 离散情形：1.多项分布 进行n次独立重复试验，如果每次试验有 r个可能结果：且记Xi为n次独立重复试验中 Ai出现的次数，则 取的概率为 此时称 服从r项分布，记为 易知上述概率为多项式 展开式的通项，故其和为1. 当r=2时，回到二项分布情形

7、。 多维Poisson分布设r.v.空间上，且 定义在同一个样本 其中则称服从参数为的多维Poisson分布。 多维超几何分布 设袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i=1,2,r，记 从中任取n只，设Xi为取出的i号球的 个数，则 其中则称 服从多维超几何分布。 连续情形：多维均匀分布 设D为中的有界区域，其度量为若多维随机变量 的联 合密度函数为1 pl ,(咒1 i , xn ) 山，sn ；S Ij 0,其他) 则称布，记为 服从D上的多维均匀分 例3考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域内 的概率只与这个区域的面积有关，与该区域在圆内的位置及形状无关。如果令圆心表示 原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为 娱 x 2 y 2 I? 2 . f ( x, y )2 2 2 0, x y I?, (1) 求常数c，( 2)计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；(3)计算E(D). 二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 p ( x, y ；21 2 I 2