在算术运算的教学中培养学生的准变量思维

1、在算术运算的教学中培养学生的准变量思维教育心理学认为， 计算是一种智力操作技能， 而知识转化 为技能是需要过程的，计算技能的形成具有其自身独特的规律。 学生计算技能的形成一般要经历四个阶段，即活动的认知阶段、 示范模仿阶段、 有意识的言语阶段和无意识的内部言语阶段。 基 于这样的认识， 在小学数学课堂教学实践中， 在学生初步理解算 理、明确算法后，教师会根据计算技能形成的规律，及时组织练 习。具体地说， 一般先针对重点、 难点进行专项练习、 对比练习、 改错练习，再根据学生的实际体验，进行归类和变式练习。一般 说来，复杂的计算技能总是可以分解为单一技能的， 对分解的单 一技能进行训练并逐渐组合

2、， 才能形成复合性技能， 再通过综合 训练就可以达到自动化阶段。 这样进行计算教学， 无疑是高效的。 但毋庸置疑， 这样的计算教学在数学思维方式上倾向于算术程序 思维，亟须改进。一、现行计算教学亟须努力的方向1.要训练思维的灵活性。 数学教学的核心是发展学生的思维能力， 计算技能的训练当 然也不例外。从此意义上讲，计算技能训练绝不是机械重复的 “操练”，而因围绕技能的产生、形成和熟练，努力促进学生思 维的发展。义务教育数学课程标准（ 2011 年版）指出要“寻求合理简洁的运算途径解决问题”。 结合具体算式的特点，灵活选择 计算方法，是具有较强运算能力的表现。 思维的灵活性是指面对 数学问题，善

3、于从不同角度和不同方面进行思考， 灵活运用有关 知识解决问题。它表现为对知识运用自如、变通流畅，思维不囿 于固定的程序，能够根据具体情况灵活调整思路。 计算教学对于 学生成长和发展的价值，除了掌握算法外，更重要的是以数的运 算过程为载体，帮助学生建立判断和选择的自觉意识， 形成根据 具体题目以及自我需要正确选择的能力。2.要促进学生的代数学习。 在义务教育阶段，数学教育是一个不可分割的整体， 旨在培 养和提高学生的数学素养而非数学（专业）才能。但是，“小学 数学在内容上主要是算术，而且在数学思维方式上倾向于程序思 维；初中数学的主要内容之一是代数， 在数学思维方式上更倾向 于关系思维。 ”“造

4、成算术和代数这两个数学领域在学校教育中 的割裂不仅有其传统的原因， 而且还有其现实的根源。这种割裂 不仅有人为性，而且还是造成学生后续学习代数困难的祸首之t ”一。”现在已经有越来越多的共识，这种对算术学习与代数学习的 分离使得学生在以后年级中学习代数更加困难。 这种人为的分离 也剥夺了学生在低年级运用强大的数学思维的机会， 使得在学校 数学学习中，学生对算术的学习并没有为今后代数的学习奠定基 础。算术对于很多学生来说只是一系列的计算。 学生并没有很多 机会思考使得这些计算成为可能的原因。 而且，许多学生还将解 决算术题时所用的思想与方法带到代数中， 认为代数学习必须要 记住很多各种各样复杂的

5、规则。当代研究表明， 小学生能够参与到代数推理中， 而且学习代 数中的这些重要概念并实践并不是只有少数数学天赋出众的学 生才能完成。 学生是可以具备早期代数思维的。 早期代数思维需 要超越对算术与计算熟练程度的精通， 以关注隐含的更深层的数 学结构。综上所述， 计算教学要解决思维的灵活性、 促进学生的代数 学习，需要培养学生的准变量思维。 准变量思维是介于算术思维 和代数思维之间的一种数学思维形式， 它是学生数学思维从算术 思维发展到代数思维的桥梁和纽带。 准变量思维是充分利用算术 中所隐含的代数关系与结构，对算术及其问题进行“代数的思 考”。二、在计算教学中培养学生的准变量思维的途径 在计算

6、教学中培养学生的准变量思维，需要教师转变观念， 习惯使用“代数的眼睛和耳朵”， 敏锐地发掘可以培养学生准变 量思维的素材。不管是例题的教学，还是习题演练，都要精心地 做好设计。1. 在例题教学中培养学生的准变量思维。下面试以苏教版一年级上册 9 加几一课为例，进行新授 部分的教学设计。（1）明确条件与问题。出示例题，要求学生说出图中告诉 了我们什么。 你能提一个用加法计算的问题吗？怎样列式呢？板 书算式： 9+4。（ 2）动手操作，探索算法。“ 9+4”怎样算呢？想一想，把 你的想法用小棒摆一摆。先与同桌交流，再组织全班交流。 学生中可能有以下三种方法： 方法一：从 9开始数， 9，10，11

7、，12，13。方法二：先从右边移 1 个到左边，将左边凑成 10，再看右 边还剩 3 个，一共就有 13个。方法三： 10加4等于 14，9比10少1个，所以 9加4等于 13。每一种算法， 都要求学生对照实物图进行交流。 交流第二种 算法时，教师用课件动态演示“凑十”的过程。（3）引导比较，优化算法。组织学生比较出现的不同算法。 方法一是用数数的方法， 这是我们已经学过的方法， 还需要 学会计算的方法。方法二是先把 9 凑成 10，再计算，这种方法叫做“凑十法”。 总结“凑十法”的思考过程，同时板书：指出：这样的思考方法还可以写成“ 9+4=10+3=13”，想一 想为什么。方法三也可以这样

8、写： 9+4=10+4-1=13，想一想为什么要减1。20 以内的进位加法是学生计算技能的重要组成部分，也是 以后学习加、减法口算和笔算的重要基础。而“9 加几”又是学 生第一次接触进位加法，对于加法计算中的进位规则和处理方 法，学生理解起来有一定的困难。为了有效地突破这一难点，采 取化抽象为直观的方法， 让学生对照实物图思考， 初步形成各自 的计算思路； 和同桌互相说一说， 以理清自己“数”或“算”的 过程； 再引导学生对不同算法进行比较， 意在促进学生主动思考 优化的算法， 并逐步完善自己的算法； 教师重点强调“凑十法” 的思路， 帮助学生理解进位加的算理， 这样的设计遵循了儿童的 认知规

9、律。其中，培养学生的准变量思维着重表现在：在板书“凑十 法”的思考过程后， 告诉学生，还可以这样想： 9+4=10+3=13（结 合摆小棒，学生很容易理解）。这里的“ =”不仅表示加的和， 也表示“和不变”，把要算的“ 9+4”转化为“ 10+3”来想，像 “9+4=10+3”“ 9+4=10+4- 1”就是准变量表达式， 准变量表达式 能体现“等号的关系性质”，它们对应着代数关系式“ a+b= （a+1）+（b-1 ）”“ a+b=（ a+1）+b- 1”。在数学中，由算术思 维到代数思维的转换标志之一是， 从等号的程序观念到等号的关 系观念的转变。 这也就是说， 如果我们能够在小学低年级计

10、算教 学中从一开始就关注“等号的关系性质”， 那么小学生就可以较 早地接触到代数思维，并能够减少他们今后学习代数的困难2. 在习题训练中培养学生的准变量思维在数学教学活动中， 学生掌握知识、 学会技能并逐步形成各 种能力，是一个渐进、 潜变的过程。其中，习题训练对深化知识、 技能的理解、提高智能、优化思维品质具有重要的作用。要注意 发挥习题的思维训练功能， 思维训练离不开数学的学习， 而数学 的学习主要是引导学生经历数学的思维训练。 譬如， 在下面的空 格中，填入一个数，使等式成立： 45-18=47- 。这道题有两种 思考方法： 第一种先求等式左边的结果， 再根据“减数 =被减数 - 差”求

11、出方框里的数； 第二种是把等号左右两边的算式看作一个 整体，根据 47比 45多 2，要想得数相等，方框里的数要比 18 多 2。第一种解法学生容易接受。 第二种解法应用了等式的性质来 分析、填写，思维的层次要高些，更重要的是，学生的这种思考 方式对于他们的后续学习是非常重要的。根据减法运算的各部分关系填出方框里的数， 属于算术领域 的思考方法； 用等式性质填出方框里的数， 属于代数领域的思考 方法。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。对于这一类题 目，如果在教学中只是让学生用第一种方法解答， 再训练学生快 速计算并能保证准确率， 从而在考试中得到高分， 那么就是狭隘 的减法运算训练。其实，

12、这里等号还可以理解为差相等。根据差 不变的规律，让学生理解数之间的关系，这样，这道习题的教学 就从算术的学习转向了代数的学习， 从对数量的理解转向了对关系的探讨。 在思考如何在方框里填数的过程中， 学生将逐步接受 并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。 需要指出：四则运算教学的目的应该是对运算与等式性质的 理解， 而不仅仅是计算的正确性。 学生光会正确地计算结果是不 够的，需要有数学思维上的发展。如果四则运算的教学能发展学生对数与运算之间的关系与 结构的深刻理解， 从而为以后的学习打下良好且坚实的基础， 那 么，今后的代数学习对学生而言将不再陌生、困难。三、培养学生的准变量思维需

13、要注意的方面1. 要联系生活。在小学计算教学中培养学生的准变量思维， 要联系学生的生 活实际。 数学的特点在于它的高度抽象性。 而小学生的思维正处 在由以具体形象思维为主要形式逐步向以抽象逻辑思维为主要 形式过渡的阶段， 他们的抽象逻辑思维还带有很大成分的具体形 象性，往往要在感性材料的支持下才能顺利进行。 学生思维的现 有发展水平与所学数学知识的抽象化水平之间在客观上存在着 一定的差异， 要解决这种差异， 需要让学生在数学学习中经历一 个“数学化”的过程从自己的生活实际出发， 将数学学习与 生活经验紧密地联系在一起， 在教师的引导下， 通过自己的反思， 把生活经验上升为数学知识。 如计算“

14、545- 98”，直接出示题目， 学生想到的是用竖式计算， 简便算法就不容易出来， 就丧失了培 养学生运用准变量思考的机会（这道题对应的代数式是“a -(b-c ) =a- b+c”。可以这样设计：( 1)创设情境：小明身上有压岁钱 545 元，买课外书用了 98 元。小明还剩多少钱？( 2)学生尝试，小组交流。( 3)小组向全班汇报。预设学生主要有两种算法：第一种 是用竖式计算；第二种是简便计算： 545-98=545-100+2=445+2=447 。交流的重点是为什么要加 2。( 4)用简便方法计算： 545-199 ，472-397 。( 5)总结：你能发现什么规律？为什么不直接出示题

15、目， 而要创设情境呢？因为提供一道干 巴巴的算式， 却需要学生去主动寻找算法， 对还依赖于经验和直 观思维的学生来说是有困难的。 一个缺少背景的形式化的问题往 往不能唤醒学生已有的经验， 但提供一个现实的情境， 就容易调 动学生已有的购物经验。 学生在生活中有这样的体会： 购物用去 98元，付给营业员 100元，营业员就会找给他 2 元。有这样的 经验，简便的算法就自然生成；凭借这样的经验，学生就容易理 解加 2的道理。在这样的基础上， 总结“一个数减去略小于整百、 整千的数，可以先减去整百、整千，再加上多减的数”就水到渠 成。2. 要把握好“度”。在小学计算教学中培养学生的准变量思维，要把握

16、好度”， 不能随意拔高小学数学教学的思维目标， 用代数思维来取代准变量思维如：解答“圆的半径扩大 2 倍，圆的面积扩大( )倍”一 题，教学中学生常把半径赋以数值去思考： 假设原来半径是 1 厘 米，面积是3.14 X 12=3.14 (平方厘米)；现在半径扩大2倍是2 厘米，面积是 3.14 X 22=12.56 (平方厘米)；12.56 一3.14=4。 在此基础上，引导学生把计算过程写成：(3.14 X 22) +(3.14 X 12) =22+ 12=4+仁4,既可以简便计算，又能培养其准 变量思维。笔者曾经这样给学生推理：假设原来半径是 a 厘米， 列成算式： 3.14X(2a)2+

17、(3.14Xa2) =(2a)2+a2=4a2+a2=4， 效果反而不好。原因就在于“( 3.14X22)+(3.14X12) =22+12”运用了商不变的规律进行具体的数值计算，这种计算 的形式学生理解并且熟悉；而“ 3.14X( 2a) 2+(3.14Xa2) =(2a) 2-a2=4a2-a2”这种计算的形式对于小学生而言，比较 抽象，学生不太容易理解。在计算中利用准变量表达式来培养学生的代数思维， 即“代 数地思考”计算及其问题时，要用常量“数”充当变量进行思 考。像准变量表达式“( 3.14X22)+(3.14X12) =22+12” 中的数就是“变量”，因为它对应着一个代数关系式“

18、(aX b)+( aX c) =b+ c( a、b、c 均不为 0)”。实践证明，当给予学 生丰富的学习材料时， 他们会浸润在内在的代数思维之中。 如果 用字母或代数式进行抽象推理，用代数思维来取代准变量思维， 很有可能造成适得其反和欲速则不达的结果。3. 要重视评价。在小学数学计算教学中培养学生的准变量思维， 要重视对评 价的设计和实施， 恰当运用评价的内容与结果， 充分发挥评价的 导向、反馈、激励等功能，激发学生的学习兴趣，提高学生学习 的信心，促进学生的发展。传统的评价手段是考试， 学生是通过考试获取有关学习的信 息的。同时，也给学生传递了一个非常清晰的信号：考试比数学 学习本身更重要。 要改变这种忽视学生的发展、 片面追求分数的 做法。义务教育数学课程标准（