坡面降雨径流中污染物扩散浓度比尺推导

1、坡面降雨径流中污染物扩散浓度比尺推导DOI：10.19694/jki.issn2095-2457.2018.12.0530 引言降雨冲刷地表沉积物而产生含有大量污染物的径流流入水 体，对水环境造成了严重的危害 1 。20世纪 60 年代以来，国 外首先注意到了降雨径流污染导致的水质恶化的问题， 并且在降 雨径流水质特性研究、 水环境影响评价、 模型模拟方面做出大量 的工作 2-3 。近些年，我国也开展了大量的降雨径流污染物运 移规律的研究， 在黄土坡面土壤氮磷等化学物质随径流迁移的研 究中，张亚丽等 4 运用了降雨 - 径流-土壤化学物质混合层深度 （简称混合层深度） 的方法， 模拟坡面土壤化

2、学物质随径流迁移 的过程，王敬美等 5-6 运用模型试验结合相似理论的方法研究 了水中污染物的扩散规律，高建恩等 7-8 运用相似性原理对黄 土高原小流域水力侵蚀模拟试验的比尺进行了设计和验证， 可作 为模拟小流域水力侵蚀调控， 优化治理措施研究的有效措施。 这 些研究通过运用模拟实验、 相似理论推导等方法， 从不同的侧重 点探究降雨径流中水流运动和污染物运移的规律， 但没有从定量 的角度推求出污染物在模型与原型中运移浓度的关系。 本研究是 建立在相似理论的基础上， 通过将污染物三元对流扩散方程与相 似理论建立联系，从而推求出原型与模型的污染物运移浓度比 尺，为模型试验的验证提供了理论依据。1

3、 研究背景1.1 费克定律污染物扩散是环境水力学的核心部分， 水流紊动与扩散有密 切的联系。研究污染物在水体中的扩散规律是推导出污染物运移 比尺的基础工作，因此具有重要意义。1885年费克提出扩散定律：在各向同性的介质中，在一定 方向上通过单位面积扩散输送的物质， 与该断面的浓度梯度成比 例 9 。公式如下：F=-D （1）式中：F单位时间通过单位面积的扩散物质，又称为通 量；C扩散物质的浓度；一一x方向的浓度梯度；D扩散系数，在各向同性的液体中，在 x、y、z 三个方向上，扩散系 数为常数。上述公式只表示出污染物在一个方向上的扩散，实际当中， 污染物质不是在单一方向而是在 x、y、z 三个方

4、向上都有扩散， 因此，将其写成矢量形式应为：F=-D（ + +）=-D ?荤 C（ 2）1.2 单纯扩散方程在菲克定律的基础上， 通过质量守恒原理建立单位时间扩散 物质的量的变化等于 x， y， z 三个方向的通量之和的关系，推出 静止流体中污染物单纯扩散方程。其基本形式为：=D（ + ）（ 3）如考虑两个方向上的扩散，则为： =D（ + ）（ 4）如只考虑一个方向的扩散，则： =D （5）1.3 对流扩散方程以上所述的单纯扩散， 流体是静止的， 但是如果水体在流动， 在x、y、z三个方向上的流速为 u v、w。由于流体的平均运动 而引起的输送称为对流， 对流输送与扩散输送是可以分开又可以 迭

5、加的过程。将对流通量和扩散通量相加即为总输送率（通量），代入单 纯扩散方程（ 3）中，并首先考虑 x 一个方向，通过化简可得：+ =D 或 + ?荤（uC） =D?荤 2C （6）因为，流体的容积守恒，？荤？u=0,则上式可变为：+u? ？荤C=D？荤2C将其写成三元形式，则有：+u +v + 3 =D （ + +）（7）这就是三元对流扩散方程，简称三元扩散方程。通常只考虑 x 方向的纵向流速， y 和 z 方向忽略，则可忽略v 和 3 ， x 方向的扩散项与对流输送项相比很小，因此可以忽略 ， ？化后可得：+u =D（ + ）（ 8）如果在 y 方向（垂向）的浓度梯度较小，可忽略 y 方向的

6、扩 散项 ，则为：+u =D （ 9）以上公式中，（ 6）为一元扩散方程、（ 7）（ 8）为三元扩散方程、（ 9）为二元扩散方程。2 分析推导 由于实际水流多数属于三度紊流，所以采用三元扩散方程 （7）进行比尺推导。公式形式为：+u +v + 3 =D （ + +）假定采用正态模型，设长度比尺为 入l，则入x=入y=入z= X I首先，水流运动满足连续性方程 + + =0 ，很容易由比尺关 系式推出 X u=X v=X 3其次，水流运动满足比尺关系式 =1 以及 =1 。容易得出X u=X 。现将公式（ 7）中原型的有关物理量用比尺转化为相应的模 型物理量，可得：用 去除每一项，可得： 描述统

7、一物理现象的的原型和模型的方程应该相等 10 ，所 以：扩散系数D表示单位浓度梯度下的扩散通量，它表达某个组分在介质中的扩散快慢， 是物质的一种传递性质。 相同的溶质在 相同溶剂中的扩散系数是相同的， 若原型与模型采用相同的污染 物，则扩散系数D相同，X D等于1。则上述比尺关系式可变为： =1 ，所以： 可得污染物的浓度比尺为 X C=X 。3 验证方法3.1 确定扩散方式及其解的形式 上述多种形式的基 本方程都是二阶线性偏微分方程， 从物理学的角度来看， 必须给 定初始条件及边界条件， 才可求解， 从而得出在空间上或时间上 的扩散物质的浓度分布情况。总结起来污染物在水中的扩散方式有以下五种

8、情况：（1）一元瞬时平面源；（ 2）二元及三元的瞬时点源扩散；（ 3）起始 空间分布源；（ 4）?r 间连续源；（ 5）对流扩散。对应于每一 种扩散方式，其都有不同的解。以一元瞬时平面污染源为例， 其污染物添加方式为在水管的 中部瞬时投放污染源，投放点坐标设为 0，采用的方程为一元扩 散方程： =D其解为： C= exp- ，在 t=0 时，在 x=0 处投放的质量为 M；3.2 模型试验的设计与布置按照一定的几何比尺， 水流运动比尺和坡面侵蚀产沙及泥沙 运动比尺布置原型和模型， 采用相同的污染物添加方式， 在对应 的投加点施加污染物， 如氮肥或磷肥， 原型模型施加量可按推导 比尺入C=X施加。采用放水冲刷和降雨径流两种外部自然环境条件的模拟， 在 不同断面位置、不同时间，测量径流中污染物的浓度，将所测数 值代入扩散方程所确定的解中，计算出原型与模型的污染物浓 度，验证污染物运移浓度比尺的准确性。4 结论（1）本研究将环境水力学中污染物扩散方程与相似理论中 比尺模拟的方法相结合， 依据原型与模型满足同