(完整版)高考不等式知识点总结

1、第三章：不等式a b,b c a c（可加性）a b1不等式的基本性质（同向可加性）ab, c dac bd（异向可减性）ab,cda c b d（可积性）ab,c0acbcab,c 0acbc（同向正数可乘性）ab 0,cd0ac bd（异向正数可除性）a b0,0.a b c dc d（平方法则）ab0 anbn(nN,且n1)（开方法则）ab 0na7b (nN，且 n 1)（倒数法则）ab0丄1；ab 011abab（对称性）a bb a（传递性）2、几个重要不等式_2 b2a2 b2 Nb a, b R,（当且仅当a b时取号）.变形公式一ab 丁（基本不等式）a b2、.aba，b

2、 R ,（当且仅当a b时取到等号）.变形公式：a b2、abab2a b 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大）2，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术一几何平均不等式）a b c 3abc（a、b、c R ）（当且仅当a b c时取到等号）32 .2 2a b cab bc ca a, b R (当且仅当ab c时取到等号） a3 b33abc(a0,b0,c0)(当且仅当a 若ab 0,则-a_ bb m 1aa ma2（当仅当a=b时取等号）若ab0,则-a2 （当仅当a=b时取等号）babana ,其中(a b 0, m0， n0）规律:小于1同加则变大

3、，大于1同加则变小.bnbb c时取到等号）1绝对值三角不等式a|ba baab.3、儿个著名不等式平均不等式2后 a bb2 a, b R- 1 ab12 V 2当a 0时，x ax2 a2xa或x a;,（当且仅当a b时取几何平均算术平均平方平均）a x a.a b 2变形公式：ab2a2 b2(a b)22 ；Ctu2幕平均不等式：aj a222an1_ (a1 a2 .nan)2.二维形式的三角不等式：2 2J x1%2 2.X2y21(X1 X2)2 (% y2)2 (X1, y1,X2,y2R).号）.（即调和平均二维形式的柯西不等式 （a2 b2）（e2d2) (ae bd)2

4、 (a, b,e, dR）.当且仅当adbe时，等号成立三维形式的柯西不等式:(ai22a22a3)2 b22 b32) (aQa2b2a3b3)2.一般形式的柯西不等式：（a122 2 2an )(b1b2bn2)（碉a? b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：_ur urur ir设，是两个向量，则urIT,当且仅当是零向量，或存在实数irk，使irk时，等号成立.排序不等式（排序原理）设 a1a2an,bib2bn为两组实数.ei,C2,.,en是bi,b2,.,bn的任一排列，则a1 bna?bn 1. andarCra2C2.anena1b1a2b2. anbn.(反序和 乱序和

5、顺序和)当且仅当a1a2. an或bb2bn时，反序和等于顺序和琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f （x）,对于定义域中任意两点x，X2（x X2）,有 f（3） f（x1） g或2 24、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法） 造法，函数单调性法， 数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：f(U2)2、综合法、f（Xi） f（X2）则称f（x）为凸（或凹）函数2分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构 舍去或加上一些项，如 （a -）22 将分子或分母放大（缩小），如(a2)21111( 2k2k(k 1) k2k(k 1)2 . k1k2

6、 1 2 * 寸1k.k厂1% N，k 1)等.5、元二次不等式的解法求一元二次不等式 ax2 bx e0(或 0) (a 0,b24ae 0）解集的步骤:二判：判断对应方程的根一化：化二次项前的系数为正数的图象五解集：根据图象写出不等式的解集 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上,式不等号的方向，写出不等式的解集.三求：求对应方程的根从右上方依次往下穿（.四画：画出对应函数奇穿偶切）,结合原7、分式不等式的解法：先 移项通分标准化，f(x) g(x) f(x) g(x)f(x) g(x) 0f(x) g(x) 0g(x) 0

7、或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解03、.f(x) a(a 0)f(x)f(x)a(a 0)f(x) 0 f (x) a2f(x).f(x) g(x)g(x)f(x)00 或g(x)2f(x) g(x)g(x)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)28f(x) 0g(x) 0g(x) f (x) g(x) (g(x)0) f(x) g(x) f(x)| g(x)f(x) g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法:当 a 1 时,af(x) ag(x)f (x)规律：根据指

8、数函数的性质转化g(x)当 0 a 1 时，af(x) ag(x)f(x) g(x)10、对数不等式的解法f(x) 0f(x) 0当a 1 时1 loga f(x) loga g(x)g(x) 0 当 0 a1 时1 loga f(x)loga g(x)g(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x)11、含绝对值不等式的解法：定义法aa (aa0)平方法：f(x)g(x)f2(x) g2(x)a (a0)同解变形法，其同解定理有:c aa x a(a0);:x ax a或xa(a 0);规律：根据对数函数的性质转化f (x) g (x)或f (x)g(x) (g(x)0)规律：关键是去掉绝对

9、值的符号12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集13、含参数的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有:讨论a与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小 14、恒成立问题2不等式ax bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a 0时 b 0,c 0;当a 0时 a 0不等式ax2 bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：0.当a 0时 b 0,c0;当a 0时 a 00.f(X) a恒成立f(X)maxa; f(x) a恒成立 f (x)

10、 maxa; f （x） a 恒成立 f（x）min a; f（x） a 恒成立 f （x）min a.15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线Ax By C 0的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C后所得的实数的符号相同所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x0,y0）（如原点），由Axo By。 C的正负即可判断出 Ax By C 0 （或 0）表示直线哪一侧的平面区域 .即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点法二：根据Ax By C 0 （或 0），观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，Ax By C 0 （或 0）表

11、示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.|即：同号上方，异号下方二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共 利用线性规划求目标函数 z Ax By （A,B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z Ax By （ x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值法二：画一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:Ax By 0 ，平移直线10

12、 （据可行域,将直线I。平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 （x, y）；第四步，将最优解（x, y）代入目标函数 z Ax By即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z的几何意义：yAx-为直线的纵截距B B B若B 0,则使目标函数z Ax By所表示直线的纵截距最大的角点处, 纵截距最小的角点处，z取得最小值；z取得最大值，使直线的若B 0,则使目标函数z Ax By所表示直线的纵截距最大的角点处, 纵截距最小的角点处，z取得最大值.z取得最小值，使直线的常见的目标函数的类型：“截距”型：z Ax By;“斜率”型：z上或z y b；xx a“距离”型：zx2y2

13、或 zx2y2;z (x a)2(y b)2 或 z - (x a)2 (y b)2在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化35.利用均值不等式:求最值时，你是否注（一正、二定、三相等）a2 b2 2ab a, b R ; a b 2 . ab; ab注意如下结论：a2b2ab2.ab2aba, b R2ab当且仅当ab时等号成立。2 2 2a b cabbc caa,bR当且仅当abc时取等号。bb man aa b 0,m0， n0,则1 aa mbn b意到“ a, b R ”且“等号成立”时的条件，积但b）或和（a b）其中之一为定 值?

14、如：若x40, 2 3x -的最大值为(设y42 3x 22、122 4、3xx当且仅当3x4，又 x 0,A x2力时y24 3)x又如：x2y1,则2x 4y的最小值为(.2x22y2 2x2y221,最小值为2）36.不等式证明的基本方法都掌握了吗?（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明112213212n1是偶重根1 111 1 11 11 1(1 2 2231214n11 1223n 1 n22 3n 1 n 2 1 n2)37.解分式不等式型a a 0g(x)的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解,x的系数变为1,穿轴法解得结果。)38.用

15、“穿轴法”解高次不等式一-“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始丄23如：x 1 x 1 x 2039. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论女口：对数或指数的底分a 1或0 a 1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)1例如：解不等式|x 3| x 11(解集为x|x241. 会用不等式|a| |b| |a b| |a| |b|证明较简单的不等问题女口：设 f(x) X2 x 13,实数 a满足 |x a| 1 求证：|f(x) f(a)|2(|a| 1)l(x a)(x a 1)|( |x a| 1)2 2证明：|f(x)f(a)| |(x x 13) (a a 13)| |x a|x a 1| |x a 1|x| |a| 1又|x| |a| |x a| 1,a |x| |a| 1 a |f(x)