2020年高考数学复习题：直线的倾斜角与斜率、直线方程

1、 直线的倾斜角与斜率、直线方程基础训练1设直线 axbyc0 的倾斜角为 ，且 sin cos 0，则 a，b 满足()aab1 bab1cab0 dab0答案：d 解析：因为 sin cos 0，所以 tan 1.又因为 为倾斜角，所以斜率 k1.a而直线 axbyc0 的斜率 k ，ba所以 1，b即 ab0.22019 福建四地六校 3 月联考已知函数 f(x)asin xbcos44 x(a0，b0)，若 fx x ，则直线 0 的倾斜角为ax by c f ()a.42b.33d.c.3444 答案：d 解析：由 f f ，知函数 f(x)的图象关于 x x x 4对称， 所以 f(

2、0)f ，所以 ab， 2 a则直线 axbyc0 的斜率为 k 1,b3所以该直线的倾斜角为 ，故选 d.43直线 l 过点 p(1,0)，且与以 a(2,1)，b(0， 3)为端点的线段有 公共点，则直线 l 斜率的取值范围为(a 3，1)b(， 31，) 3c. ，133d. ， 1，)3101，k 30 3，答案：b 解析：因为 k ap2101bp所以 k(， 31，)4已知 a(1,1)，b(3,1)，c(1,3)，则abc 的 bc 边上的高所在的直线方程为(axy0cxy20)bxy20dxy0答案：b 解析：因为 b(3,1)，c(1,3)31所以 k bc1，13故 bc

3、边上的高所在直线的斜率 k1.又高线经过点 a，所以其所在的直线方程为 xy20.52019 安徽皖南八校联考已知直线 l 平分圆 c：x y 6x226y2 0 的周长，且直线 l 不经过第三象限，则直线 l 的倾斜角 的取值范围为()a90，135 b90，120c60，135 d90，150答案：a 解析：圆 c：x y 6x6y20 的标准方程为(x223) (y3) 16，22故直线 l 过圆 c 的圆心(3，3)，因为直线 l 不经过第三象限，结合图象可知 tan 1， 解得 90，135，故选 a.362019 黑龙江哈尔滨第六中学期末若 2，则直线cos x2y1 必不经过()

4、sin a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案：b 解析：令 x0，得 ysin ；令 y0，得 xcos ，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点3 2，sin 0，2直线必不经过第二象限故选 b.72019 安徽五校联考已知点 a(2,3)，b(3，2)，若直线 kxy1k0 与线段 ab 相交，则 k 的取值范围是()34a. ，23b. ， 2，)4c(，12，)d1,2答案：b 解析：直线 kxy1k0 恒过 p(1,1)，k 2，kpapb343 ，故 k 的取值范围是 ， 2，)故选 b.4y1x18点 m(x，y)在函数 y2x8 的图象上，当 x2,5时，的取

5、值范围是()1653a. ，2 b. 0，1 5c. ， d2,46 3答案：c 解析：当 x2,5时，函数 y2x8 的图象是线段， 它的两个端点分别为(2,4)，(5，2)，如图所示y1表示动点(x，y)和定点(1，1)连线的斜率，x1且4(1) 5 2(1)16 ， ，32(1)5(1)y1x11 5的取值范围是 ， .6 3故选 c.9若 a(1， 2)，b(5,6)，直线l 经过 ab 的中点 m 且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_答案：2x3y0 或 xy50 解析：设直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距均为 a.由题意得 m(3,2)若 a0，即 l 过点(0,0)

6、和(3,2)，23所以直线 l 的方程为 y x，即 2x3y0；x ya a若 a0，设直线 l 的方程为 1，3 2因为直线 l 过点 m(3,2)，所以 1，a ax y5 5所以 a5，此时直线 l 的方程为 1，即 xy50.综上，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.10过点 p(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1的直线方程为_ 答案：2x3y60 或 x2y20 解析：设直线方程的截距x y式为a1 1，a6 2则a1 1，a解得 a2 或 a1，x yx y 1，则直线的方程是21 1 或2111即 2x3y60 或 x2y20.11将直线 yx

7、31 绕它上面一点(1， 3)沿逆时针方向旋转15，所得到的直线方程是_答案：y 3x 解析：由 yx 31，得直线的斜率为 1，所以倾斜角为 45.因为沿逆时针方向旋转 15，倾斜角变为 60，所以所求直线的斜率为 3.又因为直线过点(1， 3)，所以旋转后的直线方程为 y 3 3(x1)，即 y 3x.122019 广东湛江质检若关于 x 的方程|x1|kx0 有且只有一个正实数根，则实数 k 的取值范围是_答案：k|k0 或 k1 解析：由题意，知|x1|kx 有且只有一个正实根，画出 y|x1|和 ykx 的图象，如图所示，结合图形，可得 k0 或 k1.强化训练 1直线 l 经过点

8、a(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()15a. 1，1b. ， (1，)215c(，1) ，12d(，1) ，答案：d 解析：设直线的斜率为 k，如图，过定点 a 的直线经过点 b 时，直线 l 在 x 轴上的截距为 3，此 时 k1；过定点 a 的直线经过点 c 时，直线 l 在 x 轴上的截距为3，此 时1k .2由 图 形 可 得 满 足 条 件 的 斜 率 的 取 值 范 围 是 ( ， 1) 12， .2已知点 a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直 线 yaxb(a0)将abc分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是()2 1a(

9、0,1)b. 1 ， 2 22 11 13 2c. 1 ，d. ，2 3答案：b 解析：(1)当直线 yaxb 与 ab，bc 相交时(如图 1)， axb，ya ba1由得 y ，xy1，eb又易知 x ，adb|bd|1 ，a1 1a b a b由 s ，dbe 2 a2a111得 b 0， .21 1a(2)当直线 yaxb 与 ac，bc 相交时(如图 2)，axb，y1b，由得 x a1xy10，faxb，y1b得 x 1a由.xy1，g又知 cm1b，112由 s (x x ) |cm| ，得fcg 2 gf2222b11a21 ，1 (0 0 恒成立，122 b 0， 1 ，1

10、， 2 2 1即 b 1 ， .故选 b.2 23.已知直线 l 过点 a(1,2 3)，且倾斜角为直线 l ：3x 3y200的倾斜角的 2 倍，则直线 l 的方程为(a. 3xy 30)b. 3xy3 30d. 3xy 30c. 3xy3 30答案：c 解析：直线 l 的斜率 k 3，00所以倾斜角 ，302故直线 l 的倾斜角 2 ，斜率 k 3，30直线 l 的方程为 y2 3 3(x1)，即 3xy3 30.42019 山东、湖北名校联考已知 a(2,0)，点 p(x，y)满足 xy 2sin ，xy 2sin ，则直线 ap 的斜率的取值范围44为 () 3 3a. ，b 3， 3

11、3 31 12 2c. ，d2,24xy 2sin ，答案：a 解析：由得 2sin ，x y4sin ，cos ，xy故 x y 1，22即点 p(x，y)是 x y 1 上的点2233如图，过 a 向圆作切线，两切线的斜率分别为 ， ，33 3 3由图可知，k ， ，故选 a.3 352019 湖北天门期末已知三点 a(1，2)，b(a，1)，c(b,0)12a 2b共线，则(a0，b0)的最小值为()aba11c6b10d4答案：a 解析：根据题意，k k ，2ab1，abbc12a 2b1 21 24a b3 3 (2ab)34 7aba ba bb a4a b 11，b a21412

12、当且仅当 b2a，即 a ，b 时等号成立6已知 a(3,0)，b(0,4)，直线 ab 上一动点 p(x，y)，则 xy 的最大值是(a2 b3 c4 d6)x y3 4答案：b 解析：直线 ab 的方程为 1，34设 p(x，y)，则 x3 y，3 34 4xy3y y (y 4y)2234 (y2) 43.2 32即当点 p 的坐标为 ，2 时，xy 取最大值 3. 372019 西安碑林区校级期末已知点(1，2)和 ，0 在直线 l：3axy10(a0)的两侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是() 4 32 5a. ，b. ，3 6 3 2 c. 0， ，d. ， 343 3 答案：c

13、解析：解法一：由 axy10(a0)，得直线 l 过定点(0，1)，斜率为 a.1(2)两条临界直线的斜率分别为1，010(1) 3，3301a 3且 a0.设直线 l 的倾斜角为 ，则 atan .1tan 3且 tan 0， 30 或 0，b0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴、y轴上的截距之和的最小值为(a1 b2)c4 d8答案：c 解析：因为直线 axbyab(a0，b0)过点(1,1)，1 1所以 abab，即 1，a b1 1所以 ab(ab) a bb aa bb a 4，a b2 22当且仅当 ab2 时等号成立所以直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为 4.9过点

14、p(4,1)作直线 l 分别交 x，y 轴正半轴于 a，b 两点，当aob 面积最小时，直线 l 的方程为_x y答案：x4y80 解析：设直线方程为 1，a b4 1因为直线过点 p(4,1)，所以 1.a b124 1aob 的面积 s ab， 12a b4，ab解得 ab16，4 1当且仅当 ，即 a8，b2 时等号成立，a b此时aob 的面积 s 有最小值 8，x y8 2直线 l 的方程为 1，即 x4y80.102019 辽宁沈阳质量监测如图，射线 oa，ob 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 p(1,0)作直线 ab 分别交 oa，ob 于 a，b12两点，当 ab

15、 的中点 c 恰好落在直线 y x 上时，则直线 ab 的方程为_ 答案：(3 3)x2y3 30 解析：由题意，可得 k tan 45oa31，k tan(18030) ，ob33所以直线 l 与直线 l 的方程分别为 yx，y x.3oaob设 a(m，m)，b( 3n，n)，m 3n mn所以 ab 的中点 c，2212由点 c 在 y x 上，且 a，p，b 三点共线，得mn 1 m 3n 2 2 2，解得 m 3，m0n0，m1 3n1所以 a( 3， 3)3 3 3又 p(1,0)，所以 k k ，231abap3 3所以 l ：yab(x1)，2即直线 ab 的方程为(3 3)x2y3 30.11直线 l 的倾斜角是直线 4x3y10 的倾斜角的 一半，若直线 l 不过坐标原点，则直线 l 在 x 轴上与 y 轴上的截距之比为_答案：2 解析：设直线 l 的倾斜角为 ， 4则 tan 2 ，32tan 4即 ，31tan 212所以 tan 2 或 tan .由 20，180)可知，0，90)，1所以 tan .2设直线 l