高数空间曲线及其方程

1、 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 0),( 0),( zyxg zyxf 2 s l 0),(zyxf 0),(zyxg 1 s 例如例如,方程组 632 1 22 zx yx 表示圆柱面与平面的交线 c. x z y1 o c 2 又如又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线c. 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 二、空间

2、曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 将曲线c上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. )(txx )(tyy )(tzz 圆柱螺线圆柱螺线 p 同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向 等速地上升。等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面 222 ayx y z 0 x a x = y = z = acos t bt m(x,y,z) asin t t m 螺线从点螺线从点p q 当当 t 从从 0 2 ， bpq 2叫螺距叫螺距 n . q （移动及转动都是等速进（移动及转动都是等速进 行，所以行，所以z与与t t成正

3、比。成正比。) ) 点点p在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转； 例例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 632 1 ) 1 ( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 将第二方程变形为,)( 4 22 2 2 aa yx故所求为 得所求为 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t )20( t 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 c 的一般方程为 消去 z 得投影柱面

4、 则c 在xoy 面上的投影曲线 c为 消去 x 得c 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得c 在zox 面上的投影曲线方程 0),( 0),( zyxg zyxf ,0),(yxh 0 0),( z yxh 0 0),( x zyr 0 0),( y zxt z y x c c 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222 xoylyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 . 1 1 22 z yx 解解 y x z o 得交线得交线l： 由由 z =0 2 1 1 1 22 z yx y x z o 解解 1 22 yx l 所求投影曲线为所求投影曲线为

5、 1 22 yx 0 1 22 z yx . . . 得交线得交线l： . 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz 由由 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222 xoylyxzyxz z y x c 1 o 例如例如, , 在xoy 面上的投影曲线方程为 0 022 22 z yyx 1) 1() 1( 1 : 222 222 zyx zyx c z x y o 1 c 又如又如, , 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面和锥面 22 4yxz)(3 22 yxz 0 1 22 z yx 在 xoy 面上的投影曲线 )(3 4 : 22 2

6、2 yxz yxz c 二者交线 .0, 1 22 zyx所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . l: x z y 0 ( ) 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 22 22 244 3812 yzxz yzx 将将换换其其成成线线投投影影柱柱面面的的交交 例例 22 22 244 3812 yzxz yzx 将将换换其其成成 l: x z y 0 ( ) 线线投投影影柱柱面面的的交交 消去消去z (消去消去x ) . y2+(z 2)2 = 4 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2 = 4x 例例 l： l: x z y 0 l 转动坐标系，有下页图 (

7、 ) 转动坐标系，有下页图 . 消去消去z (消去消去x ) . y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x 22 22 244 3812 yzxz yzx 将将换换其其成成线线投投影影柱柱面面的的交交 例例 l： l x z y 0 y2+(z 2)2 = 4 y2 = 4x (消去消去z) y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x) y2 = 4x 例例 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 作图练习作图练习 x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的

8、立体图 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 作图练习作图练习 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 作图练习作图练习 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z

9、=6所围成的立体图所围成的立体图 作图练习作图练习 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 作图练习作图练习 4 2 . x 0 z y 6 6 6 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图 作图练习作图练习 a a 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， x z y 0 作图练习作图练习 z = 0 y = 0 x = 0 a a x z y 0 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， 作图练习作图练习 . a a x z y 0 所围立体图所围立体图作出曲面作出曲面 z ,y,x,azxayx， 作图练习作图练习 . a 2222 1 1 zxyxyz围围图图作作出出曲曲面面和和所所立立体体形形 1 1 1 y x 0 作图练习作图练习 z 22 yxz 1 22 zy