【精品】【北京卷】2018年全国统一高考数学(理)试题(含答案解析)

1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. = x x 4, x - ay 2 ，则( )a( ) ( )2,1 a b( )对任意实数 ， 2,1 a对任意实数 ，aa( )c( ) ( )2,1 a d3( )2,1 a当且仅当a 0)pp ( ) ( )( )f x fww 0= cos x -w对任意的实数 x 都成立，则 的最小（11）设函数 f x。若 6 4 值为。（12）若 x, y 满足 x+1 y 2x2y -

2、x的最小值是。，则( ) ( )( ) f 0x 0,2f x（13）能说明“若 f x对任意的都成立，则在 0,2 上是增函数”为假命题的一个函数是。2 x2 y ()x2 y22（14）已知椭圆m :+a2 b2= ，双曲线1 a b 0-m2 n21= 。若双曲线 的两条渐近线与椭圆mnn :的四个交点及椭圆m 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆m 的离心率为；双曲线 n 的离心率为。三解答题（15）（本小题 13 分）1在abc中，a = 7 ， =8，= - 。bcos b7（）求a；（）求 边上的高。ac（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱abc a b c-中，cc

3、平面 abc, d , e , f , g 分别为, ac ,ac bb的aa11111111中点，ab bc=,= .5 ac aa 21（i）求证：平面 bef;ac（ii）求二面角 - 的余弦值；b cd c1（iii）证明：直线 fg与平面 bcd相交.（16） 本小题 12 分）（电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：第二类50第三类300第四类200电 影 部数好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电

4、影的概率；（ 2 ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（ ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“x = ”表示第 类电影31kk得到人们喜欢，“ x = ” 表示第 类电影没有得到人们喜欢（ =k 1,2,3,4,5,6）.写出方差0kkx x x x x x 的大小关系d , d , d , d , d , d123456（18）（本小题 13 分）( )f x)+ +设函数= -+ ，ax2 4a 1 x 4a 3 ex( )( )( )（1）若曲线在点 1, f 1 处的切线方程与 轴平行，求 ；y = f xxa( )f

5、x（ 2） 若在 = 处取得极小值，求 的取值范围x 2a3 （19）（本小题 14 分）已知抛物线c :y2( )p 1,2( )的直线 与抛物线 有两个=2px经过点过点q 0,1lc不同的交点 a ， b ，且直线 pa交 轴于 m ，直线 pb交 轴于 yyn（1）求直线 的斜率的取值范围；l1 1（2）设 为原点，oqm = lqo ，qn = mqo ，求证： + 为定值l m20.（本小题 14 分）() =0,1 ,k 1,2,., n设 为 正 整 数 ， 集 合 = a a =. 对 于 集 合 a 中 的 任 意 元 素na|t ,t ,., t ,t21nk()和 b

6、= (y , y ,., y )，记a =x , x ,., x12n12n( ) 1 ( ) ( ) ( ) x + y - x - y + x + y - x - y + .+ x + y - x - ya bm ,=211112222nnnn( )( ) ( )( ) ( )a a 和 a b 的值；m , m ,当 = 时，若a =n 3b =，求0,1,1i1,1,0 ,( )ii( )a b 是奇m ,当 = 时，设 b 是 a 的子集，且满足：对于 b 中的任意元素a b ，当a b 相同时，n 4,( )数；当a b 不同时，a b 是偶数.求集合 b 中元素个数的最大值；m

7、,( )iii( )a b =0给定不小于 2 的 ，设 b 是 a 的子集，且满足：对于 b 中的任意两个不同的元素a b ，.n,m ,写出一个集合 b ，使其元素个数最多，并说明理由.答案：一. 选择题1.【答案】a2.【答案】d11+ i1+ i 1 1= + i ，2 2z =1- i (1- i)(1+ i)21 i1则 = - ，故的共轭复数在第四象限，z2 21-i故选 d3.【答案】b【解析】根据程序框图可知，开始k =1， s =1，( ) 11执行 = + - s 1= ， k = 2，此时k 3不成立，循环，1+1 2111 ( ) 125s = + -1=， k =3

8、，此时k 3成立，结束，21+ 2 65输出 = s6故选 b 4.【答案】 d【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以 为首项，f为公比的等比数列，122( )故第八个单音的频率为 f 2 8-1 = 2 f 12127故选 d 5.【答案】c【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，pcd 在正方体中，pad, pab均为直角三角形，4 pb=3, bc = 5 , pc = 2 2 ，故pbc不是直角三角形故选 c6.【答案】c【解析】充分性： -=+ ，| a 3b | | 3a b | a | -6a b + 9 | b | = 9 | a | +6a b+ | b |，2

9、222又= = ，可得 = ，故 .| a | | b | 1 a b 0 a b必要性： ，故 = ，a b a b 0所以- + ，=+ +| a | 6a b 9 | b | 9 | a | 6a b | b |2222所以 -=+ | a 3b | | 3a b |7.【答案】c()q q ，所以 点的轨迹是圆。p【解析】：p cos ,sin直线恒过( )点。0,2x - my - 2 = 0转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.8.【答案】：d 2 -1 03( )2,1 a【解析】：若 ，则+ 。2a 1 4a22 - a 23( )2,1 a3( )2,1 a

10、 选 d则当 时， ；当 时，aa22二.填空题5 ( )= 6n -3 nn9答案：an+a = 3a = 3 =a 31d=61= a + d解析：由题知，设等差数列公差为 d ，所以： a，即 ，解得 ，1a + d+a + 4d=3621a = a + 4d1151( )( )。+ n -1 d = 6n -3 nn所以 a =an1+10答案：1+ 2r q r qcos+ sin = a解析：+ y = a直线方程转化为 x即 x+ y - a = 0rq= 2cosrr q= 2 cos2+ y = 2x (x -1) + y =1圆的方程转化为 x2即、21- a222=1直线

11、与圆相切=1 2 a 0a =1+ 2解得 a211.答案：3pppp p( )( )pww= fmax=1，即cos-=1，所以- = 2k k z解析：由题知： f x， 4 46 462 ( )32+ k z ，w 0= 0时，w=解得:w =8k，所以k。min 312答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即x +1 y 2xyx 1= 2y - x目标函数 z如右图 在a (1,2) 处取最小值z=3z()min( )= -x +3x 答案不唯一13.答案： f x2，6 ( ) ( )解析：函数需要满足在 0,2 上的最小值为 f 0 ，并且在 0,2 上不单调。选取开口向下，对称

12、轴在 0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确。14. 【答案】：- ，3 12( )c= =a【解析】：设正六边形边长为 ；根据椭圆的定义 =3 1 t+， 2 = 2 ，c t e3 1-t2a椭圆b， =ac双曲线的渐近线方程为 = ，所以e=。=2y3x3双曲线a三.解答题15. 【解析】14 37（）abc中，cos b= - ，所以b为钝角，1 cos2b= -=；sin b7a sinb3ab由正弦定理：=sin a sin b，所以sin a=，b2p2p所以 = + p ；或者 =2k ,k z+ p ；a2k ,k za33p又中，b为钝角，所以a为锐角，所以 = 。ab

13、c（）a3p133 314abc中，sinc sin(a b =sin b+ = sin=+ ） （）=，b+cosb3 22111三角形 abc的面积=absin c 6 3=，设 ac 边上的高为 h ，= =，所以ssbh8 h 6 3222abcabc3 33 3=，即 ac 边上的高为。h2216.【解析】（i）证明： ab= bc ，且 e 是 ac 的中点， ac be,在三棱柱abc a b c-中， e , f 分别是 ac ,的中点，ac11111ef cc1cc 平面 abc，1 ef 平面 abc, ac 平面 abc， ef ac , ef , be 平面 bef ,

14、ef be = e ac 平面 bef.（ii）由（i）知， ef ac ， ac be， ef eb,以 e 为原点， ea, eb, ef 分别为 轴， 轴， 轴xyz建立如图所示空间直角坐标系，7 ( ) () ( ) (), -b 0,2,0 c 1,0,0 d 1,0,1 c 1,0,2则有，,-1()( )bc = -1,-2,0，cd = 2,0,1(x, y,z)，的法向量 =n设平面bcd n = 0- -x 2y 0=bc,即，2x + z = 0cd n = 0() = - - ，.n2, 1, 4( )易知平面cdc 法向量 m = 0,1,01m n-121cos m

15、,n= -，m n21 121由图可知，二面角 - 的平面角为钝角，b cd c121二面角 - 的余弦值-.b cd c211（iii）方法一：( ) ( ),f 0,0,2 g 0,2,1, fg = 0,2, -1)( )的法向量n = 2,-1,-4 ，平面设直线bcd与平面bcd的夹角为q ，fg-2 + 4fg n2sinq = cos fg,n =0 ，fg n5 215 21q 0直线fg方法二：假设直线与平面bcd相交.与平面bcd平行，fg设cd与 ef 的交点为 m ,连结 bm ，平面,且平面平面bcd bm=,fgbb fe1bb fe1fgbgbm,fm四边形bmf

16、g为平行四边形，8 假设不成立，=,易知fm bg，fm bg直线 与平面fgbcd相交.17.【解析】（1）由表格可知电影的总部数获得好评的第四类电影+ +140 50 300 200 800 510 2000+=200 0.25 50=501设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件 a ,则=2000 40p(a)（ 2 ）由表格可得获得好评的第五类电影800 0.2 160=第五类电影总数为800 未获得好评的第五类电影-=800 160 640第四类电影总数为200 未获得好评的第四类定影200 50 150- =设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得

17、好评为事件bc c + c c171111则 p(b) =150 16050 640c c11100200 800（ ） x x x = x x x3 dddddd14253618.【解析】（1）函数定义域为 r ，x( )( ) = f (x) 2ax 4a 1 e-+ + -+ + ax2 4a 1 x 4a 3 e x x( )= e ax - 2a +1 x + 2x 2()( )= e ax -1 x - 2 ，x( )( )若函数在处切线与 轴平行，则x1, f 1( ) ( ) = -f 1- = ，即 =1e a 1 0a( )()ax2 2a 1 x 2 e( )( )（2）

18、由（1）可知 f x= -+ = -x 2 ax 1 e-，xx( )当 = 时，令 = ， = ，a 0f x 0 x 2( )( )x-,2f x( )f x极大值z不满足题意；( )f x 0 x 21当 时，令 a 0= ， = 或 = ，xa1当 时，即 时，a 011( )( )无极值点；f x1）当 = ，即 = 时， ，函数2af x 0a2112）当 时，2aa2( )+x122,2a( )f x+0-+9 ( )f x极大值极小值zz满足题意；113）当 ，即 x 2a219.【解析】（1）由已知可得 =4 2p，所以抛物线 的方程为 =4xcy2令，a(x , y ) b

19、(x , y )，1122直线 显然不能与 轴垂直，令其方程为 = + ，y kx 1lxy24x带入 = 整理得 y = k +1，y24即-+ = ky2 4y 4 0k 0所以由已知可得，解得 0( ) ( )所以直线 的斜率 的取值范围为 -0,1lk,044（2）由（1）知 + = ，= yyy y1 2kk12yy22而点，a(x , y ) b(x , y )均在抛物线上，所以 =， =2xx144112212因为直线 pa与直线 pb与 轴相交，y则直线 pa与直线 pb的斜率均存在，即 - ， - y2y212y - 2 y - 2 4(y - 2)4因为 k =pa=，11

20、1x -1yy - 4y + 222-1111144所以直线 pa 的方程为 y - 2 =(x -1)，y + 2142y2y令 = ，可得 y = 2 -x 0=，即 m (0,) 11y + 2 y + 2y + 2m1112y同理可得 n(0,) 2y + 211 2 + y-1= -l ，所以 =l 2 - y2y而由qm= lqo可得，11y1+ 22y11 2 + y-1= -m ，所以 =同理由qn = mqo 可得，22y + 2m-2 y22+ y 2 + y(2 + y )(2 - y ) + (2 + y )(2 - y )1 1 2所以 + =l m+=1212212 - y 2 - y(2 - y )(2 - y )1218288 -8 -4 -8 - 2y ykk= 2 124 + y y - 2(y + y )4444