导数基础综合题一

1、导数基础综合题一 学校:姓名：级：考 、单选题 1 .设函数?= ?+ (?- 1)?+ ?,?若?为奇函数，则曲线?= ?在点(0,0) 处的切线方程为 A. ?= - 2? B. ?= - ? C. ?= 2? D. ?= ? 二、解答题 2 .已知函数？ = e?- ?. (1 )若？?= 1,证明：当? 0时，? 1 ; (2)若？在(0,?+药)只有一个零点，求 ？ 3 .已知函数? = ? + ? In? (1 )若？?= 1,求曲线？?= ?在点(1,?1)处的切线方程； (2)若函数？?在1,3上是减函数，求实数？的取值范围； 4 .已知函数？ = In?- ? ? ? (1)

2、 求函数?的单调区间； (2) 当? 1时，函数？= (?+ 1)?- I n?的图象恒不在？轴的上方，求实数？?勺 取值范围 2烏 5 .已知函数 f (x)= a Inx + x (a 0). (1)若曲线y = f (x)在点(1 , f (1)处的切线与直线 x- 2y = 0垂直，求实数a的值； (2)讨论函数f (x)的单调性. 6 .已知函数？ = (?- 1) - ?i? (1)求函数?的单调区间； (2)若? 0对？1 , + R)上恒成立，求实数 a的取值范围. 7 已知函数? = 3? + 1?- 1 . (1) 求函数?在点(1 , - 6)处的切线方程； (2) 若直

3、线?= ?与？的图象有三个不同的交点，求m的范围. 1 2 8 .已知函数 f x 4lnx x 5x . 2 1求f x的极值； 2若f x在区间2m, m 1上单调递减，求实数 m的取值范围. 9 .已知函数？ = ?+ 1)1 n?7 ?+ 1(? ? (I )当?= 2时，求函数?在点(1,?1)处的切线方程； 1 (n)当?2时，求证：对任意的 ? 1,? 0恒成立 ? 10 .已知函数？= 请(?工0). (1) 求函数?的单调区间； (2) 当？?= 1时，若存在？? 0，使in? ?成立，求实数？的取值范围 11 .已知函数？= e?+ ?- ? (1 )当?0时，求函数?的极

4、小值； (2)当？? 0时，若函数?在区间1, + R)上是增函数，求？的取值范围. 12 .已知函数? = ?n?+ 1? - 2?. (1) 讨论?的单调性； (2) 若?有两个极值点？，？，证明：？) 0,?2.7) (1) 若函数?在区间2, + g)上为增函数，求实数 ？的取值范围； 111 (2) 求证：对于任意大于 1的正整数？都有 ? - + 3 + ? + “ 2 3： 参考答案 1 . D 【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得？?= 1，进而得到？的解析式，再对？ 求导得出切线的斜率？进而求得切线方程 详解：因为函数？是奇函数，所以？?- 1 = 0，解得？= 1，

5、所以？ =？+？ ？ ？ = 3？ + 1， 所以？ 0） = 1,?？0） = 0， 所以曲线？?= ？在点（0,0）处的切线方程为？7 ?？0）= ？ 0）？ 化简可得？?= ？故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线？?= ?在某个点（？,？）处的切线方程的问题，在求解 的过程中，首先需要确定函数解析式， 此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项， 偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得？ ？，借助于导数 的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果 ? 2 . （ 1）见解析（2） 4 【解析】分析：（1）先构造函数? = （?+ 1）?- 1，再求导函数，根据导

6、函数不大于 零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，（2）研究？?零点，等价研究？（？ = 1 - ? ?勺零点，先求？（？导数：？ ？ = ?- 2） ? ?这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x与2，当? 0, ?（ ?没有零点；当？ 0时，?（ ?先减后增， 从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值. 详解：（1 ）当？?= 1 时，? 1 等价于（？+1）?-1 0. 设函数? = （?+ 1）?- 1，则? ? = -（ ? - 2?+ 1）?= -（ ?2 1）2? 当？工1时，？ 1 3 16?3, 1 亠 4 = 1 - 0 (2

7、?)4? 故?( ?在(2,4?有一个零点，因此？(？在(0, + 8)有两个零点. 综上，?在(0, + 8)只有一个零点时，？?= ?. 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 (2) 分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解 (3) 转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 3 . (1) 2?- ?= 0. 【解析】分析：(1 )由？?(1) = 2和？1) = 2可由点斜式得切线方程; 12? + ? 1 0在1,3 上恒成立, (2)由函数在1,3上是减函数，可得？?(？ = 2?+ ?- =” ?(? =

8、 2?+ ? 1,由二次函数的性质可得解. 详解：(1 )当？?= 1 时，？ = ? + ?- In? z 1 z 所以？?(？ = 2?+ 1 - ? ?(1) = 2,又？?1) = 2 所以曲线？?= ?在点(1,?1)处的切线方程为2?- ?= 0. (2)因为函数在1,3上是减函数， 所以？?(？ = 2?+ ?- ?= 2? 0在1 ,3上恒成立. 做法一： ? (1) v o?w - 1 令?(?= 0+? (2) 2,+8). ,有(3) V 0,得?v-号 故?V -； 实数？的取值范围为(-8,- ? 3 做法二： 即2?+ ? 1 v 0在1 ,3上恒成立，则？?v ?

9、- 2?在1,3上恒成立， 令?(?= ?- 2?显然？(？在1,3上单调递减， 17 则?V ?(?min = ?(3)，得? 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ?min 0，若？ 0恒成立？ ？max ?恒成立，可转化为？min ?max (需在同一处取得最值) 1 1 4.( 1) 当?v 0时,?增区间为(0, + ), 当? 0时，递增区间为(0*，减区间为(匕+8); 【解析】分析： ( 1 1 ? (1 )求导可得？?(？= ?- ?- 1分？?W 0和? 0两种情况讨论可得函 数的单调区间. (2 )由题意得？?？-?)? ?- 1)，且？=?)

10、?-?；?- 1) 0, / 1 - ?(? - ?- 1 9999 ?= ? * 当？?W 0时， 则?(? 0，所以?在(0,+a)上单调递增； 当？? 0时， 则由？?(？ 0得 0 ? ?由？?(？ 1, 1 1 所以?在(0,?)上单调递增，在(？?,+a)上单调递减. 综上，当？W 0时，？的单调递增区间为(0, + a)； 当？? 0时，？的单调递增区间为(0,，单调递减区间为(,+a). (2 )由题意得？= (?+ 1)?- In ?= (?+ 1)(l n?7 ? ? - I n ?= ?n ? ?彳？ - 1)， 当? 1时，函数?的图象恒不在？?由的上方, ?)? ?-

11、 1) 1)， 则?(? = In?+ 1 - 2? 令?( ?= In?+ 1 - 2? / 1 1- 2? 则？(？= ?- 2?= 若？?W 0,则？ (？ 0,故？?(？在1,+a)上单调递增, ?(? ? 1() = 1 - 2?0 ?在1,+a)上单调递增， ? ?1)= 0, 从而？m?7 ?(? - 1) 0，不符合题意. 若 0 ? 0, ?(? 0 在(1,2?)上单调递增, I ?(? ?1) = 1 - 2? 0, ?在1,2?上单调递增， ? ?1)= 0, 从而在1,2?)上？?n?- ?彳？ - 1) 0，不符合题意； 若? 1，则？ (？ 0在1，+m)上恒成立

12、， ?(?在1, + m)上单调递减， ?(? ?(1) = 1 - 2? 0, ?在1,+m)上单调递减， . ?三？1) = 0 , 从而？巾？7 ?- 1) 0时,f(x)在(a, + m)上单调递增，在(0,a)上单调递减.当 a 0)，由题意得：f ( 1) = - 2 , 解方程求出即可; (2 )求出 f(x) = J , (x0),讨论a 0 时，a v 0 时的情况，从而求出函数的单调区间；(3 )由(2 )得，当a (- ，0 )时，函数f ( x) 的最小值为 f (- 2a)，故 g (a) =f (- 2a)，得 g (a) =ln (- 2a)- 2，得 g (a)

13、在 ia闫 (-m， - I： ：le2)递增，在(-le2，0)递减，从而 g (a)最大值=Le2，进而求出g (a) 的最大值. 详解： a f(x)的定义域为x|x0 . f (x)=，-+ 1 (x0). 3 根据题意，有f (1) = 2,所以2a2 a 3 = 0,解得a= 1或a= 解： f (x)=+1 = 痔 =(x0). 当a0时,因为x0, 由 f (x)0 得(x a)(x + 2a)0,解得 x a ； 由 f (x)0 得(x a)(x + 2a)0,解得 0 xa. 所以函数f(x)在但,+叼上单调递增，在(0,a)上单调递减. 当a0, 由 f (x)0 得(

14、x a)(x + 2a)0,解得 x 2a ；由 f (x)0 得(xa)(x+ 2a)0,解得 0 x0时,f(x)在(a,+ )上单调递增，在(0,a)上单调递减.当a 0，解 自变量的取值范围时要对参数 a进行讨论，很明显由f （x）以及x0，可分a切 和a 0 来讨论得解. （2）由f （x）为对x 1，+ g）上恒成立可分a 1来讨论转化为函数的最小值大 于等于0的问题来求解. ? ? ? 详解：解：（I）? ?= 1 - ?= ?（? 0） 当? 0时，？ = -?= 0，?= ? ?在（0，?上为减函数，在（？，+ g）上为增函数 -, （n）? ? = 1 -=， 当? ?1）

15、= 0恒成立，则? 1时，在（1，?上单调递减，在（？，+ g）上单调递增， 所以？（1，?时，？ 0恒成立矛盾，故不成立 综上：? 1 . 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单 调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量， 构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 5 7 . （1） 12?- 6?- 13=0 （2） （- 1，- 6） 【解析】分析：(1 )根据题意，对f (x)求导可得f (x),从而可得f ( 1 )的值，即可 得函数f ( x)在点(1，- 1 )处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可

16、得答案； (2 )对f (x)求导可得f (x)，借助导数与单调性的关系分析可得f (x)的单调性和极 值，分析直线y=m与f (x)的图象的位置关系即可得答案. 详解：(1)由已知得：？=?+? ?( = 2 1 则切线方程为：？?+ 6 = 2(?- 1) 即 12?- 6?- 13=0 (2)令? ?=?+ ?= 0解得：？?= - 1，?= 0 当？? 0 当-1 ? 0时，？ ？ 0 时，？ ? 0 5 ?的极大值是？?- 1) = - 6 ?的极小值是?0) = - 1 5 所以要使直线?= ?与？的图象有三个不同的交点，m (- 1，- 6) 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常

17、用的方法和思路 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解. 91 8 . (1)极大值为 ，极小值为8ln2 12 ； (2) ， 22 【解析】试题分析：(1 )令f x 0，求根后，结合函数单调性即可得极值； (2)由f X 0,得减区间1,4，所以2m, m 1是1,4子集，列不等式组求解即 试题解析： 4x 1 x 4 1 f xx 5 xx 1和4别是f X 0的两根， 9 根据单调

18、性可知极大值为 f 1 一，极小值为f 481 n2 12. 2 4 x 1 x 4 2由上得 f x x 5 (x 0) x x 由f X 0 1 x 4 故f x的单调递减区间为 1,4， 2m 1 2 m m 1 ， m 1 4 1 解得：m的取值范围：， 2 点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间， 只需令导数大于 0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增， 只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即 可，或考虑为单调区间的子集 注意等号！ 9 (1) 3?- ?- 1 = 0 (2)

19、见解析 【解析】分析：(I )当a=2时，写出f (x)的表达式，对f (x)进行求导，求出x=1处 的斜率，再根据点斜式求出切线的方程； (n )由题意可知，对任意的x 1 , + X),使f (x)为 成立，只需任意的 x 1 , + X), f (x) min丸，从而求出a的取值范围。 详解： / 2 (I )由? = 2(?+ 1)ln?- ?+ 1 得？?(？ = 2ln?+ ?+ 1 , 切点为(1 ,0)，斜率为？?(1) = 3， 所求切线方程为：？= 3(?- 1)，即3?- ?- 1 = 0； 1 1 (n )证明：当?2时，？ = ；(?+ 1)1 n?- ?+ 1(?1

20、) 欲证：？ 0,注意到？1) = 0，只要？ ?1)即可 , 1 ?(? = ?Jn?+ 刃+ 1) - 1(?1), 1 1 1 ? 1 令？= ln?+ ?+ 1(?1)，则？?(？ = ?- =专0(?1) / 1 知？?在1, + g)上递增，有？1)= 2，所以？?(？2?- 10(?2) 可知？在1, + g)上递增，于是有？1) = 0 1 综上，当？2时，对任意的？1,?0恒成立. 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数?( ?= ?- ? 根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式( 2) 根据条件，寻找目标函数 一

21、般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或 利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数 2 10 . (1 )见解析(2) ? ?- 1 【解析】分析：(1)由题意，求得导函数 ？?(？，分？? 0讨论，即可得到函数的单 调区间； r,.亠斗2ln? ?2ln? ? (2)当？?= 1 时，由 ? ?成立，等价于？? 0)， 存在？? 0,使In? ?成立，等价于? ?利用导数得到？的单调性和最值， 即可求解？的取值范围. 详解：(1 )函数的定义域为？求导函数可得?(? = 一 ？? 2)， 当? 0，可得？? 2；令？?(？ 0，可得 0 ? 0 时，令？?(？ 0,可得？?

22、2;令？?(？ 0，可得 0 ? 0), In ? ?成立，等价于？? 0), 存在? 0,使 in? ?成立，等价于？? ? ?(? = 2(：；n?,当 0 ? 0 ；当? ?时，？?(？ 0 , ?在(0?, ?上单调递增，在(？爲？? 8)上单调递减 - ?max = ?= ?- 1 ? 0，？?(？= e?+ 2? 1 在上是增函数， 又?(0) = 0,， i 时，J 1 时，_ ， -函数在 ：I上是减函数，在.上是增函数， 2 为函数?的极小值点， 函数?的极小值为?0) = 1 (2) 函数?在区间1,+ 8)上是增函数， ?(?= e?+ 2? 1 0在1,+8)上恒成立，

23、 1 ? /2?二?在1,+ R)上恒成立， 1- e?- ?*e? 1 设?= -(? 1)，则？?(？= -2(? 1), 设?( ?= - ?+ e?- 1(?1)，则？(? = - e?- ?+ e?= - ? 0， .?(?在区间1,+8)上是减函数， ?(? ?(1) = - e + e- 1 = - 1 0，?(? 0， ?在区间1,+R)上是减函数， .? 1 - e，又？ 0，.孑 w ? 1 时，?在(0,?- ?- ?,(?+ ?- ?+s)上单调递增； 在(?- ?- ?+ ?- ?上单调递减；0 w ? 1时，?在(0,+s )上单调递增； 当? 1或? 1,且？,？

24、(？ 1，可化简？)= ?n? + 1?2- 2?= ?n?-牛？2 - ?令？(？ = ?n?7 2 ? - ? 1)，进而求导求最值 即可证得. 详解：(1) ?(? = ?+ ? 2?= 令？= ?- 2? ? ?= 4?乡-4?= 4?2 1)，对称轴为？?= ? 当0 w ?w 1时，？?(？ 0，所以？?在(0,+m )上单调递增 当？? 1或? 0 .此时，方程?- 2? ?= 0两根分别为？= ?- V?- ? ? = ?+ V? - ? 当? 1 时，0 ? 0 ,当?(?,?) , ?(? 0,所以?在(0,?- V? - ?,(?+ V? - ?+s)上单调递增，在(?-

25、 %?- ?+ V? - ?上单调递减 当? 0时,? 0 ?，当?(0,?)时，?(? 0,所 以？?在(0,?+ S? - ?上单调递减，在(?+ S? - ?+s)上单调递增. 综上，当？? 1 时，？在(0,?- V? - ?,(?+ ? - ?+8)上单调递增； 在(?- V?- ?+ V?- ?上单调递减；0 ? 1时，？在(0,+8)上单调递增； 当? 1,且？,？(？ 1 寸?2- ? 于是？)= ?n?+2?2 - 2?= ?n? + 扌？2 - (?+?)? =?n?+ 1?2-(五+ ?)?= ?n?- 令?(?= ?n?- 1?- ? 1), / ? ?(?= ?- ?0, 所以在？(？在(1,+ g)上单调