高一数学平面向量及其应用

1、 平面向量及其应用2.向量的表示：用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量；0单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作ab.= b相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若a 与b 相等，记作a.-a相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量a 的相反向量记为 .( ) ( )， a+ - = - + = 0aa a向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则：+ b = b + a+ + = + +；结合律： a b c a b c .6.向量加法的运算律：交换律

2、：a-bba7.向量减法：三角形法则即a8.向量的数乘的定义：一般的，实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向规定如与 ，方向相反，当llllllllla a与 方向相同，当 0 时，l0l0 时， a .实数 与向量a 相乘，叫做向量的数乘.l(m)a (lm)a=9.向量数乘的运算律：（1）（结合律）；（2）(l + m)a = la + ma （分配律）；（3）l(a + b) = la + lb（分配律）. 0 b10.向量共线定理：一般地，对于两个向量a（ a 0那么b 与 a 是共线向量，反之，如果b 与a （ ab = l a .第 1 页 共 11 页 11.

3、平面向量基本定理：如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向12rrll量 a，有且只有一对实数l ， ，使a= e + e .我们把不共线的向量e ，e 叫做表示这个平面12112212内所有向量的一组基底.12.向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 作为基底，j任取一个向量a ，有且只有一对实数 x、y，使得a记作：a =（x，y）.13.向量坐标运算：已知a，112212121212a = x y .两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积11的坐标等于用这个实数乘原来向量的相

4、应坐标.= (x , y )= (x , y )（a ），如果 ，那么014.共线向量坐标表示的一般性结论：设a，b1122x y - x y = 0 ；反过来，如果 x y - x y = 0 ，那么a b .122112 0 a = b x y - x y = 0.结论（简单表示）：向量a 与b 共线b1215.向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作oa =a ，ob =b ，则aob = （0180）叫做向量a 和 的夹角 特别地，当 时， 与 同向；当b.=0=180时， 与 反向；当 =90时，则称向量a 与b 垂直，记作a b .16. 平面向量数量积：已知两个非零向量a 和b

5、 ，它们的夹角是 ，我们把数量|a |b |cos 叫做向量a和b 的数量积，记作a b ，即：a b =| a |b |cos.向量数量积的运算律：设向量a ，b ，c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a b =b a ；（交换律）； （2）（a ） b = a （b）=（a b ）= a b ；（结合律）；（3）（a+b ） c = a c +b c .（分配律）.17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a = （x ，y ），b = （x ，y ），则a b = .x x y y+11221 21 2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.第 2 页 共 11 页

6、 （1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.（）1解析： a 项，|a|1，|b|21 11212ab2 ,e是夹角为 p 的两个单位向量，3121212为.15 e k e e( - 2 )( + ) = - 2 + (1- 2 ) = 0解析：由 ak.24121212

7、121323a. a bb. a b3545c. a bd. a b答案：b2323 从而cdadb （ab） a b.故选 b.第 3 页 共 11 页 解析：|ab| a a2b22ab 1222212cos 60 3.oa oc的夹角为 120， 与 的夹、，其中| oc |= 2 3 ，若oc = loa + mob，.cbao的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，得平行四边形的边长为 2 和 4，vv= (1,0),b = ( 2,1).vv求；vvvv当 k 为何实数时，k a平行， 平行时它们是同向还是反向？vvv解析：av= （1，0） + 3（2，1） = （ 7，3）

8、 ， a b = 72 + 32 = 58 .vvk a= k（1，0）（2，1）=（k2，1）.vvvv+ 3=（a b ），即（k2，1）= （7，3），.-1 = 31-3vvvvvvvv2 +a 与b 的夹角为 ，若向量 a kb 与 a b 垂直， 求 k.3vvv1b =| a | b | cos32vvvvvvvv2a + kb ( + )） a b =0垂直， （2第 4 页 共 11 页 例8.已知平面向量，（0，）满足|1，且与的夹角为120，则|的取值范围是_.3解析：如图，设abc，由正弦定理知，|，当 90时取最大值.3 ad, ad = dc = 1, ab = 3

9、p例题 9.如图，在直角梯形 abcd 中， ab，动点 在a b+，则 的取值范围是ab(a,b r)（含边界）， 设 ap.答案： 1,3解析：建立 xay 坐标系，则 ad. =x3axabap，.b3= yxx.334a b 1,+ 故3 第 5 页 共 11 页 )dabc= - 2内一点，满足 ap x y ab yxac x y r .则 的取值范围是.( )2,4答案：解析：如图.若点 p 在 bc 边上， 且 ap.= ab + bp = ab + ubc = ab + u ac - ab = 1-u ab + uac+ y =1 p当点 p 在 bc 边上时， x.点 在三

10、角形内时，0( ) ( )从而有，.0，| 5a - b |=1.已知向量 和 的夹角为 120 ，.| a |= 1，| b |= 3dabc内的一点，aob = 150 ，boc = 90 ，设oa = ,= ,3.已知点o是00a = 2, b = 1, c = 3, 试用 a,和b表示c.4. 求向量a =（1，2）在向量b =（2，2）方向上的投影.= (2, -4) b = (-1,3) c = (6,5) p = a + 2b - c，则以a ，b 为基底，求 p .5.已知 a，6. 已知两单位向量a与b 的夹角为1200，若c = 2a - b,d = 3b - a，试求c

11、与d 的夹角.add 的坐标.8.已知向量a.若向量c 满足）第 6 页 共 11 页 7 7(- ,- )3 97 7(- ,- )9 3( , )( , )b.c.9 33 9、2e k e ，cb e 3 e ，2e e ，若 a、b、cdab12121212d 三点共线，求 k 的值.222222 .求证：o 点是 abc 的垂心.中，过重心g 的直线交边于 ，交边 ac 于q ，设 apq 的面积为 s ，abcabp1pq=，则（），p+ qs.1s2第 7 页 共 11 页 与以点 为中点，问 pq bc 的夹13.如图，在直角abc 中，已知 bc的线段pqa的值最大？并求出这

12、个最大值.1| 5a - b | = (5a - b) = 25a2-10a b + b225 1 10 1 3 ( ) 3 49 - - + =1.解析：，22222故| 5a - b |= 7.3.解析：以 o 为原点，oc，ob 所在的直线为 轴和 轴建立如图所示的坐标系.xy(，00b 0，-1，c 3,0易求，设( )( ) ( )121212 ，.1 2第 8 页 共 11 页 1a = - 3b - c .3a b10=10a b1025 a 在b 方向上的投影=a cos=）=102=5.解析：令c，则.，232m 172l - m = 6= + 2 -， p a ba-17

13、= -b2=6.解析：由题意， a，a02= 4a - 4a b + b = 7，c = c c = (2a - b)(2a - b)22 c = 7 ，同理可得 d = 13.172而ca，22.7.解析：设点 d 的坐标为（x，y），ad 是边 bc 上的高，adbc， ad bc又c、b、d 三点共线， bc bd又 ad =（x2，y1）， bc =（6，3）， bd =（x3，y2）- - 6(y - 2) + 3(x - 3) = 09解方程组，得 x= ，y=712点 d 的坐标为（ ， ）， ad 的坐标为（ ， ）.5555()( )77-3(1+ m) = 2(2 + n)

14、,则有93，如图所示，第 9 页 共 11 页 以 pa、pe 为边作平行四边形 paoe，则，由正六边形的性质可知，由正六边形的性质可知，且 f 点在 pc 的延长线上.由正六边形的性质还可求得，方向与10.解析： bd cd cb （2 e e ）（e 3e ）e 4e ，121212a、b、d 三点共线，存在实数 ，使 ab bd ，2 e ke （e 4e ）1212于是可得l11.证明：设oaa，ob b，oc c，则 bc cb，ca ac， ab ba.|oa |2| bc |2|ob |2|ca |2|oc |2| ab |2a2（cb）2b2（ac）2c2（ba）2即 cbacba，故 ab oc （ba）cbcac0.bc oa（cb）acaba0， ab oc ， bc oa ，= a ac = b ap = a aq = bg12.解析：设 ab故 ag，abc121= (a +b)，311= ag - ap = ( - )a + b=-， pq aq ap=31321第 10 页 共 11 页 11= pg ，即因为 pg 与 pq 共线，所以 pq ll( l ) l ( l l ) 0- + a + - b =，331121l( l ) l- = -l +