基于MATLAB的光纤光栅耦合模理论及其谱线特性综述

1、 研究生课程论文封面 课 程 名 称 光 电 子 学 论 文 题 目 基于MATLAB的光纤光栅耦 合模理论及其谱线特性 授 课 学 期 2013 学年至 2014 学年 第 1 学期 学 院 物理科学与技术学院 专 业光 学 学 号 2012010887 姓 名王 璐 玮 任 课 教 师秦 子 雄 交 稿 日 期 2014年 01月 01日 成绩 阅读教师签名 日期 广西师范大学研究生学院制 基于 MATLAB的光纤光栅耦合模理论及其谱线特性 0. 前言 光纤光栅是近二十几年来迅速发展的光纤器件，其应用是随着写入技术的不 断改进而发展起来的，逐渐在实际中得到应用。 1978 年，加拿大通信研

2、究中心的 Hill 等发现纤芯参锗的光纤具有光敏性， 并 利用驻波干涉法制成了世界上第一根光纤光栅。光纤的光敏性主要是指光线的折 射率在收到某些波长的激光照射后，会发生永久改变的特性。通常情况需要紫外 光照射，折射率会向着增大的方向改变。具有光敏性的光纤主要是纤芯参锗的光 纤，受到紫外光照射后，纤芯折射率会增加，而包层折射率不变。 在光纤光栅的发展过程中，参锗光纤的载氢技术具有重要意义。参锗光纤本 身具有光敏性，单当要求折射率改变较大时，相应就要提高纤芯的参锗浓度，这 会影响光纤本身的特性。 1993 年，贝尔实验室的 Lemaire 等用光纤载氢技术增强 了光纤的光敏性，这种发发适用于任何参

3、锗的光纤。通过光纤的载氢能够将在不 增加参锗浓度情况下，使光纤的光敏性大大提高。 在平面介质光波导中，布拉格光栅的应用比较早，主要应用于半导体激光器 中，而后出现了光纤布拉格光栅，随着光纤光栅写入技术的成熟，光纤光栅在光 通信和传感中得到广泛应用，特别是在光通信领域。光纤布拉格光栅和长周期光 纤光栅的特性和应用有许多不同之处，也有类似的地方，都可用于通信和传感等 领域。 光纤布拉格光栅的周期一般在微米以下，根据耦合模理论，这样的周期表现 为使向前传播的纤芯模与向后传播的纤芯模之间发生耦合，结果在输出端表现为 很窄的带阻滤波特性。 作为一种反射型的光纤无源器件， 光纤布拉格光栅对温度， 应变都有

4、相当程度的敏感特性， 其在光纤激光器， 波分复用， 可调谐光纤滤波器， 高速光纤通信系统的色散补偿及光纤传感器等反面有许多重要应用。 对于长周期光纤光栅，其光栅的周期较长，根据光波导的耦合模理论，表现 为向前传播的纤芯模和同向传播的包层模的耦合。特定长度和耦合系数的长周期 光纤光栅可以将纤芯模耦合到包层中而损耗掉。一般来说，与光纤布拉格光纤相 比，长周期光纤光栅的光谱带宽较大，其最典型的应用时参铒光纤放大器增益平 坦，带阻滤波器和传感。 1. 耦合模理论 耦合模方程是从麦克斯韦方程经过一系列推导得到的，其基本思想是：利用 可求解光波导的解，研究受到微扰的光波导，或者相互有影响的光波导，其理论

5、基础在于规则光波导的具有正交性，即： et ht z0dxdy 2 利用麦克斯韦方程组，经过变换可得： H t t Et K 02n2Etj 0z0t z t t HtK 02n Et H tj0z0Et z 对于电场和磁场矢量，有： Et x, y,z et x, y ej z， Ht x,y,z ht x,y ej z 在微扰光波导中，横向电、磁矢量可以看作 et 和 ht 的线性叠加，即： 则： 其中， Et db ja dz a et ， z0 ht Htb ht j 0 n2 n02 a et da da jbz0 et dz 为模序数为 的本征模的传播常数。 1 2 n02 t h

6、t 利用模的正交关系，可以得到： db dz ja K t a da dz 耦合系数： j K t 0 n 2 n02 a et et dxdy 2 jb Kz b t Kz ht 20 1 1 2 2 n2 n02 t ht dxdy tt 在无耦合情况下有： ddbz ja 0 dz da dz jb 设a b 2Aej z,a b 2B e j z ，根据以上两式，可以得出微扰光波 导中的电场、磁场分布： EtaetAejzBejzet HtbhtAejzBejzht 其中，ej z和e j z分别为沿 z 轴正向传播的模式和反向传播的模式，也就是说， 受到微扰后的波导中的模可以看做不同

7、模序的前行模叠加、后行模叠加，或者说 是相互叠加； A 和 B 分别为相应分量的展开系数，均是 z 的函数，可表示为 j A Kt Kz ej z j B Kt Kz e j z A z 和 B z 。 于是得到普遍的耦合模方程为： dA j A Kt Kz ej z j B Kt Kz e j z dz dB dz 其中， 和 为模式 和 的传播常数； K t 和Kz 分别是模式 和 之间的 横向和纵向分量的耦合系数。 Kt 和Kz 分别为： Kt 1 14x,y,zet et dxdy Kz 其中， 为光波的角频率； x, y, z x,y,z ez ez dxdy x, y, z et

8、和 et 分别为模式 和 的电场的横向矢量分量； x, y, z 为 光 波 导 中由于扰动引起的介电常量的改变量， x, y,z 2 0n n x,y,z ，n为未受扰动时的折射率， n x, y,z 为折 射率改变量。 位于光纤光栅来说， K z 比 K t 小得多（大约为一个数量级） ，所以在通常 情况下可以忽略。 2. 光纤布拉格光栅 光纤布拉格光栅使沿 z 轴传播的纤芯模和沿 -z 方向传播的纤芯模之间产生耦 合，属于两个反向模之间的耦合，取沿 z 轴传播的模的振幅为 A，沿 -z 方向传播 的模的振幅为 B，只考虑这两个模之间的耦合，则由上面的方程可得： dA dz jAK 1t1

9、 jBK 1t2e j2 z dB dz jBK 1t1 jAK 2t1ej2 z 从耦合系数方程可知， K1t2 K 2t1 。前行模和后行模的自耦合系数相等， 即， 故可统一记为 K1t1 。 对紫外激光写入的均匀正弦布拉格光栅，折射率分布为： n1 z n1 1z 1 cos 11 2z 其中， 为光栅的周期； z 为折射率调制的缓变包络，通常称为切趾或切趾 函数； n1 相当于坐标 z 处折射率改变量的幅值。通常情况下，折射率改变量可 写为： n1 z 2 2 n1 z 1 cos z n z 1 cos z 代入横向耦合系数 K t 中，并改写为： t K tz 1 cos 2z 2

10、 n z20n1 其中， z et x, y et x, y dxdy k0 neff z 和 neff 均是 z 的慢变函数，当两个下标相同时， z 为自耦合系数， 不同时为互耦合系数。但对于光纤布拉格光栅，只有纤芯模之间的耦合，对单模 光纤，1。 利用关系： 2 ej2z 2 cos z 2将 K t 的表达式中余弦表示为指数形式，并代入耦合模方程，则会出现指数项 。在耦合模方程中，只有该项的指数部分为零时，才会使两个模之间 e j 2 z 发生较强的耦合，其前面的系数才会对方程的解有大的影响，显然，括号中同时 取+时，该指数项不可能为零，因此，只能取 - 。从而得到如下简化后的耦合模方

11、程： dA jA 11 jB e j2 z dz dB dz jB 11 jA ej2 z 21k0 neffneff， 11 2neff 。 2 2 11 其中， dB dz jA ej2 z 求解方程组后可以得到 A和 B。设光栅区在 0 L， 上述方程组可化为两个 独立的二阶常微分方程， 取边界条件，z=0 时，A=A(0);z=L 时，可以得到方程的解为： scoshsL z j sinhsL z A0 e j L scosh sL j sinh sL A 0 e 22 时，B=B(L)。当 2 2 j sinh sz scosh sL j sinh sL B L 12 2 在上述方程

12、中，起主导作用的是等号右边的第二项，为了简便，可以忽略含 有 11 的项。从而得到如下的耦合模方程： ddAz jB e j2 z j sinh s L z scosh sL j sinh sL R PB 0B 0 PA 0A 0 sinh 2 sL s2 cosh2 sL2 sinh 2 sL j L scosh sz j sinh sz B L scosh sL j sinh sL 其中， s22 2 2 。对一般情况，可取 A(0)=1,B(L)=0, 则得到光纤布 拉格光栅的反射率和透射率为： 2 T PA L A Ls2 T 2 2 2 2 2 PA 0A 0s2 cosh2 sL2

13、 sinh 2 sL 在相位匹配条件下，0 ，对应了最大反射率和最大透射率，即： Rmax tanh2 L ，Tmax cosh 2 L 若设光栅的输入端功率为P1 0 1， P2 0 0 ，则谐振时光功率分别为 PB tanh2 L , PA cosh 2 L , 下图给出了相位匹配条件下，即对谐振波长的光 功率转换。 程序编码： kL=linspace(0,5); figure P_B=(tanh(kL).2; plot(kL,P_B, r ) ； hold on P_A=(cosh(kL).-2; plot(kL,P_A, b );grid 程序运行如下： 光纤布拉格光栅中耦合模的两个模

14、都是纤芯模，但是反向传播，相位匹配条 件为 0 ，即： /0 利用传播常数和有效折射率的关系 2 neff ，可以将上式改写为： 2neff 利用上述光纤布拉格光栅的反射率和透射率公式，可以画出其反射谱和透射 谱，程序编码如下： lambda=linspace(1540,1560,5000); k=(1.2*pi./lambda)*10(-3);s=sqrt(k.2-delta.2); delta=3*pi*(lambda-1550)./(15502); y1=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2); subplot(2,1,1);plot

15、(z,y1, r ); xlabel( 波长(nm) ),ylabel( 反射率 ); title( FBG反射谱 );grid; y2=1./(cosh(2e6*s).2+(delta.2./s.2).*sinh(2e6*s).2); subplot(2,1,2);plot(z,y2, b ); xlabel( 波长(nm) ),ylabel( 透射率 ); title( FBG透射谱 );grid; 程序运行如下： FIG2.光纤布拉格光栅反射谱和透射谱 3. 相移光纤布拉格光栅 相移光纤布拉格光栅是在均匀的折射率余弦调制光纤中，在某个或某些位置 上出现相位偏移，结果会在反射谱中出现一个较

16、窄的缺口，可以有多个相移，相 应会出现多个缺口。 对相移光纤布拉格光栅，折射率变化时分段连续的，因此，不能再用一个函 数来表示，需要用分段函数来表示。折射率调制可以写成： n1 z n1 z 1 cos cos ziz zi 1 , i 1 其中， i z 为第i 个相移点的相移量。 相移光纤布拉格光栅的耦合模方程可以通过传输矩阵来表示。传输矩阵是由 耦合模方程得到的，可以用于均匀和非均匀光纤光栅。类似的，利用上述方法， 并考虑到： cos j2 e 2zi 可以得到耦合模方程： dA dz 经过复杂的计算， dB dz 可以得到耦合模方程的解，并写成矩阵的形式为： jA ej 2z i s1

17、1 其中， Fzizi111 s12 2 时，令 s2 s11 cosh s A zi 1 B zi 1 Fzizi 1 A zi zizi1 B zi 2 2 ，得： zi 1 zi j sinh s zi 1 zi e j zi 1 zi s s12 j sinh s zi 1 zi e j zi1 zi ej i s s21j sinh s zi 1 zi ej zi 1 zi e j i s s22 coshs zi1 zij sinh s zi 1 zi ej zi1 zi 当 时，令 s ，可以得到： s11 coss zi 1 zij sin s zi 1 zi e j zi 1

18、 zi s12 j sin s zi 1 zi e j zi 1 zi ej i s s21j sin s zi 1 zi ej zi 1 zi e j i s s22 coss zi 1 zij sin s zi 1 zi e i 1 i 矩阵 Fzizi 1 称为传输矩阵。如果光线中只有一段均匀光纤布拉格光栅，通常有 B zi 1 0 ，所以： B zi21 A zi ， A zi 1s11 s12 s21 A zi 则反射率和透射率分别为： B zi 2 A zi s22 ，T A zi 1 A zi s11 s12s21 s22 利用上述相移光纤布拉格光栅的反射率和透射率公式，可以画出

19、其反射谱和 透射谱，程序编码如下： function PhaseFiber_by_TransmissionMatrix_mine n=500;lamda=1e-9*linspace(1545,1555,n); R1,R2,R3,R4=Transmission_FBG; subplot(2,2,1);plot(lamda*1e9,R1, r ); title( fai=0 );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel( 波长/nm );ylabel( 反射率 ); subplot(2,2,2);plot(lamda*1e9,R2, c ); title( fai=pi/2

20、 );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel( 波长/nm );ylabel( 反射率 ); subplot(2,2,3);plot(lamda*1e9,R3, g ); title( fai=pi );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel( 波长/nm );ylabel( 反射率 ); subplot(2,2,4);plot(lamda*1e9,R4, b ); title( fai=3*pi/2 );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel( 波长/nm );ylabel( 反射率 ); end function

21、 F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i) delta=2*pi*n_eff*(1./lamda-1./lamda_B); j=sqrt(-1); k=pi*dn/lamda_B;L(1)=1e-3; s=sqrt(k2-delta.2); s11(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j* delta(i)*L(1); s12(i,1)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j*delta(i)*L(1); s21(i,1)=-j*k

22、./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(j*delta(i)*L(1); s22(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(j*d elta(i)*L(1); F1=s11(i,1) s12(i,1);s21(i,1) s22(i,1); End function R1,R2,R3,R4=Transmission_FBG n=500;n_eff=1.458; dn=1.2e-3;j=sqrt(-1); lamda_B=1550e-9; lamda=1e-9*linspace(1545,1555,n);

23、delta=2*pi*n_eff*(1./lamda-1./lamda_B); k=pi*dn/lamda_B;s=sqrt(k2-delta.2); for i=1:n L(2)=1e-3; s111(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *delta(i)*L(2); s112(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*0) s121(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)

24、*L(2).*exp(-j*0 ); s122(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L(2); F12=s111(i,2) s112(i,2);s121(i,2) s122(i,2); F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F12=F12*F1;R1(i)=(abs(-F12(2,1)/F12(1,1)2; s211(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp

25、(-j *delta(i)*L(2); s212(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*pi /2); s221(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*exp(-j*p i/2); s222(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L(2); F22=s211(i,2) s212(i,2);s221(i,2) s222(i,2); F1=Tra

26、nsmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F22=F22*F1;R2(i)=(abs(-F22(2,1)/F22(1,1)2; s311(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *delta(i)*L(2); s312(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*pi ); s321(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*ex

27、p(-j*p i); s322(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L(2); F32=s311(i,2) s312(i,2);s321(i,2) s322(i,2); F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F32=F32*F1;R3(i)=(abs(-F32(2,1)/F32(1,1)2; s411(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *del

28、ta(i)*L(2); s412(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*3* pi/2); s421(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*exp(-j*3 *pi/2); s422(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L(2); F42=s411(i,2) s412(i,2);s421(i,2) s422(i,2); F1=Transmi

29、ssion_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F42=F42*F1;R4(i)=(abs(-F42(2,1)/F42(1,1)2; end end 程序运行如下： FIG3. 相移光纤布拉格光栅反射谱和透射谱 4. 切趾光纤布拉格光栅 对折射率均匀调制的光纤布拉格光栅，两端都是整齐的开始和结束，或者说 是突然地开始和结束，没有一个过渡过程。如果使光栅折射率调制的开始和结束 都有一个过渡过程，其折射率调制包络不是均匀的，而是呈现一定的函数形式， 就会使得光栅的光谱有很大的改进，此称为光栅的切趾，这样的光栅称之为切趾 光栅。 在前面的分析中，光纤纤芯的折射率调制为：

30、n1 z n1 1 z 1 cos z z 其中， z 取常数。也就是等振幅调制的情况，这种情况下，除了主反射带外， 光纤光栅的反射谱还有较大的旁瓣，这在很多情况下是不利的，因此，设法消除 或者抑制旁瓣对光纤光栅的应用具有重要思意义。采用切趾的方法可以很好地抑 制旁瓣。 切趾相当于使折射率调制幅度 不再是恒定的，而是随 z缓慢变换，通常按 一定的函数关系变化，这也相当于耦合系数在整个光栅区不是均匀的而是按照一 定的函数变化，一般表示为： 其中， f z 是相当于数字滤波器中的窗口函数，通常称为切趾函数。常用的切 趾函数有高斯函数、汉明函数或升余弦函数、布莱克曼函数、 tanh 函数、 Cauc

31、hy 函数、 sinc 函数等，它们的表示式如下： 高斯函数： 汉明函数： fz 1 H cos2 z L 1H 布莱克曼函数： fz 1 1 B cos 2 z L Bcos 4 z L tanh 函数 : f z 1 tanh sinc 函数： f z sincA 2 2B 2z L 1 2z B 2L 2z 2 Cauchy函数: fz L 2 2Cz 2 1 L 其中， L是整个光纤光栅的长度，也可以是折射率分布轮廓的两个半值之间的宽 度； G、A、H、B、A和 ， 均为常数。 根据光纤布拉格光栅的反射率和透射率公式，利用高斯函数，并取不同的 值，可以推导并画出其反射谱和透射谱，程序编

32、码如下： %FBG z=linspace(1545,1555,5000);L=2e-3; k=(1.2*pi./z)*10(-3);delta=3*pi*(z-1550)./(15502); s=sqrt(k.2-delta.2); y=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2); subplot(3,3,1);plot(z,y);title(FBG反射谱 ); xlabel( 波长nm);ylabel( 透射率 );grid; %G=4 z=linspace(1545,1555,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e

33、-3; k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f1=exp(-4*(x/L).2);k=k0.*f1; delta=3*pi*(z-1550)./(15502); s=sqrt(k.2-delta.2); y1=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2); subplot(3,3,7);plot(z,y1, m ); title( (G=4) ); xlabel( 波长nm);ylabel( 透射率 ); grid; subplot(3,3,4);plot(x,f1, r ); title( 高斯函数切趾 (G=4) ); grid; %

34、G=8 z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3; k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f2=exp(-8*(x/L).2);k=k0.*f2; delta=3*pi*(z-1550)./(15502); s=sqrt(k.2-delta.2); y2=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2); subplot(3,3,8);plot(z,y2, m ); title( (G=8) ); xlabel( 波长nm);ylabel( 透射率 ); grid; subp

35、lot(3,3,5);plot(x,f2, r ); title( 高斯函数切趾 (G=8) ); grid; %G=16 z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3; k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f3=exp(-16*(x/L).2);k=k0.*f3; delta=3*pi*(z-1550)./(15502); s=sqrt(k.2-delta.2); y3=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2); subplot(3,3,9);plot(z,y3, m

36、 ); title( (G=16) ); xlabel( 波长nm);ylabel( 透射率 ); grid; subplot(3,3,6);plot(x,f3, r ); title( 高斯函数切趾 (G=16) ); grid; 程序运行如下： FIG4. 高斯切趾光纤布拉格光栅反射谱和透射谱 光纤光栅的切趾可以是对均匀光纤光栅，也可以是对啁啾光纤光栅。对均匀 光纤光栅，切趾可以起到抑制旁瓣的作用，对啁啾光纤光栅，可以起到抑制旁瓣 和通带内的反射率抖动，并且改善色散特性等作用。 5. 啁啾光纤布拉格光栅 啁啾光纤布拉格光栅是一种周期不均匀的光纤光栅，其周期沿 z轴缓慢变化， 这种变化可以是

37、线性的，也可以是非线性的，当周期沿着 z 方向做线性变化时， 称为线性啁啾光纤光栅，否则为非线性啁啾光纤光栅。对正弦型的光栅，折射率 变化仍可写为： n1 z n1 1 1 cos zz 其中， z 为 z的线性函数。下面仅谈论线性啁啾光纤布拉格光栅。 啁啾光纤布拉格光栅的周期可以写为： ， 0 z L 1 F z，0 z L L 其中， L为光栅长度； 为光栅起始端的周期； F为啁啾系数，反应啁啾的大小。 F=0时为均匀光纤光栅。 设啁啾光纤布拉格光栅的周期为（因为 F z 1 ）： L z2 、 z3 ,., zi ,. zM 1, 则总的传输矩阵为： 并将其分成 M 个小段，光栅的起始点

38、坐标为 z1，其它分界点坐标依次为 F FM FM 1FiF1 其中， Fi s11 s12 s11 coss zi 1 zi j sin s zi 1 zi e j zi 1 zi s12 j sin s zi 1 zi e j zi 1 zi ej i s j sin s zi 1 zi ej zi 1 zi e j i s 这里， s22 coss zi 1zi 2 2zi2 1,2, ,M ； i F 2L 根据以上反射率和透射率公式， j sin s zi 1 zi ，F 为啁啾系数。 ej zi 1 zi 可以画出其反射谱和透射谱， 程序编码如下： L=0.04;neff=1.47

39、;C=10e-9;n=50;m=1501; deltaneff=0.0001;j=sqrt(-1); lambda1=1549;lambda2=1551; lambda=linspace(lambda1,lambda2,m)*1e-9; deltalambda=(lambda2-lambda1)/m*1e-9; for k=1:m F=1 0;0 1; for i=1:n deltaneff=0.0001*exp(-4*(-L/2+i*L/n)4)/L4); lambda_D=(1550-C*L/2+C*i*L/n)*1e-9; delta=2*pi*neff*(1/lambda(k)-1/l

40、ambda_D)+2*pi*deltaneff/ lambda(k)+(4*pi*neff)*C*(-L/2+i*L/n)/lambda_D2; kac=pi*deltaneff/lambda(k); s=sqrt(kac2-delta2); F=F*cosh(s*L/n)-j*(delta/s)*sinh(s*L/n),-j*(kac/s)*sinh(s*L/n); j*(kac/s)*sinh(s*L/n),cosh(s*L/n)+j*(delta/s)*sinh(s*L/n); end R(k)=(abs(-F(3)/F(1)2; end plot(1e9*lambda,R); axis

41、(1549 1551 0 1);xlabel( 波长nm);ylabel( 反射率 ); title( 啁啾光纤布拉格光栅的反射谱 ); grid 程序运行如下： FIG5.啁啾光纤布拉格光栅反射谱 6. 长周期光纤光栅 1996年， Vengsarkar 等报道了有关长周期光纤光栅的制作方法、特性和在通 信领域的应用，此后对这一新型的光纤器件进行了大量的实验和理论研究，使得 人们对长周期光纤光栅的特性有了进一步的认识，制作方法得到了进一步的发 展，理论也逐步完善起来。 长周期光纤光栅有着与光纤布拉格光栅不同的特性和应用场合，目前主要应 用于带阻滤波器和掺铒光纤放大器的增益均衡。长周期光纤光栅

42、是由于前向传播 的纤芯模与同向传播的包层模之间产生耦合，因此涉及的模式包括纤芯模和包层 模，在一定条件下还涉及纤芯模与辐射模的耦合。 长周期光纤光栅的周期比光纤布拉格光栅的周期大得多，在几十微米到几百 微米，虽然仅仅是周期比较大，但是这样的结构引起的模的模式已完全不同于光 纤布拉格光栅，其光谱也有较大差别。 长周期光纤光栅的透射谱较宽，一定周期的光纤光栅不只形成一个损耗峰， 往往可以形成数个损耗峰，这些峰之间的间隔也比较大，有些在几十纳米以上。 每一个损耗峰对应纤芯模被耦合到一个包层模中。 对均匀长周期光纤光栅，纤芯模只和具有轴对称场分布的一阶奇次包层模耦 合。对一般的通信光纤，一阶包层模可以

43、有一两百个。设纤芯模和包层模的传播 常数分别为 co和 1cl ， 为一阶包层模的根序号，光栅周期为 ，则谐振条件 为： co cl 1 对紫外激光写入的长周期光纤光栅， 率未发生改变。与光纤布拉格光栅类似， 只有折射率发生了扰动，而包层的折射 栅区的折射率分布为： n1 z n1 1 z1 2 cos zz， r r1 其中， z 为与光栅的相移或啁啾有关的附加相位。纤芯的折射率改变量为： n1 z n1 z 1 cos n z 1 cos 均匀长周期光纤光栅使纤芯模和同向的包层模发生耦合，而包层模之间的耦 合很弱。对单模光纤，同一方向只有一个纤芯模，而包层模则较多，所以在一般 的耦合模方程

44、中，与反向本征模有关的分量均为零，即一般的耦合模方程可以简 化为： dA dz j A Kt ej z 上式实际是一个方程组， 取所有发生耦合的模的序数。在一定波长范 围内，可以只考虑纤芯模和一个包层模发生耦合，这样简化得到的结果和实验很 接近，于是耦合模方程可以写为： dA1 jA1K1t1 jA2K1t2e j 1 2z dz dA2 jA2K2t2 jA1K2t1ej 1 2 z dz 其中， A1 z 为纤芯模的振幅； A2 z 为包层模的振幅； 1 和 2 分别为纤芯模 和包层模的传播常数。而长周期光纤光栅的横向耦合系数 K t 中，可以得到： t2 K tz 1 cos z z 其

45、中，z 是 z的慢变函数，一般称为耦合常数。当两个下标相同时为自耦合 系数，不同时为互耦合系数， 而上式后一部分则变化较快。 而 z 的表达式为： z et x, y et x, y dxdy k0 n ,eff 2 n z20n1 根据下述关系： 2 1 cos zz 2 可以得到长周期光纤光栅的耦合模方程： dA1 jA1 11 jA2 ej 2 z z dz dA2 jA2 22 jA1 ej 2 z z dz ； 12 / 2 21 / 2 . 为了简述上述方程，引 12 1 其中， 2 入如下变换： A1 R z ej 11 22z/2ej z /2 A2 S z ej 11 22z

46、/2ej z /2 则耦合模方程简化为： dR j R z j S z dz dS j S z j R z dz 11 22 1 d 其中， 11 22 ，通常 11比 22 大得多，故 22 可忽略，该 2 2 dz 11 22 22 方程具有较简单的解析解。 利用类似于求解光纤布拉格光栅耦合模方程的方法，可以求出上面方程组的 解，即： R z C1 cos sz C2 sin sz S z C3 cos sz C4 sin sz 2 2 2 2 其中， s22 。设初始条件为 z z1时， R R z1 ， S S z1 ，则有： R z1 C1 cos sz1 C2 sin sz1 S

47、z1 C3 cos sz1 C4 sin sz1 从而可以得到方程组： sC2 j C1 j C3 cos szsC1 j C2 j C4 sin sz 0 j C1 j C3 sC4 cos szj C2 sC3 j C4 sin sz 0 对任意的 z，cos sz 和 sin sz 前面的系数应为 0。通过计算和简化，可以 得到长周期光纤光栅的耦合模方程，写成矩阵的形式为： Rz s11 s12 R z1 F rs R z1 Sz s21 s22 S z1 S z1 其中，矩阵 F rs的元素分别为： s1rs1 cos s z z1j sin s z z1 s s1r2s j sin

48、s z z1 s s2rs1 j sin s z z1 s rs s2rs2 coss z z1j sin s z z1 s 对一段长为 L的均匀长周期光纤光栅，设其分布在 0 L ，在光纤光栅的起 始端，包层模的振幅为零，即 S 0 0 ，则： R L cos sL j sin sL R 0 s S L j sin sL R0 s 于是，透射率为： A1 L A1 0 损耗率为： R L 2 R0 cos2 sL 2 22 sin2 sL 1 2 2sin2 sL A2 L A1 0 SL R0 22 sin2 sL 透射率和损耗率分别相当于纤芯基模中没有发生不分的能量和已经耦合到 包层中的

49、能量占输入能量的比例。 根据上述反射率和透射率公式，可以画出长周期光纤光栅反射谱和透射谱， 程序编码如下： z=1e-9*linspace(1500,1599,1000);k=30; %k的单位是 1/m. n1=1.468;n2=1.463;L=pi/60;k11=6e0; %k11(自己取得值 ) 相当于使得中心波长有微小的偏移 delta=pi*(n1-n2)*(1./z-1/(1550*1e-9); sita=delta+k11; s=sqrt(k2+sita.2); D=k2./s.2.*(sin(s*L).2); plot(1e9*z,1-D, r ); xlabel( 波长/nm

50、 );ylabel( 透射率 ); title( LFBG透射谱 ); grid; 程序运行如下： FIG6.均匀长周期光纤光栅的透射谱 从上图中可以看出， 透射谱相对于中心波长有一个微小的偏移， 此为 11 项对 谱线所产生的影响，而实际的谐振波长为： 11 其中， d 为设计波长。从上述式子可知，实际的谐振波长 比设计波长 d大。 7. 光纤布拉格光栅的级联（双光纤布拉格光栅） A.两个谐振频率不同时 设有两个级联光栅，周期分别为 1和 2 ，长度分别为 L1和 L2 ，初始端相 距为d。取第一个始端为坐标原点。 根据光纤布拉格光栅的传输矩阵可以知道： F1 cosh s1L1 j 1 s

51、inh s1L1 1 1s11 1 j 1 sinh s1L1 ej 1L1 s1 e j 1L1 j 1 sinh s1L1 e j 1 L1 s1 1 1 cosh s1L1j 1 sinh s1L1 e j 1L1 F2 e j 2L2 coshs2L2 j 2 sinh s2L2 2 2s22 2 j 2 sinh s2L2 ej 2 2d L2 s2 j 2sinh s2L2 e j 2 2d L2 s2 jL cosh s2L2j 2 sinh s2L2 ej 2L2 2 2s22 2 其中， 1/2， s121 12 2 /2 ， s222 22 ， 则 F F2F1 F11 F

52、21 F12 F22 R F21 2 , T F F12 F21 F11 F11 F22 . 反射率和透射率分别为： 根据上述反射率和透射率公式，可以画出其反射谱，程序编码如下： function Double_FBG n_eff=1.47;L= 2e-3;L1=2e-3; lambda_Brag=1552e-9; lambda_Brag1=1548e-9; lambda=1e-9*linspace(1545,1555,1000); kappa_L=5; kappa=kappa_L/L;kappa1=kappa_L/L1;%交流耦合系数 F = 1 0;0 1; for num = 1:100

53、0 delta(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappa2-delta(num).2); s11(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); s12(num)=-i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s21(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=s

54、11(num) s12(num);s21(num) s22(num); delta1(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa12-delta1(num).2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(num)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)

55、*L1)+i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t12(num);t21(num) t22(num); f=f1*f0; r3(num)=f(2,1)/f(1,1);%反射系数 R3(num)=(abs(f(2,1)/f(1,1)2;%反射率 end plot(lambda*1e9,R3, r );hold on; xlabel( 波长 /nm );ylabel( 反射率 ); title( 双光栅反射谱 );grid on end 程序运行如下： FIG7.双把光纤布拉格光栅的反射谱 B.两个谐振频率相同时（法布里 - 珀罗光纤

56、布拉格光栅滤波器） 当两个光栅的谐振频率相同时，它们将形成法布里 - 珀罗干涉。在耦合系数 和光栅之间的距离合适时，会形成梳状反射谱。设两个光栅的长度、耦合系数均 相同，取 L1 L2 L ， 1 2 ， 1 2 ，利用上节传输矩阵可以计算反 射谱。计算时， L 不能取太大，因为取太大时，第一个光栅的反射率过大，透 射光太弱，就无法形成干涉。同时 L 也不能取太大，否则，反射峰轮廓很窄，就 不会出现多反射峰。 同上，可以画出其反射谱，程序编码如下： function F_P_FBG_Filter n_eff=1.47;L=1e-3;L1=1e-3;i=sqrt(-1); lambda_Brag

57、=1550e-9;lambda_Brag1=1550e-9; lambda=1e-9*linspace(1547,1553,1000);h=15e-3; kappa_L=1;kappa=kappa_L/L;kappa1=kappa_L/L1;%交流耦合系数 F=eye(2); for num = 1:1000 delta(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappa2-delta(num).2); s11(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num

58、)*L); s12(num)=-i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s21(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=s11(num) s12(num);s21(num) s22(num); m=exp(-i*L*delta(num) exp(-i*delta(num)*L);exp(i*delta(num)*L) exp(i*L*delta(num); delta1(num) = 2*pi*n_eff*(1

59、/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa12-delta1(num).2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(num)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)*L1)+i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t12(num

60、);t21(num) t22(num); n=exp(-i*L1*delta1(num) exp(-i*delta1(num)*(L1+h); . exp(i*delta1(num)*(L1+h) exp(i*L1*delta1(num); f=(f1.*n)*(f0.*m); r(num)=f(2,1)/f(1,1);R(num)=(abs(f(2,1)/f(1,1)2; end plot(lambda*1e9,R, r );xlabel( 波长 /nm );ylabel( 反射率 ); title( F-P 光纤布拉格光栅滤波器的反射谱 );grid on end 程序运行如下： FIG8