南京师大附中2021届高三年级高考模拟考试（及答案

1、南京师大附中2021届高三年级模拟考试 数 学 2021.05注意事项1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡。上规定的位置，否则不给分。3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i ，则z1z2=A. -25 B.25 C.7-24i D. -7-24i2.已知集合A=（3，+），集合B=x|3x9 ，则xA是xB的A.充分不必要

2、条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a，b为单位向量，且ab=0 ，若，则cos（a，c）=A. B. C. D. 4.函数的图像大致是5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔。则该塔的阶数是（）A.10 B.l1 C.12 D.136.若，则实数的值为A.3 B. C.2 D.47.已知矩形ABCD，AB=1，AD=2，点E为BC边的中点将A

3、BE沿AE翻折，得到四棱锥B- AECD ，且平面BAE平面AECD ，则四面体B - ECD的外接球的表面积为A. B.4 C. D.58.已知（a2），（b3），（c4） ，则A. cba B. cab C. abc D. acb 0）的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c。直线ly=k（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有A. ABF2的周长为4aB.若AB的中点为M，则C.若，则椭圆的离心率的取值范围是D.若AB的最小值为3c ，则椭圆的离心率12.将2n（nN*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳

4、球数不限记2个盒子中最少的球数为X（0Xn，XN*），则下列说法中正确的有A.当n=1时，方差B.当n=2时，C. ， ，使得P（X =k） P（X=k+1）成立D.当n确定时，期望三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f（x）=x（lnx+1） ，则f（x）在（1，f（1）处的切线方程为_ 。14.已知随机变量X N（2，2） ，若P（X4）=0.1 ，则P（0X 4）= 。15.已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为52 ，则展开式中的常数项为 ， 此时 （结果用数字表示）16.三等分角是古希腊三大几何难题之一。公元3世纪末 ，古希腊数学家帕普

5、斯利用双曲线解决了三等分角问题如图， 已知圆心角ACB是待三等分的角（0 ACB 0）交于点M，N （异于原点O ）， MN恰为该圆的直径过点E作直线交抛物线与A， B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P。（1）求证点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明PFA=PFB。22.（12分）已知函数f（x）= tanx-sinx ， g（x）=x-sinx ， x（1）证明关于x的方程f（x）-g（x）=x在上有且仅有一个实数根；（2）当x时，f（x）ag（x） ，求实数a的最大值。南京师大附中2021届高三年级模拟考试数学答案与解析注意事项1.本试卷考试时间为120分钟，试

6、卷满分150分，考试形式闭卷。2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡。上规定的位置，否则不给分。3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i ，则z1z2=A. -25 B.25 C.7-24i D. -7-24i答案 A2.已知集合A=（3，+），集合B=x|3x9 ，则xA是xB的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A3.已知a，b为单位向量，

7、且ab=0 ，若，则cos（a，c）=A. B. C. D. 答案 C4.函数的图像大致是5. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔。则该塔的阶数是（）A.10 B.l1 C.12 D.13答案 C6.若，则实数的值为A.3 B. C.2 D.4 答案 D7.已知矩形ABCD，AB=1，AD=2，点E为BC边的中点将ABE沿AE翻折，得到四棱锥B- AECD ，且平面BAE平面A

8、ECD ，则四面体B - ECD的外接球的表面积为A. B.4 C. D.5 答案 B解析如图所示，取AE，DE中点分别为G，H，连结BG，作HI=BG ，且HI /BG ，设外接球球心为O ，半径为r，由平面BAE平面AECD，易知BG平面AECD，则有IH平面DEC，且易知球心O在IH上，四边形BGIH为矩形，设OH=t ，则有，解得，所以r=1，此时点I与点O重合，外接球表面积为4 。8.已知（a2），（b3），（c4） ，则A. cba B. cab C. abc D. acb答案 A解析记，有所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，又有f（a）=f（2） ， f（b）

9、=f（3） ， f（c）=f（4） ，则f（2） f（3）f（4） ， 所以f（a） f（b） f（c） ，结合图像，依题意可知a，b，c（0，1）， 所以cbb 0）的左，右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c。直线ly=k（x+c）（kR）与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有A. ABF2的周长为4aB.若AB的中点为M，则C.若，则椭圆的离心率的取值范围是D.若AB的最小值为3c ，则椭圆的离心率答案 AC解析 ， A正确；设A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， M有，由，作差得，所以则有，B错误；，则有，可得，C正确；易知AB的最小值为通径， 则有， 即，解得a=2c

10、，所以， D错误。12.将2n（nN*）个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为X（0Xn，XN*），则下列说法中正确的有A.当n=1时，方差B.当n=2时，C. ， ，使得P（X =k） P（X=k+1）成立D.当n确定时，期望答案 ACD解析当n=1时，则，A正确；当n=2时，B错误；易知， kn-2 ， 又有，所以P（X=n-l）P（X=n） ， C正确；易知， D正确。三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f（x）=x（lnx+1） ，则f（x）在（1，f（1）处的切线方程为_ 。答

11、案 y=2x-114.已知随机变量X N（2，2） ，若P（X4）=0.1 ，则P（0X 4）= 。答案 0.815.已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为52 ，则展开式中的常数项为 ， 此时 （结果用数字表示）答案 1120， 3280解析依题意有，解得n=8，通项为， 取r=4 ，得常数项为；16.三等分角是古希腊三大几何难题之一。公元3世纪末 ，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题如图， 已知圆心角ACB是待三等分的角（0 ACB 0 ，所以AB=3，所以ABC的面积解法二在ABC中， AC=2， BC=，由正弦定理得，即所以又在ABC中，ABC，所以

12、ABC是锐角所以cosABC=因为三角形内角和是180，所以所以ABC的面积（2）解析一因为 ，所以所以，又，AC=2，代入化简得， ，即（AB-4）（AB+5）=0 ，又AB0 ，所以AB=4.在ABC中，AC=2，AB=4 ，由余弦定理得，又BC0 ，所以BC=.解析二在ABC中，设AB=x ，又，AC=2 ，由余弦定理得，此时因为，所以在ABD中，由余弦定理，又，所以，化简得x2 +x-20=0，即（x-4）（x+5）=0 ，又x0 ，所以x=4 ，所以.18.（12分）已知数列an满足a1=1， 数列bn是公差不为0的等差数列。若bn满足_ ， 。在b1，b2，b4成等比数列，a2=b

13、1+b4，这三个条件中任选两个，补充到上面的问题中，若问题中的数列bn存在，求数列的前n项和Sn；若问题中的数列bn不存在，说明理由。注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。解析选择设数列bn的公差为d（d0）。因为b1，b2，b4成等比数列，所以，即，因为， ，又a1=1 ， 得a2=5，所以b1+b1+3d=5 ，由，联立可得， 即， 因为d0 ， 解得d=b1，代入可得d=1，所以bn=n。因为an是等比数列，所以，所以，-得解得选择设数列bn的公差为d（d0）。由可知，由，因为b1，b2，b4成等比数列，所以，即，解得b1=-1 ，所以b2=-1 ，则d=0 ，与题意矛盾，故数列

14、bn不存在。选择设数列bn 的公差为d（d0）。由可知，解得b1=d-1因为，又a1=1，得a2=5，所以，即2（d-1）+3d=5 ， 解得，因此，因为an是等比数列，所以，所以，-得解得19.（ 12分） 2021年4月17日，江苏园博会正式向公众开放。昔日废弃采矿区化茧成蝶，变身成了世界级山地花园群”。园博园的核心景区苏韵荟谷以流水串联，再现了江苏13个地市历史名园的芳华，行走其间，仿佛穿游在千年历史长河中，吸引众多游客前来打卡某旅行社开发了江苏园博园一-日游线路，考虑成本与防疫要求，每团人数限定为不少于35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人。已知该旅行社已经发出的10个旅

15、行团的游客人数如下表所示序号12345游客人数3935383836序号678910游客人数3940374038（1）该旅行社计划从这10个团队中随机抽取3个团队的游客，就服务满意度进行回访，求这3个团队人数不全相同的概率；（2）预计暑假期间发团200个，将盈利总额记为X（ 单位万元），用上表中的频率估计概率，求X的数学期望。解析游客人数353637383940次数统计111322频率（注上述表格不一定要出现 ，只要在解题中说明各种人数出现次数就可以）（1）设这3个团队人数不全相同为事件A，故这3个团队人数不全相同的概率是（2）X的可能取值为70，72，74，76，78，80.X的分布列为X70

16、7274767880P（万元）20.（ 12分）如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成其中，FAB = 90，AB= AF=2 ，点G为弧CD的中点，且C，G，D，E四点共面。（1）证明 D，G， B，F四点共面；（2 ）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为，求AD长。解析（1）解析一连接DG ，因为ABAF， AF=AB，所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，DCE=45，在半圆DGC上，G是弧CD中点，所以GDC=45，所以DG/ EC ，又EC/ FB，所以DG/FB，B、F、D、G四点共面。解析二直三棱柱中，ABAF ，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，AF=AB=

17、2 ，设AD=h ，A（0，0，0） B（0，2，0）， F（2，0，0），D（0，0，h） ， G（-1，1，h） ，则=（-1，1，0） ，=（-2，2，0） ， ，所以DG/ FB ， B、F、D、G四点共面。（2）直棱柱中，ABAF ，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，AF=AB=2 ，设AD=h，F（2，0，0） ， B（0，2，0） ， D（0，0，h），=（-2，0，h），=（2， -2，0） ，设平面BFD的法向量为n=（x，y，z）。则有，化简得所以取n= （h，h，2），A（0，0，0） ， B（0，2，0） ，G（-1，1，h） ，=（0，2，0），=（-11，h） ，

18、设平面ABG的法向量为m = （r，s。t）则有，化简得，所以取m = （h，0，1） ，平面BDF与平面ABG所成二面角即n与m夹角或其补角，所以，解得，所以.21.（ 12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点E（0，2） ，以OE为直径的圆与抛物线Cx2 =2py（p 0）交于点M，N （异于原点O ）， MN恰为该圆的直径过点E作直线交抛物线与A， B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P。（1）求证点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明PFA=PFB。解析以OC为直径的圆为x2 +（y-1）2 = 1.由题意可知该圆与抛物线交于一条直径 ，由对称性可知交点坐标为（

19、1，1） ，（-1，1）代入抛物线方程可得2p=1.所以抛物线的方程为x2= y。（1）设A， B，所以所以直线AB的方程为，即.因为直线AB过点C（0，2） ， 所以，所以。直线PA的方程为 ，即，同理直线PB的方程为联立两直线方程，可得P。由可知点P的纵坐标为定值-2.（2）解析一 1当FPx轴时，此时点P的横坐标，则，可知A， B两点关于y轴对称，此时PFA=PFB，2当FP斜率存在时，由到角公式得，又P，由消去x2得p，代入可求得，代入到角公式化简可得同理，tanPFB=综上，可得tanPFA= tanPFB注意到两角都在（0，）内，可知PFA=PFB 。解析二cosPFA =，cos

20、PFA =注意到两角都在（0，）内，可知要证PFA=PFB ， 即证，所以又，所以同理式得证解析三可知点F ，准线l过A，B分别作AA1l，BB1l于点A1，B1，可知A ，所以，又所以，所以A1FAP又AA1=AF，所以AA1F是等腰三角形，可知PA是A1F的中垂线，所以PA1= PF ，所以AA1PAAFP ， 所以PFA=PA1A ，同理PFB=PB1B，同理PB1=PF且PFB=PB1B ， 所以PB1=PA1，所以PA1B1=PB1A1，所以PA1A=PB1B ，所以PFA=PFB。22.（12分）已知函数f（x）= tanx-sinx ， g（x）=x-sinx ， x（1）证明关于x的方程f（x）-g（x）=x在上有且仅有一个实数根；（