新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数复习题》教案_14

1、中考微专题复习 -二次函数与直角三角形存在性问题一、知识方法回顾：已知：两点A、B和直线m. BA . m设计意图：通过学生画图，让学生明白当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，运用“两垂线一圆法”，在图上找出存在点的个数。具体方法如下：当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的一端点作定长的垂线，与直线的交点；当定长为直角三角形的斜边时，以定长为直径画圆与直线的交点。2、 典例讲解如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+2x+c与x轴交于 A ( -1，0)，B (3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该拋物线的顶点。试探究：在 y轴上是否存在点P，使ACP是以AC

2、为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 设计意图：该题从易到难，先确定AC为直角边，这样就只有以A或C为直角顶点两种情况，但该题我用了三种方法相似两直线垂直时，设坐标，用勾股定理求解。变式1、试探究：在拋物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标。 设计意图：该小题比前一小题更进了一步，未指明直角顶点在何处时，需分三种情况讨论，当BC为直角边，点C为直角顶点时当BC为直角边，点B为直角顶点时当BC为斜边时，分别用两直线垂直时，和相似、勾股定理完成。解一：代数法设点Q(1,m)，B(3,0),C(0,

3、3)则BC2=18 CQ2=12+(m-3)2=m2-6m+10 BQ2=22+m2当点C为直角顶点时，BC2+CQ2=BQ2即18+m2-6m+10=22+m2解得m=4当点B为直角顶点时，BC2+BQ2=CQ2即18+4+m2=m2-6m+10解得m=-2当点Q为直角顶点时，BQ2+CQ2=BC2即m2-6m+10+4+m2=18解得综上，存在点Q，使三角形BCQ为直角三角形，点Q的坐标为（1，4），(1,-2),(1, ),(1, )解二：几何法B(3,0),C(0,3)直线BC解析式为y=-x+3当点C为直角顶点时，直线CQ解析式为y=x+3当x=1时，y=4Q1（1，4）当点B为直角

4、顶点时，直线BQ解析式为y=x-3当x=1时，y=-2Q2（1，-2）当点Q为直角顶点时，由三角形相似可得解得综上，存在点Q，使三角形BCQ为直角三角形，点Q的坐标为（1，4），(1,-2),(1, ),(1, )设计意图：通过完整的解题过程，让学生除了会分析问题，还要学会严密的解题过程展示，让学生养成良好的习惯。变式2、设点M是第一象限内抛物线上的动点，点N是线段BC上一点，是否存在点M使得CMN是等腰直角三角形？若存在，请求出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由 设计意图：通过变式2的学习，让学生明白等腰直角三角形也要先构建直角，再寻找45，该题对图形的依赖程度很高，要把三种情况不重

5、不漏地分析完，对学生有一定的挑战性。（小组合作完成）直角三角形解题策略：PA2+PB2=AB2AB2+AP2=BP2BA2+BP2=AP2代数法几何法两线一圆法二找点一分类三求点P3、 归纳小结：构造K型相似或全等BAmP3P4P1P2关于直角三角形的解题策略：分类；找点；求点1. 找点：两垂线一圆法：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点。以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点。2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相

6、似求解 设坐标，利用勾股定理求解。本节课所用的数学解题思想：分类讨论思想方程思想数形结合思想四、拓展应用在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax2经过点B（1） 求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 分析：（1）根据题意，过点B作BDx轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得

7、其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形性质，可得答案由于确定直角边，所以直角三角形只有两种。（1）点B的坐标为（3，1）（2）y= x2+ x2（3）假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，（8分）过点P1作P1Mx轴，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC（10分）CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，1）；（11分）若以点A为直角顶点；则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP

8、2，（12分）过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2NCAO，（13分）NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x2上（16分）五、链接中考1、（2009年眉山）如图，已知直线yx+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线yx2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标 2、（2013年眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OBOC3，OAOD1，抛物线yax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M