乾洲教育在线

1、222椭圆的几何性质金坛市第四中学孙惠萍从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称.时间：2013年10月11日班级：高二(2 )班教学目标(1) 掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;(2) 掌握椭圆标准方程中 a、b、c、e的几何意义及相互关系;(3)感受如何运用方程研究曲线的几何性质.教学重点，难点 运用方程研究曲线的几何性质.教学过程.问题情境1.情境:复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中a、b、c的关系2.问题: 在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质.那么椭圆有哪些几 何性质呢?二.学生活动学生通过椭圆的标准方程,以及椭圆的图

2、象尝试观察a、b、c在图象中的体现.三.建构数学1 .范围由方程2 2Xy右+= 1可知，椭圆上点的坐标(X, y)都适合不等式ab这说明椭圆位于直线2xT才a2/2即X2兰a2，所以IX兰a .同理可得I y兰b .=a和y = b所围成的矩形内.2.对称性:2 2X y从方程上看：(1)把X换成-X方程不变，说明当点P(X, y)在椭圆上时，点P关a b于y轴的对称点P (-X, y)也在椭圆上，所以椭圆的图象关于y轴对称;(2)把y换成-y方程不变，所以椭圆的图象关于y轴对称;(3) 把x换成-X，同时把y换成-y方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称.综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原

3、点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3 .顶点:2 2在方程 笃+每=1中，令X =0 ,得y = b，说明点Bi(0, b) , B2(0,b)是椭圆与y轴的 a b两个交点.同理 A(,0) , A2(a,0)是椭圆与X轴的两个交点.(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点; 长轴、短轴：线段A,、线段B2分别叫椭圆的长轴和短轴， 它们的长分别等于 2a和2b ； (3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长.4.离心率:C椭圆的焦距与长轴长的比 e=，叫做椭圆的离心率.a说明：(1)因为aACAO,所以0ve1.(2) e越接近，则C越接近a，从而b

4、 = va2 -C2越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0 , C越接近于0 ,从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆;(3)当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆;(4) 试让学生通过探究 -的大小变化来发现扁的程度.a四.数学运用 1.例题:2 2例1 .求椭圆=1的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这259个椭圆.分析：由椭圆的标准方程y =3所围成的矩形内.22x y一+二=1可知a =5 , b=3，则椭圆位于四条直线 x = 5 ,259又椭圆以两坐标轴为对称轴， 所以只要画出第一象限的图形

5、就可以画出整个图象.解：根据椭圆的方程2 x252+ =1，得 a=5 , b=3 , c= J25 -9 = 4 .因此，长轴长 2a = 10,9短轴2b =6 .焦点为 Fi(4, 0和 F2(4,O)，顶点为 A(5, 0),A(5,0),B(0,3), B2(O,3).c 4离心率e = = = 08.a 533 t将方程变形为y =-J25-x2，根据y = J25-x2算出椭圆在第一象限的几个点的坐标:55x02345y32.942.752.41.80说明：本题在画图时，禾U用了椭圆的对称性，禾U用图形的几何性质，可以简化画图过程,保证图形的准确性.根据椭圆的几何性质，用下面方法

6、可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.例2 .求符合下列条件的椭圆标准方程:(1)焦距为8，离心率为0.8.(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为5/10-5/5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直.解：(1)由题意：因为 2c =8，所以C2c = 4 ;又因为一=0.8，所以a=5，所以b =9 ,a2焦点在x轴上时椭圆标准方程：一+ $252厂1;焦点在y轴上时椭圆标准方程:22.259(2)由题意：,a2=b2+c2，所以解得 a2 =10 , b2 = 5 ,22H1.1052焦点在x轴上时椭圆