《微积分》复习大纲

1、微积分（下）教案第六章 定积分教学目的和要求：1、了解定积分的概念及存在定理， 理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿 -莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点：1、牛顿 -莱布尼兹公式2、定积分的换元法和分部积分法难点：1、定积分的概念2、积分上限函数的概念与应用3、定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节 定积分的概念和性质教学目的和要求：1 、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从 有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题 的

2、能力。2、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应 的数学问题。3、理解定积分的基本性质和中值定理重点：定积分的概念教学过程：一、问题的提出1、几何上，曲边梯形的面积（1）曲边梯形的特征（2）面积的计算方法2、物理上，变速直线运动的路程注：让学生比较两个问题的共性（1）解决问题步骤相同（ 2）所求量的结构式相同二、定积分的定义1、定义注意问题（ 1）在定义中，区间的划分和点选取的任意性（ 2）所划分的区间长度的最大值趋于零和所分区间无穷多之间的关系（3）定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的写法无关（4） 定积分的实质是特殊和式的极限2、定积分存在的

3、条件3、定积分的几何意义四、小结教学目的和要求：1、理解定积分的基本性质和中值定理2、使学生能用定积分的性质进行估值、比较大小重点：定积分的基本性质教学过程 ：一、定积分的性质1、线性性质（ 1）2、线性性质（ 2）3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式7、定积分的中值定理注意问题：bL f(x)dx(1)可以把f()理解为f (x)在a,b上的平均值b a、例题分析例1:估计积分； dx的值3 sinx注：本题考察估值不等式性质例2 :估计积分jr2Sinx4dx的值注：本题在考察估值不等式性质的同时，复习了求最值的方法1 1例3:比较Qxdx

4、和n(1 x)dx的值注：本题考察不等式性质小结第一节微积分基本定理教学目的和要求：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式 (牛顿-莱布尼茨公式)，会用这个公式求一些函数的定积分重点：1积分上限函数的定义及其性质2、牛顿-莱布尼茨公式教学过程：一、问题的引入1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系二、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质注意问题(1)积分上限函数的导数公式的几种重要变形3、原函数存在定理注意问题(1) 定理的一个意义在于肯定了连续函数的原函数是存在的(2) 定理的另一意义在于揭示了定积分与原函数之间的关系三、牛顿-莱布尼

5、茨公式注意问题(1)求定积分实际上转化为求原函数的问题四、例题分析2工0dx例 1:求下列定积分 (1) (2cosx si nx-1)dx ( 2)20二 x2 +2x + 2注：本题考察牛顿-莱布尼兹公式例2:求下列函数的导数 r tsint2 dt (2)f xsi n dt0 1 + cos t10 1 + c o st注：本题考察积分上限函数的性质例3:计算曲线y=sinx在0,二上与x轴所围成的平面图形的面积注：本题考察牛顿-莱布尼兹公式的应用，并同时考察定积分的几何意义例 4： f (x) = *2x 0兰x兰15 1x22，求 0f(x)dx注：本题考察定积分的区间可加性1 _

6、,2e dt例5：cosx2注：本题考察积分上限函数的导数和洛必达法则xtf (t)dt 例6:设f(x)在(一 ：，：)内连续，且f(x) . 0 ,求证：函数F(x)= 在( f(t)dt(0,=)内为单调增加函数注：本题考察商的导数，积分上限函数导数，单增函数的判定，引导学生将所学知识有机结合五、小结第一节定积分的换元法教学目的和要求：1使学生掌握定积分的换元法重点：1定积分的换元法教学过程：一、定积分的换元法注：第一类换元积分法：新变量不必明显引入，不涉及到积分限的问题(2)第二类换元积分法：需引入新的变量，而且换元要换限二、例题分析麥 5例 1:计算.0 cos xsin xdx注：

7、本题考察定积分换元法，可以不必引入新变量例 2:计算:.sin3x-sin5 xdx.注：本题考察定积分换元法，不必引入新变量，由于开方加绝对值，还要应用区间可 加性例3：计算(a 0)注：本题考察定积分换元法，需要引入新变量，换元要换限例4:当f(x)在-a, a上连续，且aa f(x)为偶函数，则 a f(x)dx =2 0 f(x)dxa f(x)为奇函数，则 f (x)dx =0注：本题结果可以作为结论使用，但要注意必须满足三个条件：连续、奇偶函数、对 称区间21 2x xcosx ,例5:计算 dxJ 1+Jl-x2注：例3的应用例 6:若 f (x)在0,1上连续，证明(1) 0

8、f (sin x)dx f (cos x)dx(2)xf (sinx)dxf (sinx)dx，由此计算xsinx dx02 010 1 + cos x注：本题可作为结论用四、小结定积分的分部积分法教学目的和要求：1、使学生掌握定积分的分部积分法重点：1、定积分的分部积分法教学过程：一、定积分的分部积分法注：定积分分部积分法与不定积分的分部积分法之区别二、例题分析丄例 1 ：计算arcsin xdx-注：本题考察定积分分部积分法例2：计算只xdx0 1 +cos2x注：本题考察定积分分部积分法，要进行适当变形1 .2 xarcsinx ,例3:计算2i dxJ Jlx2注：本题可以采用两种方法

9、，一是运用分部积分法；一是运用换元法，可以比较选用例4:证明定积分公式并 nsin xdx =2二ncos xdxn -1n -331兀nn -2422n -1n -342nn -25J3n为正偶数n为大于1的正奇数注：本题结果可以作为结论使用x2 sinti例 5:设 f(x) = 厂dt,求xf(x)dx.注：本题考察分部积分法和积分上限函数性质三、小结第一节广义积分教学目的和要求:1、使学生理解广义积分实际上是普通定积分的极限，并会求解广义积分2、培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力 重点：1、广义积分的识别与计算教学过程：、广义积分的计算1、无穷限的广义积分2、无界函数的

10、广义积分、例题分析dx计算广义积分-dx7円+x2注：本题考察无穷限广义积分计算八11例2：计算广义积分 /-2 sindx王xx注：本题考察无穷限广义积分计算和分部积分法例3:证明广义积分 -P dx当p .1时收敛，p冬1时发散x注：本题考察无穷限广义积分的定义和计算例4：计算广义积分-adL=.（“0）pa -x注：本题考察无界函数广义积分的定义和计算例5:计算广义积分2 dx1 xln x注：本题考察无界函数广义积分的计算和分部积分法i 1例6:证明广义积分。qdx当q : 1时收敛，当q _1时发散x注：本题考察无界函数广义积分的定义和计算小结第一节定积分的应用教学目的和要求：1.

11、理解定积分应用于几何、物理问题时，元素法中的面积元素、体积元素、功元素等元 素在坐标系中的表达式，是列出积分式的关键。2. 学习用定积分的知识求解一些实际问题，同时可以对定积分有更充分的理解。3. 掌握（直角坐标系、极坐标系）面积，体积，弧长，变力作功的计算方法。重点：在直角坐标系中列出所求问题的积分式难点：建立合适的坐标系，元素的表示。定积分的元素法教学目的和要求：回顾定积分的引出和定义，理解被积表达式就是元素。定积分概念的巩固，对元素法的 运用有利。重点：搭建出元素法的基本框架教学过程：从讨论过的曲边梯形的面积开始，分割一大化小，乘积一常代变，近似求和， 再取极限。注意：突出面积元素f（x

12、）dx是所分割面积元的近似值，是积分式中的被积 表达式。以曲边梯形的面积为例，说明函数在坐标系中有确切的位置和形状， 面积元的分割法与坐标系有关，积分限与闭区间有关。面积还符合一个条件：具有可加性。定积分在几何学上的应用教学目的和要求：1. 通过平面面积的计算，领会坐标系是为计算方便服务的。面积形状各不相同，但采用面积元素法的方法是相同的。同时掌握积分上、下限的确定（直角坐标系、极坐标系）。2. 通过旋转体体积的求法，学会体积元素的确定（两种：薄圆片和薄圆筒）。已知横截面 积求体积的思想应掌握，以后二重积分还要用到。3. 通过计算平面光滑曲线弧长 （虽然积分式繁一点， 但是理解起来很直观），进

13、一步体会 微积分是个很有用的工具。4. 掌握面积、体积、弧长的计算方法。重点：直角坐标系中面积、体积、弧长的求法，极坐标系中面积的求法。分割元素，如何列式是重点，积分方法是前一章的知识。难点：极坐标系中求面积，弧长。直角坐标系中选薄圆筒为旋转体体积的体积元素教学过程：通过例题分析介绍元素法一、平面图形的面积1. 直角坐标系例1:计算由两条抛物线： y y =x2所围成图形的面积。注：求两条抛物线的交点，确定图形范围，就是确定面积元素的范围，从而确定积分上、 下限。窄长条与坐标轴平行，让学生确定它的长和宽。如果面积元素与坐标轴不平行，行不行？分别以x和y为自变量，方法与式子结构完全一样。积分上、

14、下限是自变量的变化范围。例2.：计算抛物线 寸=2x与直线y = x4所围成图形的面积。注：分别以x和y为自变量列式求解，比较它们的不同。本题当以x为自变量时，面积元素不能用一个表达式来表示，须分别求两块面积，再求和。2 2例3:求椭圆笃与所围成图形的面积。a b注：利用对称性，利用椭圆的参数方程进行定积分换元法，可以使求解过程简捷。再按直角坐标系找出 y的显函数，列出积分式，比较繁与简。例4:求摆线x=a（t - sint）, y =a（1 - cost）的一拱与X轴所围成平面图形的面积。其中（a0）注:介绍摆线（旋轮线），一拱对应t=2二a。巩固前面的方法。2. 极坐标系当面积的边界曲线用

15、极坐标形式表示时，把它放在极坐标系中计算比较方便。画图，利用扇形面积公式，写出中心角为 d，的曲边扇形（面积元素）的面积近似表达式，的变化范围对应积分限。例5:计算双纽线;?2 =a2cos2 所围成图形的面积。（a0）例6:计算心形线=a（1 cos所围成图形的面积。（a0）例7:计算阿基米德螺线二a 所围成图形的面积。（a0）注：让学生学会抓住列定积分式的关键。二、体积1. 旋转体的体积一般情况，闭区间a,b上连续曲线f（x）构成的曲边梯形绕 X轴旋转一周而成的立体，叫旋转体。用垂直于旋转轴的平行平面切割，得到的薄圆片就是体积用圆柱体体积公式近似。画图。例8:原点0,点P(h,r)，得直线

16、0P,与X轴、x = h围成三角形，绕X轴 一周成圆锥体，其半径为r，高为h，计算该圆锥体的体积。注：强调体积元素就是被积表达式。例9：计算摆线x =a(t si nt),y =a(1cost)的一拱，直线y=0所围图形分别绕X轴、丫轴旋转一周而成的旋转体的体积。注：求绕Y轴旋转时，可以介绍两种分割体积元素的方法方法一：用垂直Y轴的平行平面切割，薄片的厚度dy，薄片的面积是个圆环。或者看成两个旋转体积相减，列出式子基本相同。 说明体积具有可加性。方法二：把旋转体看成由一系列高度不同，以Y轴为旋转轴的薄壁圆筒嵌套而成，每个圆筒是体积元素。或者解释为，平面一拱上宽度为dx的面积元素，绕 Y轴一周扫

17、过的体积，说明圆筒壁厚为 dx。体积元素复杂一点，积分过程有可能简单一点。2. 平行截面面积为已知的立体的体积在a,b内任一 x处，已知立体的垂直于X轴的截面面积，就是已知面积函 数 A ( x)o同上面旋转体体积元素表示方法一样，每片的厚度dx，x处体积元素V : A(x)dx，按给定区间积分。例10: 一平面经过半径为R的圆柱体底面直径，与底面交角 二计算这平面截圆 柱体之立体体积例11:求半径为R的圆作底，平行且等于圆直径的线段为顶,高为h的正劈锥 体的体注：元素法基本明白了 这里，在哪个方向取平行截面，利于找到面积函数上升为主要矛盾 原则是这个立体放在坐标系里不能太任意 ，自变量沿坐标

18、轴方向，垂直于该轴的任一截面面积应 易于表示三、平面曲线的弧长平面光滑曲线对应具有一阶导数的函数， 可以用直角坐标方程，参数方程或 极坐标方程来表示。若求给定区间内弧线长度，取任一微小弧段作为弧长元素， 基本 思想仍是“以直代曲”一一自变量dx对应的微小弧段上的弦长代替该弧长，然后求 和(积分)即可。下面一种方程配一道例题，1. 直角坐标方程画图，推导弧长元素微分表达式，列出定积分式。2 3例12:计算曲线y上x2 上, x从a到b的一段弧的长度。32. 参数方程推导弧长元素的参数形式微分表达式，列出定积分式。2 2 2例13：求星形线x3 y3 =a3 (a 0)的全长。3. 极坐标方程推导

19、弧长元素极坐标形式微分表达式，列出定积分式。例14：求阿基米德螺线=a (a 0)相应于二从0到2二的弧长注：三种方程推出的公式不大一样，似乎比较繁，但是指导思想是直观的，清晰的。关 键是抓住弧长元素。四、小结：五、练习题：七、无穷级数常数项级数的概念与性质教学目标：1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件重点难点：级数概念及其敛散性教学活动：问题的提出 1、计算圆的面积（正多边形的面积）2、+ lll122 3n3 10 100 100010n级数的概念1、级数的定义2、级数的收敛与发散常数项级数收敛（发散）=lim

20、 Sn 存在（不存在）3、例题qQ例1讨论等比级数(几何级数)v aqn = a aq aq2 11aqn 1() (a = 0)n=0的收敛性.例2判别无穷级数v 22乜7的收敛性.n =1例3判别无穷级数I的收敛性- 例4试把循环小数2.317 =2.3171717川表示成分数的形式I 51例5求级数瓦一5 +丄的和. nZ（n+1）2n ）三基本性质1、级数的每一项同乘一个不为零的常数，敛散性不变.2、 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.3、 级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.4、收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和5、收敛的必要条件CO、n 4oO；(2)、n 4例6.判断下

21、列级数的敛散性，若收敛求其和：132n 3n 2n 四小结（基本审敛法） 1、由定义,若Sn -； S ,则级数收敛；2、当lim Un = 0,则级数发散;n_jpc3、基本性质. 常数项级数的审敛法教学目标：1掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法，会用根值审敛法.2、掌握p级数的收敛与发散条件.3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质重点难点：常数项级数的审敛法教学活动：一正项级数及其审敛法1、正项级数的定义2、正项级数收敛的充要条件：3、比较审敛法（极限审敛法）4、比值审敛法（达朗贝尔D Alembert判别法）5、根值审敛法（柯西判别法）&例题1111例1讨

22、论p-级数1 -p -p -7-7 Ih的收敛性.（P 0）2p 3p 4pnp例2判别下列级数的敛散性0(1尸n 41、n(n 1)oO,(2)、n 4r2，n(n 1) n 4例3设Un 0, Vn 0, lim Un二0,则下列结论哪一个正确FVn(1) & 收敛= Un收敛 & 收敛=Un发散 nnWn$nz!qQqQOOqQ(3)二发散=二Un发散(4)、U收敛=二收敛.n=1nJnJnJqQqQ例4已知an? cn均收敛，且n n =1qQanrbn二Cn,证明V bn也收敛n =1例5判定下列级数的敛散性：(1) sin1 ; (2) ”n 1 nn吕3n(3)总&ln亡心Jn十

23、1 n例6判别下列级数的收敛性：00 1：用(2)n10n1 - 心(2 n -1) 2n1、n例7判别下列级数的敛散性二 l2 ;(2)、(arcsin1)nJ n =1n二交错级数及其审敛法1、定义2、 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件：(i ) Un -Un 1 (n =1,23);( li) lim Un = 0,n则级数收敛，且其和s=U|,其余项rn的绝对值rn二Unm3、例题例1判别下列级数的敛散性2 n(1)、(-1)(百-、.n)(2p (-丄 (-1)n1 nztn【“nln!例2判别级数二（，）n川的收敛性.n仝 n -1三绝对收敛与条件收敛1、定义2、定理3、例题例1判

24、别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?O0AOO（1尸（l）n1-（2）、 （1）n（ .n 1 n）:-n（n J）10n （-1）2不 nW2n4ln（n 1）心cos n 二n3 noO、n =1a -例2判别级数S-的收敛性.nV n例3判别下列级数的敛散性O01O02n（1）、sin（n二）；（2）、（-1）心-3；n 吕Innn1111 1 1 -川2 -12 1,3-13 15-15 1qQ例4判别级数n =2m的敛散性n M）n四小结1、判别送un的敛散性，送un收敛，则送un收敛，而送|un可用正项级数判别法2、若送un的发散，其发散性的判别若用的是比值法或根值

25、法， 则 limun =0,故un 发散。若发散性的判别用的是比较法，但un为交错级数，可用莱布尼兹准则3、若a山不是交错级数或是交错级数但不符合莱布尼兹准则的条件, 可否有 lim.Szn = Iim_S2n -n 丨n 卩 幕级数教学目标：1、了解幕级数收敛域的结构及幕级数的和函数的概念2、 掌握一些幕级数的收敛半径和收敛区间的求法，会求一些简单幕级数的和函数3、 了解函数展开为幕级数的充分必要条件，掌握ex,sin x,cosx,ln(1 x)，(1 x) 的麦克劳林展开式，并利用它们将一些简单函数间接展开为幕级数重点：幕级数的收敛半径和收敛区间及幕级数的和函数难点：函数展开为幕级数教学

26、活动：一函数项级数的一般概念1、定义2、收敛点、收敛域3、和函数二幕级数及其收敛性1、定义2、收敛性定理3、例题例1求级数a上()n的收敛域.n 1+x旳2n1、(-1)n 2-(x_2)n.n tj n2例2求下列幕级数的收敛区间：，n二 nn X-n X(-1)； (-nx) ;(3);nnn3nn!oO x2n -1 求幂级数二的收敛区间.qQ例4设an(x-1)n在x, =3发散，在x2 =1处收敛，求收敛半径。n z0三幕级数的运算性质四幕级数的和函数oO1、幕级数J anXn的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内连续，在端点收敛，则在端点n =0单侧连续cd2、幕级数a anxn

27、的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可积，且对-(-R,R)可逐n 项积分.3、幕级数anXn的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可导，并可逐项求导任意次n=04、例题:_n例5求级数a (-1)心的和函数.n=inqQ例6求幕级数7 (2n 1)xn的和函数.n =0例7求二叫的和.心2n五常用已知和函数的幕级数六泰勒级数定义定理七函数展开成幕级数1、直接法2、间接法 (1)利用已知展式作间接展开时，必须注意已知展式的收敛区间问题3、(2) 如果f (x)八anxn( -R ： x ： R)在该区间的端点x二R(x二-R)仍收敛而f(x) n z0在x二R(-R)有定义且连续，那么根

28、据幕级数的和函数的连续性，该展开式对x = R(x 二-R)也成立。3、例题例1将f(xex开成幕级数例2将f (x)二sin x展开成x的幕级数.例3将f(x) =(1 x)(R)展开成x的幕级数.例4将f (x . x5 4x4展开成x的幕级数.例5将f(x)=sin xcos2x展开成x的幕级数.例6将f(x) =1 n(1 x x )展开成x的幕级数.例7将f (x)二匸1在x =1处展开成泰勒级数(展开成x-1的幕级数)并求f(n)(1).4 x八、多元函数微分法及其应用多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有 界闭区域上连续函

29、数的性质 .重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学活动：一多元函数的概念1、平面点集(邻域、聚点、区域)，n维空间2、二元函数的概念(定义、图形)3、例题例1求函数zXln(x的定义域例2求 仃 、arcsin(3 - x2 - y的定义域.f (x, y) =2例3设z=xf y ,其中X；0,当x时，z-厂试确定f及乙 lx丿例 4 设 f(x y,t) =x2 -y2,求f (x,y)x二多元函数的极限1、定义注：二元函数极限与一元函数极限的区别和联系(1)二元函数的极限也叫二重极限x哩 f(X,y)；y yo(2)(3)函数在点的极限存在与该函数在此点是否有定

30、义没有关系。P的方P式是任意的；二元函数的极限运算法则与一元函数类似.定义中(5)f与累次极限x xyTy0不同如果它们都存在重极限lim lim f (x,y)及 lim lim f (x,y)xo yy0yy0 sx0,则三者相等仅知其中一个存在，推不出其它二者存在2、例题例5 求证lim( x2y2)sin =0xt02 x + y例6 求极限 打爲sin(x y)马 x2 + y2 二元函数求极限的方法:总的原则是化为一元函数的极限。常用的有：定义、代换成一元函数、夹逼准则、重要极限、应用连续性等。例7求下列极限xy2摆lx2+y2丿x21 xm1 1(4)lim( x y)sin -

31、 sin-.；0)x y(5)lim 兰汽 2 2 y 50 (x y )x y22 x2 y2(3)lim( x+y ) yy)02 . 2、y )3、确定极限不存在的方法：(1令P(x,y)沿y=kx趋向于Po(x。，y。)，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，使lim f(x,y)存在，但两者不相等，此时也可断言y yof (x,y)在点Po(x。, yo)处极限不存在.例8证明下列极限不存在3讥-6x 0 x 亠 yy)o 三多元函数的连续性1、定义(连续、间断点)2、例题例9讨论函数f (x, y)=33xy22xy0,(x,八(0,0)在(0,0)处的连

32、续性.(x, y)=(o,o)例10讨论函数f (x, y)=xyx2 y20,x2 y2 = 0在(0,0)的连续性.x2 y2 二 0注：注意以上两例的讨论方法3、性质(1) 最大最小值定理(2) 介值定理(3) 一致连续性定理四小结1、多元函数极限的概念(注意趋近方式的任意性)2、多元函数连续的概念3、闭区域上连续函数的性质 偏导数教学目标:1理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和高阶偏导数的求法2、了解偏导数存在与连续的关系以及的几何意义，了解混合偏导数与求导次序无关的充分 条件.重点：偏导数的概念难点：偏导数计算教学活动：一偏导数的定义及其计算法1、定义注意:fx(xo,y)lim.

33、x0f (Xo ：x, yo) - f (Xo, yo)Zf(x, yo) xdx2、例题例1求z=x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数.AL例 2 设 z = xy(x 0以=1),求证：三 -*=2zy ex In x cyx-例 3 设 z 二 arcsin . 22，求二，三寸 X + yex cy例4已知理想气体的状态方程pV二RT ( R为常数)，求证:3、有关偏导数的几点说明：u(1) 偏导数是一个整体记号，不能拆分；x(2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;(3) 偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导则该点连续，而多元函数中在某点偏导数存在，则未必在该点连续

34、，(4)偏导数的几何意义：偏导数fx(x0, y0)就是曲面被平面y =： y0所截得的曲线在点 M 0处的切线MoTx对x轴的斜率.偏导数fy(xo，y)就是曲面被平面 x = x所截得的曲线在点M 0处的切线M 0Ty对y轴的斜率.r2丄 2L = x 全微分y例6曲线4,在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？y =4二高阶偏导数1、例题例 7 设 z = x3y2 -3xy3xy 1，求与土，仝，窪土ex cycx exey cy ex例8设u二eaxcosby，求二阶偏导数.2、问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等?3、定理如果函数z二f (x,

35、 y)的两个二阶混合偏导数-2 z 及；：2z在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 三小结1、偏导数的定义(偏增量比的极限)2、偏导数的计算、偏导数的几何意义3、高阶偏导数(混合偏导相等的条件)四思考题若函数f (x, y)在点Poy。)连续，能否断定f (x,y)在点F0(Xo,yo) 的偏导数必定存在?教学目标：1理解多元函数全微分的概念，掌握全微分的求法2、理解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用重点：全微分的概念难点：可微的条件教学活动：一全微分的定义1、全增量的概念2、全微分的定义二可微的条件1、定理1 （必要条件）说明：多元函数的各偏导

36、数存在并不能保证全微分存在2、定理2（充分条件）3、例题例i计算函数“ e在点（2,1）处的全微分.例 2 求函数 z=ycos（x-2y），当31y =加，dx , dy =恵时的全微分.4例3计算函数u =xsin# eyz的全微分.2r 1xysin= , (x, y) = (0,0)例4试证函数f (x, y). x2 y2在点(0,0)连续且偏导数存0,(x,y) =(0,0)在，但偏导数在点（0,0）不连续，而f在点（0,0）可微注：可微与连续的关系：如果函数Z= f（x,y）在点（x, y）可微分，则函数在该点连续.即可微一定连续，但反之未必成立。4、全微分在近似计算中的应用例5

37、小结1、多元函数全微分的概念；2、多元函数全微分的求法；3、多元函数连续、可导、可微的关系.(与一元函数有很大区别) 多元复合函数的求导法则教学目标：掌握各种情况下的多元复合函数偏导数的求法重点难点：复合函数偏导数教学活动：一链式法则1、定理1 (中间变量均为一元函数)注：若定理中f(u,v)在点(u ,v)偏导数连续减弱为偏导数存在 ，则定理结论不一定成立2、定理2 (中间变量均为多元函数)3、例题例 1 设 z = eu sin v，而 u = xy， v = x y，求Z 和三.excypl 例 2 设 uv sint，而 u 二 ，v = cost，求全导数一.dt例 3 设 u =

38、ex? y2，, z = x2 sin y 求-，-ex cy例 4 设 w = f (x y 乙 xyz)，具有二阶连续偏导数，求2:w w 和 - -x :x-Z1全微分形式不变性例5设u = f (x, y的所有二阶偏导连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式f 口2,Q u(2)工x丿回丿全微分形式不变形的实质：无论z=f(u,v)是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的.例；利用全微分形式不变性再解例1.三小结1、 链式法则(分三种情况)(特别要注意课中所讲的特殊情 况)2、全微分形式不变性(理解其实质)四思考题：设 Z 二 f (u,v,x)，而 u 二(

39、x)，v y (x)，dz_f du:. f dv:. fdzf则，试冋一与一是否相同？为什么？dx: u dx: v dx:xdx: x 多元函数极值及其求法教学目标：1理解多元函数极值和条件级值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解多元函数极值存在的充分条件.2、掌握求二元函数的极值以及运用拉格朗日乘数法求条件极值的方法3、会求二元函数的最大值和最小值，并解决一些实际问题重点难点：二元函数极值及其求法教学活动：一问题的提出例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可 卖出70 -5x

40、4y瓶本地牌子的果汁，80 6x -7y瓶外地牌子的果汁问：店主每 天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？多元函数的极值和最值1、二元函数极值的定义2、多元函数取得极值的条件(1)定理1 (必要条件)注：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点(2)定理2 (充分条件)3、多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在 D的边界上的最大值和最小值相互比较， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.三条件极值拉格朗日乘数法1、条件极值：对自变量有附加条件的极值.2、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况3、例题例1函数z =3x

41、2 4y2在(0,0)处有极小值.例 2 求函数 f (x, y) = x3 - y3 3x2 3y2 - 9x的极值。例3求由方程x2 y2 z2 -2x 2y -4z -10 = 0确定的函数z= f (x, y)的极值。例4.讨论函数z=x3 y3及z = (x2，y2)2在点(0,0)是否取得极值.例5求二元函数z = f (x, y)二x2y(4 -x - y)在直线x y = 6 , X轴和Y轴所围成的闭区域D例6求z =2的最大值和最小值.x2 +y2 +1例7将正数12分成三个正数x, y,z之和 使得u=x3y2z为最大.2 2 2例8在第一卦限内作椭球面 笃爲-Z2 =1的

42、切平面，使切平面与三个坐标面 a b c所围成的四面体体积最小，求切点坐标Hz 二 x2 y2例9求曲线 1上到xoy面距离最短的点。四小结1、多元函数的极值(取得极值的必要条件、充分条件、求函数 z = f(x,y)极值的一般步骤)2、多元函数的最值3、拉格朗日乘数法五思考题若f(xo, y)及f (x, yo)在(xo, yo)点均取得极值，则f (x, y)在点(x, y)是否也取得极值？二重积分的概念与性质教学目的和要求：1、 通过对曲顶柱体体积以及平面薄片质量的计算实例引入二重积分的概念，从中领会“有限到无限”、“特殊到一般”的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学知识解决实际问

43、题的能力。2、 使学生掌握二重积分的定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。重点：二重积分的概念教学过程：一、 问题的提出1、几何上，曲顶柱体体积的计算(1) 曲顶柱体的特征(2) 体积的计算方法2、物理上，平面薄片质量的求法注：让学生比较两个问题的共性(1) 解决问题的步骤相同，“大化小，常代变，近似和，取极限”(2) 所求量的结构式相同二重积分的定义1定义注意问题(1) 二重积分的定义和定积分定义的区别与联系(2) 在定义中，区域的划分和点选取的任意性(3) 若用平行于坐标轴的直线网划分区域时，小区域面积的表达方式(4) 所划分的小区域直径的最大值趋于零和面积的最大值趋于零

44、及所分小区 域无穷多之间的关系(5) 二重积分的值只与被积函数和积分区域有关，与积分变量的写法无关2、二重积分存在的充分条件3、二重积分的几何意义二重积分的性质1线性性质2、积分区域的可加性3、用二重积分求平面区域面积的公式4、二重积分的比较性质5、二重积分的估值性质6、二重积分的中值定理四、 例题分析例 1 求 II 4-x2 -y2dxdy，其中 D 为圆域：x2 y2 - 4D注：本题考察对几何意义的理解和运用2 2例2:不作计算，估计I = . .e(x y )dxdy的值，其中D为椭圆闭域：D2 2x y1, (0 : b ： a)a b注：本题考察最值的求法和二重积分估值性质的应用

45、。例3：比较积分In (x y)d；二与“l n(x y)Fd二的大小，其中D是三角形闭DD区域，三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0)注：本题考察二重积分比较性质的应用。强调区域相同被积函数不同；区域不同被积 函数相同情况下的比较方法；同时也可判别积分值的正负。二重积分的计算方法教学目的和要求：掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标) 重点：直角坐标和极坐标下二重积分的计算。难点：1. 坐标系的选取。2. 直角坐标下积分次序的交换和对称性的运用。一.利用直角坐标计算二重积分：1. X -型和Y -型积分域的特点。注：一般区域总可以分割成 X -型区域和Y -型区域。2. 积分限的

46、确定方法：1) 先画出积分区域。2) 定积分限的原则：先积后定限，外层常数见，域内画条线，先交写下限，后交写上限3. 二重积分的计算方法公式一一累次积分法。4. 二重积分计算时注意的问题：1) 确定坐标系选择、选择积分次序、确定积分限是关键。2) 注意何时、何类型的题目要交换积分次序。3) 如何利用奇偶性、对称性简化计算。4) 被积函数绝对值的处理：分块积分；利用对称性。5) 何时必须用分块积分。5. 例题分析：x21例1 .计算！ ！ -dxdy，其中D是由y=x, y= ,x = 2围成。D yx注：1)积分域类型2）积分限的确定。例2 .计算i ixydxdy，其中D是由y=x 2, y

47、2=x围成D注：1）积分域类型：既是 X -型，又是Y _型。2）比较两种计算方法的难易，从而得到什么启示？3）何时要分块？例3.求.x2edxdy，其中D是以0,0 , 1,1 , 0,1为顶点的三角形D注：1） e2dy ,sin-ydy这类无法用初等函数表示时，必须考虑积分次序。y2）有时给出了定好限的积分， 要求值时，往往考虑交换积分次序。3）由例2和例3，归纳何种类型题目要交换积分次序。例4 .设D是以1, 1 ,-1,1-，-1为顶点的三角形区域，求 = xy cosx si nx；c。D注：1）整个区域D没有对称性，但若化分后即有对称性。2）由于被积函数（或积分）有奇偶性，故据奇

48、偶性将D化分为对称域。3）利用对称性计算时应注意的问题。例 5.求 h = ex ydxdy和 12 二 ex ydxdy，其中 D : x y 1DD注：1）如何利用对称性。2）通过两个题比较，你得到什么启发?例6.计算x2db，其中D:1兰x兰1,0兰y兰1。D注：1）绝对值积分的处理。2）将D化分的原则。例7.求两个底圆半径相等的直交圆柱所围成立体的体积。注：1） 二重积分的几何意义。2）被积函数的表达式求法。3）对称性的利用。4）积分限的确定。例8.求球体x2 y2 z2 =4a2被圆柱面x2 y2ax a - 0所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。注：1）被积函数表达式。2）利

49、用对称性简单。3）不用对称性时应注意的事项。利用极坐标计算二重积分1公式注：d；换成 rdrd 二。2. 积分限的确定：注：1）极点在D之外。2）极点在D之内。3）极点在D的边界上。3. 极坐标计算适合的类型：1）积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）。2） 被积函数含有x2 y2的因子或为f x2 y2的形式。4. 例题分析：例1.写出I I f x,y dxdy的极坐标二次积分形式，其中积分区域 D :2221）xy- a a 0。2）x2y2_ 2x 或 x2y2_ 2y。2223）x y _ a a 0注: 1）考察圆心在平面上不同位置时，二的确定和r的确定。2）定r时，要从极点出发

50、，从域内做射线，善于从二的边界方程去解 。22 y.例2.计算.e今dxdy，其中D是中心在原点，半径为a的圆周所围注:1）先整理被积函数，将 e二提出。成的闭区域。例3.2）典型的用极坐标计算的题目。sin （兀寸x +y ）求Idxdy，其中D x, y 仁x2y2乞4dJx2 + y2注：1）从被积函数和区域 D的特点看要用极坐标计算2）可利用对称性：I =4h，其中Ii为D在第一象限的部分。三小结：二重积分计算应注意的问题：1选择适当的坐标系。2恰当选择积分次序。主要根据：积分区域的形状(画图分析)；被积函数 的特点。3. 对称性的应用 要求被积函数的奇偶性与积分域的对称性同时具备才可以用。九、微分方程 微分方程的概念及一阶微分方程的解法教学目标：1掌握微分方程概念(阶、解、通解、初始条件、特解)以及积分曲线的概念2、 掌握可分离变量微分方程的解法.3、掌握齐次方程和可化为齐次的方程的解法重点：微分方程的概念及解法难点：微分方程的应用教学活动：一问题的提出1、例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程2、 例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶，当制动时列车获得加速度 -0.4米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少