05第5章 摩擦

1、2021年年6月月7日星期一日星期一 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩静滑动摩擦力和最大静滑动摩擦力，静滑动摩 擦定律。擦定律。 考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临考虑摩擦时的平衡问题（解析法）。平衡的临 界状态和平衡范围。界状态和平衡范围。 难点难点 用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。用摩擦角的概念求解平衡问题（几何法）。 第第5章章 摩摩 擦擦 51 摩擦现象摩擦现象 52 滑动摩擦滑动摩擦 53 具有滑动摩擦的平衡问题具有滑动摩擦的平衡问题 54 滚动摩阻滚动摩阻 习题课习题课 第第5 5章章 摩摩 擦擦 5-1 5-1 摩擦现象

2、 为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟为什么赛车运动员起跑前要将车轮与地面摩擦生烟? ? 为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？ 用克丝钳剪断钢丝，如果钳子的角度太大的话，钢丝 就会滑出去。 挂扫把的简单装置固定纸片的装置 摩摩 擦擦 轮轮 传传 动（离动（离 合合 器）器） 前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 平衡必计摩擦 有害的一面：有害的一面：它是机械的多余阻力，使机械发热，引起 零部件的磨损，从而消耗能量，降低效率和使用寿命。 当物体沿支承面运动（或有运

3、动趋势）时，由于接触面间 凹凸不平，就产生了对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。 摩擦的物理本质是非常复杂的，目前尚未建立起完整的理 论。近似的说法一般认为摩擦产生的原因是： 接触面的凹凸 不平； 接触面间的分子吸引力。 二、摩擦产生的原因二、摩擦产生的原因 三、摩擦有害的一面和有利的一面三、摩擦有害的一面和有利的一面 有利的一面：有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、 夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。 一、摩擦力一、摩擦力 我们研究摩擦的目的，就是为了充分利用其有利的一面， 消除其有害的一面。 四、摩擦的分类 按物体 相互运动形式分 滑动摩擦 滚动摩擦 按有无 相对运动

4、分 静摩擦 动摩擦 按有无 润滑剂分 干摩擦 湿摩擦 临界平衡： FT 物块将滑未滑，F = Fmax 最大静 摩擦力 （FT 再略微物块开始滑动） 定义定义：相互接触的物体，产生相对滑动趋势时，其接 触面间产生的阻碍物体运动的力叫静滑动摩擦力。简称静摩 5-25-2 滑动摩擦滑动摩擦 一、静滑动摩擦一、静滑动摩擦 静滑动摩擦力静滑动摩擦力 物块状态物块状态： 静止： F = FT， （ FT , F , F 不是固定值） ,0 x F 擦力。 （ 它是接触面对物体作用的切向约束反力） max 0FF fs 称为静摩擦系数，它主要取决于相互接触表面的材料性 质和表面状况（如光洁度、润滑情况以及

5、温度、湿度等）。精 确的实验指出它还与接触面间的压强及接触时间有关。 Nsmax FfF 静摩擦定律（库伦摩擦定律）静摩擦定律（库伦摩擦定律） 极限静摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或极限静摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或 法向约束反力）成正比，即法向约束反力）成正比，即 静摩擦力特征：静摩擦力特征： 大小： （范围值） 方向： 0 x F 满足 与物体相对滑动趋势方向相反 加大正压力FN, 加大摩擦系数 fs 增大摩擦力的途径为： 3、静摩擦系数的测定方法、静摩擦系数的测定方法(倾斜法倾斜法) 两种材料做成物体 和可动平面,测沿斜面滑 动时的静止角 。 即欲测的静摩擦因

6、数 等于静止角的正切。 s N Ns N max tanf F Ff F F W O 4、静摩擦角与自锁现象、静摩擦角与自锁现象 静摩擦角静摩擦角 全约束力：全约束力：法向约束反力和切向的静摩擦力的合 力 FR 称为支承面的全约束力。 静摩擦角：静摩擦角：全约束力与支撑面的法线的夹角 将随主动 力的变化而变化，而临界平衡时的夹角 m 称为静摩擦角静摩擦角。 计算：计算： 0 m s N max tanf F F m 若使水平力FT在水平 面内任意改变，则相应的 最大静摩擦力Fmax以及全 约束力FR的方向也将随之 发生变化; 这样临界平衡 时的全约束力的作用线形 成一个以接触点为定点、 顶角为

7、2 m 的锥面，该锥 体称为静摩擦锥静摩擦锥。 （4） 静摩擦锥静摩擦锥 FT 摩擦自锁：摩擦自锁：若所有主动力的合力的作用线位于摩擦角域 （5） 自锁现象自锁现象 自锁条件：自锁条件： 或锥域内时，不论该合力的数值 如何，物体总处于平衡状态，该 现象称为摩擦自锁摩擦自锁。 这种与力的大小无关，而与这种与力的大小无关，而与 摩擦角（或静摩擦因数）有关摩擦角（或静摩擦因数）有关 的平衡条件称为自锁条件。的平衡条件称为自锁条件。 m 动摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或动摩擦力的大小与两个相互接触物体间的正压力（或 法向约束反力）成正比，即法向约束反力）成正比，即 N FfF 二、动滑动

8、摩擦二、动滑动摩擦 动滑动摩擦力动滑动摩擦力 定义定义：相互接触的物体，产生相对滑动时，其接触面 间产生的阻碍物体运动的力叫动滑动摩擦力。简称动摩擦力。 动摩擦力特征：动摩擦力特征： 大小：无变化范围 方向：与物体相对滑动方向相反 动滑动摩擦定律动滑动摩擦定律 f 称为动摩擦系数，它主要与材料和表面状况（光洁度、 润滑情况以及温度、湿度等）有关，精确的实验指出它还与 相对滑动速度有关。f小于 f s，精度要求不高时取 f f s 20 5-3 5-3 具有滑动摩擦的平衡问题具有滑动摩擦的平衡问题 一、一、考虑摩擦平衡问题的特点考虑摩擦平衡问题的特点 受力分析时除应分析物体所受主动力、约束反力外

9、，还 应分析所受摩擦力。 摩擦力的方向一般不能假设，它与相对滑动趋势方向 相反。 除满足力系的平衡条件外，各处的摩擦力还必须满足摩 擦力的物理条件，即不等式FfsFN；平衡问题的解答往往是以 不等式表示的一个范围，称为平衡范围。 二、应用举例二、应用举例 W F1max Fmax FN x y 解：经验表明水平力过大，物块 上滑，而水平力太小，重力又可 能导致物块下滑。 1、考虑 物块上滑时的临界状态 受力分析如图。 Fx= 0， F1max cos W sin Fmax = 0 （1） Fy = 0，F1max sin + W cos FN = 0 （2） 补充： F max = fs FN

10、 （3） 式(3)代入式(1) fs (2)式 ,即 F1max (cos fs sin ) W (sin + fs cos ) = 0 得： W F1max Fmax FN W F1max Fmax FN 物块重为物块重为 W，放在倾角为，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的的斜面上，它与斜面间的 摩擦系数为摩擦系数为 fs，当物体处于平衡时，求水平力，当物体处于平衡时，求水平力 F1 的大小。的大小。 例例5-1 s 1max s sincos cossin f FW f 2、考虑物块下滑时 的临界状态 F1min x y W FN Fmax Fx = 0， F1min cos W sin +

11、 Fax = 0 （4） Fy = 0， F1min sin + W cos - FN = 0 （5） 补充： Fmax = f s FN （6） 式(6)代入式(4) + f s (5)式 ,即 F1min (cos + f s sin ) W (sin - f s cos ) = 0 得： F1min Fmax F1min Fmax 1min sincos cossin s s f FW f 1 sincossincos cossincossin ss ss ff WFW ff 最后得: 24 l若不计摩擦，即f s = 0 前面解得的结果就退化为唯一答案 F1 = W tan 这与直接用

12、平衡条件求解相同。 l特别注意： 从补充方程 F max = f s FN 可见，由于f s是正系 数，而FN方向恒确定，导致FN符号永正，这 意味着F max 总是正值。换言之， F max 方向确 定，绝不可随意画。 1 sincossincos cossincossin ss ss ff WFW ff 25 用几何法求例5-1：物块重为 W，放在倾角为 的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为 f s，当物体处于平衡时， 求水平力 F1 的大小。 1、考虑 物块上滑时的临界状 态，将法向反力和最大摩擦 力用全约束反力 FR 来代替。 W F1max FR 这时物块在 F1max 、W 和 FR三

13、个力的作用下平衡。 W F1max FR + 根据汇交力系平衡的几何条 件，画自封闭力三角形。 F1max 水平、W与法线的 夹角 ，而 FR与法线的夹角 为摩擦角 m 。 求得： F1max = W tan( + m) W F1max FR m W F1max FR W F1max FR + m 26 2、考虑物块下滑时的临界状态， 仍将法向反力和最大摩擦力用全 约束反力 FR 来代替。 W F1min FR W F1min FR 注意 FR 的位置，即 m 角与 角的关系。 若 m ，自锁。与题意不符 作自封闭力三角形。 - m F1min = W tan( m ) 合并情形1和2 W t

14、an( m ) F1 W tan( + m) 按三角公式展开，并以tan m =fs带入得 FR FR W F1min FR m FR - m 1 sincossincos cossincossin ss ss ff WFW ff 例例5-2 梯子长梯子长AB=l，重为，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数，若梯子与墙和地面的静摩擦系数fs, 试问梯子与水平线所成的倾角试问梯子与水平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？ 解：解： 研究梯子AB ； 受力分析： 考虑到梯子在临界平衡 状态有下滑趋势，作 受力图； 取Axy直角坐标； 列方程求解： 0sin2cos2cos

15、 , 0)( minNminmin aFaFWaFM BBA )2 2 tan(2cot tan2 tan1 tan mm m m 2 min 可见可见 0, 0 N ABx FFF 0, 0 N WFFF BAy AA FfF Ns BB FfF Ns 2 N 2 N 1 , 1 : s s B s A f Wf F f W F 解得 mmin 2 2 根据题意，倾角不可能大于90o 2 2 2 m 例例5-3 已知：已知：鼓轮重心位于鼓轮重心位于O1 处，重处，重 为为W的的物块与中心物块与中心 O1的距离为的距离为r，闸杆重量不计，摩擦因数为，闸杆重量不计，摩擦因数为fs，各尺寸如图，各

16、尺寸如图 所示。所示。 求：求：制动鼓轮所需铅直力制动鼓轮所需铅直力F。 30 解： 分离开、闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态 对鼓轮， 对闸杆， 且 而 解得 0 O M0cFbFFa sN 0 1 O M0 sT RFrF Nss FfF , Tss FWFF Raf cfbWr F s s )( 1 2d P1P2 A B CD W O 2 F1 F2 F N1 F N2 设圆柱有下滑的趋势,画受力图. 由对称性得: F N1 = F N2 = FNF1 = F2 = F Fy= 0 2Fcos + 2FNsin - W=0 (1) F = fs FN (2) 联立(1)和(2)式得

17、: N s 2 sincos W F f CD W P1 F N1 A C O F1 MO(F) = 0 1min cotcot N FrPd min s 2sincos Wr P df (2)求求P的极大值的极大值 当当P达到极大值时达到极大值时,圆柱有向上滑的趋势圆柱有向上滑的趋势.只只 要改变受力图中摩擦力的指向或改变要改变受力图中摩擦力的指向或改变 fs 前前 的符号即可的符号即可. m max s 2sincos Wr P df ss 2sincos2sincos WrWr P dfdf m m m m sin cos sin cos d Wr P d Wr 当角当角 m等于或大于等

18、于或大于 时时,无论无论P多大多大,圆柱不会向上滑圆柱不会向上滑 动而产生自锁现象动而产生自锁现象. 0, 0)( 0, 0 0, 0 T N T rFFM FWF FFF A y x 即但 5-4 滚动摩擦滚动摩擦 一、滚动摩阻力偶一、滚动摩阻力偶 实例：实例：设在水平面上有一滚子，重量为 W ，半径为r， 在其中心 O 上作用已水平力 FT ,对其受力分析看出一个问题， 即此物体静止平衡， 但没有完全满足平衡方程： （FT, F , F 不是固定值） FT与与F形成主动力偶。是什么样的力系与形成主动力偶。是什么样的力系与 该力偶平衡呢？该力偶平衡呢？ 定义定义：在接触面上，物体受分布力的作

19、用，这些力向 出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在 产生原因产生原因 力的作用下都会发生一些变形，如图：力的作用下都会发生一些变形，如图： 此力系向 A点简化 A 点简化，得到一个力 FN 和一个矩为 M 的力偶。力 FN 可分解 滚动摩擦力偶滚动摩擦力偶 （范围值）； max 0MM 与滚子半径无关。 max M 滚动摩擦力偶与主动力偶（滚动摩擦力偶与主动力偶（FT,F）相平衡。）相平衡。 为摩擦力 F 和法向反力 FN ，这个矩为 M 的力偶称为滚动摩滚动摩 擦力偶擦力偶。 最大滚动摩阻力偶矩最大滚动摩阻力偶矩 当主动力偶矩当

20、主动力偶矩 FT r 增大时增大时，滚动摩阻力偶矩滚动摩阻力偶矩M 也相应地增也相应地增 大大，到某一极限值到某一极限值Mmax为止为止，若若FT r 再略微增大再略微增大，轮即开始沿轮即开始沿 支承面滚动支承面滚动。此时的此时的Mmax称为称为最大滚动摩阻力偶矩最大滚动摩阻力偶矩。 滚动摩阻力偶特征滚动摩阻力偶特征 滚阻力偶M 随主动力偶（FT , F）的增大而增大; 关于滚动摩擦系数关于滚动摩擦系数 d d 的讨论的讨论 有长度量纲，单位一般用mm,cm； 与滚子和支承面的材料的 硬度和温度有关。 d 具有力偶臂的意义。 N FMd max 二、滚动摩擦定律二、滚动摩擦定律 定律定律 滚动

21、摩阻力偶矩的最大值滚动摩阻力偶矩的最大值 Mmax与与 两个相互接触物体间的正压力（或法两个相互接触物体间的正压力（或法 向约束反力）成正比，即向约束反力）成正比，即 从图中看出，滚动摩擦力偶从图中看出，滚动摩擦力偶Mmax 的力的力 偶臂正是偶臂正是d d（滚动摩擦系数），（滚动摩擦系数），所以，所以，d d 具具 有长度量纲有长度量纲。 由于滚阻系数很小，所以在工程中大由于滚阻系数很小，所以在工程中大 多数情况下滚动摩擦力偶不计，即滚动摩多数情况下滚动摩擦力偶不计，即滚动摩 擦忽略不计。擦忽略不计。 N F M d NN FdFdM 时：当 max MM 根据力线平移定理，将FN 和M 合

22、成一个力FN ，FN=FN dd h B O A 放置在水平面上的圆轮，半径为 r，重为W，在轮上 B点受一水平力 F 作用。已知AB = h，圆轮与水平面间的静摩擦 系数 fs，滚动摩擦系数 d 。问 F值多大才能维持圆轮的平衡？ F W Fs M FN 解：取轮为研究对象，受力如图 列平衡方程： Fx = 0 ，F - Fs = 0 Fy = 0 ，FN - W = 0 MA(F) = 0 ，M - F h = 0 解得： F = Fs ；FN = W 及 M = F h 静摩擦力Fs 需满足 0 Fs Fmax = fs FN 轮不滑动的条件是：F fs W 又静滚动摩阻力偶 M 需满足

23、 0 M Mmax = d FN 轮不滚动的条件是： 可见，要使轮不滚也不滑的条 件是 由于d / h 小于 fs，因此是否平 衡一般取决第二个条件。 换言之，滚比滑省力得多。 F W Fs M FN F W Fs M FN s FfWFW h d 及 FW h d 半径为 r，重为 W 的车轮，放置在倾斜的铁轨 上。已知铁轨倾角为 ，车轮与铁轨的滚动摩擦系数为 d 。 求要使车轮维持平衡， d 、 和 r 的关系。 x y r A O W FNFs 解： 取车轮为研究对象，受力如图。 选取坐标轴如图。 列平衡方程： MA(F) = 0，Wr sin - M = 0 Fy = 0，FN- W

24、cos = 0 解得： M = Wr sin ；FN= W cos 由于静摩阻力偶矩应满足： 0 M Mmax= d FN 因此得： Wr sin d W cos 即 这就是使车轮平衡必须满 足的条件，利用它可测定 滚阻系数。 M W FNFs M W FNFs M W FNFs M tan r d 例例1 作出下列各物体 的受力图 第第5 5章章 摩擦摩擦习题课习题课 P 最大时维持平 衡状态受力图； P 最小时维持平 衡状态受力图； 例例2 作出下列各物体的受力图 解：解： 研究B块， 例例3 已知：B块重Q=2000N， 与斜面的摩擦角 =15，A块与 水平面的摩擦系数f=0.4，不计

25、杆自重。求：使B 块不下滑， 物块A最小重量。 若使B块不下滑，临界平衡时： 0cossin , 0 max11 QFN Y 0cossin , 0 1max1 NFS X 再研究A块 11max1 NtgNfF ；N2000S解得： 0, 0FSX 0, 0PNY NfF N5000P解得： 与杆OC及水平面的摩擦系数 ， ，滚动摩擦40 A f20 B f 例例4 均质杆OC 长 l = 4m ，重 P =500N；轮重 W =300N， 不计。求拉动圆轮所需力 Q 的最小值。 解解： 研究 OC 杆 受力分析如图，列平 衡方程求解： , 0)(FmO 0 24 3 l P l N A 解

26、得： N333500 3 2 AA NN 研究轮 O1 若 A 点不动， maxBB FF 0, 0WNNY AB 解得：N633 B N 05 . 02 . 0, 0)( max1 BA FQFm N1276332 . 0 max BBB NfF 解得：N317 1 Q 若 B 点不动， maxAA FF 03 . 05 . 0, 0)( 2max QFFm AB N1333334 . 0 max AAA NfF 解得： N222 2 Q 因此取： N222 2min QQ 48 已知：已知： 其它尺寸如图；其它尺寸如图； 求：求： 拖车总重拖车总重P，车轮半径车轮半径R， 例例5 拉动拖车

27、最小牵引力拉动拖车最小牵引力F。（F平行于斜坡）平行于斜坡） 49 解：解： 取整体取整体 七个未知数。七个未知数。 能否用能否用 ， 作为补充方程作为补充方程? 0 x F0sinPFFF BsAs （1） 0 y F0cosPFF BNAN （2） 0 B M HPbPFhbaFANsincos)( 0 BA MM（3） BABNANBsAs MMFFFFF, ANA FMd（4） BNB FMd （5） ANsAs FfF BNsBs FfF 50 取前、后轮取前、后轮 七个方程联立解得七个方程联立解得 （7） 意味什么？意味什么？ 意味什么？意味什么？ 若若 ， 若若 ， 则则 ， 则

28、则 ， 若拖车总重若拖车总重P=40kN ， 车轮半径车轮半径 R=440mm ， 在水平路上行驶（在水平路上行驶（ =0 ），），=4.4mm 牵引力为总重的牵引力为总重的1。 0 1 O M 0RFM AsA（6） 0 2 O M 0RFM BsB )cos(sin min d R PF o 90 PF min o 0 P R F d min kN4 . 0 440 404 . 4 min P R F d 练习练习1 已知：Q=10N， f =0.1 , f =0.2 求：P=1 N；2N； 3N 时摩擦力F？ 解：解： max N,2 , 0 , N2FFPFXP由时 所以物体运动：此时

29、N1101 . 0NfF （平衡）（平衡） （临界平衡）（临界平衡） （物体运动）（物体运动） N2102 . 0 max NfF max N,1 , 0 , N1 FFPFXP由时 N2N3 ,N 3 max FPP时 练习练习2 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。 解：解： A不动（即i点不产 生 平移）求Q 由： 0, 0 max1 FTX 1max1 NfF A N2505005 . 0 max1 FT 求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 0, 0 1 A GNY N2505005 . 0T 0)cos1010(cossin10sin15QQT 分析轮有 0coscossin1015 22 QT N208 ) 5 4 1(10 25015 cos110 15 T Q 0)(FmE 由： E 点不产生水平位移 NfFF E max :即 QFmi可得由0)( N384 8 . 7 3000 : 068 . 13000 : 0)cos5 . 0cos(sin10)6 . 01000(2 . 015 0)5cos10(cossin10sin15 22 Q QQ QQ QQF 即 化简 ) 5 3 1000(QN 0