1.2.1充分与必要条件

1、1.2充分条件与必要条件 1.2.1充分条件与必要条件 【阅读教材】【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记充分条件与必要条件的根据下面的知识结构图阅读教材，并识记充分条件与必要条件的 概念，初步掌握判定的方法概念，初步掌握判定的方法. . 【知识链接】【知识链接】 1.1.命题的结构：命题的一般结构为命题的结构：命题的一般结构为“若若p p，则，则q”q”，其中，其中p p为条件，为条件，q q为为 结论结论. . 2.2.命题真假的判断方法：直接利用相关数学知识推理判断，或转化为命题真假的判断方法：直接利用相关数学知识推理判断，或转化为 逆否命题判断逆否命题判断. . 主题：主题

2、：充分条件和必要条件充分条件和必要条件 【自主认知】【自主认知】 1.1.判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关 系？系？ (1)(1)若若xaxa2 2+b+b2 2，则，则x2ab.x2ab. (2)(2)若若ab=0ab=0，则，则a=0.a=0. 提示：提示：(1)(1)为真命题，为真命题，(2)(2)为假命题，为假命题，(1)(1)为真命题说明：由条件为真命题说明：由条件 xaxa2 2+b+b2 2，通过推理可以得出结论，通过推理可以得出结论x2ab.x2ab. 2.2.以上条件和结论的关系是否对任意一个

3、以上条件和结论的关系是否对任意一个“若若p p，则，则q”q”的命题都成立？的命题都成立？ 提示：提示：都成立都成立. . 根据以上探究过程，试着写出充分条件与必要条件的概念：根据以上探究过程，试着写出充分条件与必要条件的概念： 一般地，一般地，_ _并且说并且说p p是是q q的的_，q q是是p p 的的_._. “若若p p，则，则q”q”为真命题，是指由为真命题，是指由p p通过推理可以得出通过推理可以得出q q，这，这 时我们就说时我们就说p p可推出可推出q q；记作；记作p pq q，充分条件充分条件 必要条件必要条件 【合作探究】【合作探究】 1.1.若若p p是是q q的充分

4、条件，这样的条件的充分条件，这样的条件p p唯一吗？唯一吗？ 提示：提示：不唯一不唯一. .例如例如“x1”x1”是是“x0”x0”的充分条件，的充分条件，p p可以是可以是 “x2”“x3”x2”“x3”或或“2x3”2x1x1，q q：-3x-3-3x1x1，q q：2-2x22-2xcosxsinxcosx； p p：直线：直线a a，b b不相交，不相交，q q：ab.ab. A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】【解析】选选C.C.由于由于p p：x1x1q q：-3x-3-3x1x1q q：2-2x2(2-2x0)x0)，所以，所以p p是是q q的

5、充分条件；的充分条件；由于由于 p p：x=3x=3q q：sinxcosxsinxcosx，所以，所以p p是是q q的充分条件；的充分条件；由于由于p p：直线：直线a a， b b不相交不相交 q q：a ab b，所以，所以p p不是不是q q的充分条件的充分条件. . 2.2.设设xRxR，则，则x2x2的一个必要条件是的一个必要条件是( () ) A.x1 B.x3 A.x1 B.x3 D.x3 D.x2x2x1x1，所以，所以x1x1是是x2x2的一个必要条件的一个必要条件. . 【归纳总结】【归纳总结】 1.1.充分条件概念的两个关注点充分条件概念的两个关注点 (1)“p(1)

6、“p是是q q的充分条件的充分条件”的等价说法有：的等价说法有： “若若p p，则，则q”q”为真命题；为真命题； p pq q； q q的充分条件是的充分条件是p.p. (2)p(2)p是是q q的充分条件的理解：的充分条件的理解：“有有p p，q q必成立，无必成立，无p p，q q未必不成立未必不成立”. . 2.2.必要条件概念的两个关注点必要条件概念的两个关注点 (1)“p(1)“p是是q q的必要条件的必要条件”的等价说法：的等价说法： “若若q q，则，则p”p”为真；为真； q qp p； q q的必要条件是的必要条件是p.p. (2)p(2)p是是q q的必要条件的理解：的必

7、要条件的理解：“有有p p，q q未必成立，无未必成立，无p p，q q必不成立必不成立”. . 【拓展延伸】【拓展延伸】借助电路图来理解充分条件和必要条件借助电路图来理解充分条件和必要条件 (1)(1)如图如图1 1所示，当开关所示，当开关A A闭合时，灯泡闭合时，灯泡B B一定亮，但是当开关一定亮，但是当开关A A不闭合不闭合 时，灯泡时，灯泡B B不一定不亮；当灯泡不一定不亮；当灯泡B B亮时，开关亮时，开关A A不一定是闭合的；所以不一定是闭合的；所以 只要开关只要开关A A是闭合的，灯泡是闭合的，灯泡B B一定亮，我们称开关一定亮，我们称开关A A闭合是灯泡闭合是灯泡B B亮的充亮的

8、充 分条件分条件. . (2)(2)如图如图2 2所示，当开关所示，当开关A A闭合时，灯泡闭合时，灯泡B B不一定亮，但是当开关不一定亮，但是当开关A A不闭不闭 合时，灯泡合时，灯泡B B一定不亮；当灯泡一定不亮；当灯泡B B亮时，可以知道开关亮时，可以知道开关A A一定是闭合的；一定是闭合的； 所以要使灯泡所以要使灯泡B B亮，开关亮，开关A A必须是闭合的，我们称开关必须是闭合的，我们称开关A A闭合是灯泡闭合是灯泡B B亮亮 的必要条件的必要条件. . 类型一：类型一：充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断 【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015杭州高二检测杭

9、州高二检测) )在等比数列在等比数列aan n 中，中，“a a1 1aa3 3” 是是“a an naan+1 n+1” ”的 的_条件 条件( (从从“充分充分”“”“必要必要”中选择一个正确的中选择一个正确的 填写填写).). (2)(2015(2)(2015洛阳高二检测洛阳高二检测) )下列式子：下列式子： a0ba0b；ba0ba0；b0ab0a；0ba.0ba. 其中能使其中能使 成立的充分条件有成立的充分条件有_.(_.(只填序号只填序号) ) 11 ab 【解题指南】【解题指南】(1)(1)看由看由“a a1 1aa3 3”能否推出能否推出“a an naan+1 n+1” ”

10、，由 ，由“ “a an naan+1 n+1” ”能能 否推出否推出“a a1 1aa3 3”，然后下结论，然后下结论. . (2)(2)看看，这几个条件能否推出命题这几个条件能否推出命题 成立成立. . 11 ab 【解析】【解析】(1)(1)如如a an n=(-3)=(-3)n-1 n-1， ，a a1 1=(-3)=(-3)0 0=1=1，a a3 3=(-3)=(-3)2 2=9=9，满足，满足a a1 1aa3 3，但，但 数列数列aan n 是摆动数列，不是递增数列，所以，是摆动数列，不是递增数列，所以，a a1 1aa3 3a an naan+1 n+1；反之，若 ；反之，若

11、 a an naan+1 n+1，则数列 ，则数列aan n 是递增数列，则有是递增数列，则有a a1 1aa2 2aa3 3，故有，故有a a1 1aa3 3，因此，因此 “a a1 1aa3 3”是是“a an naan+1 n+1” ”的必要条件的必要条件. . 答案：答案：必要必要 (2)(2)当当a0ba0b时，时， 当当ba0ba0， 当当b0ab0a时，时， 当当0ba0ba时，时， 所以能使所以能使 成立的充分条件有成立的充分条件有. . 答案：答案： 11 0 ab ； 11 0 ab ； 11 0 ba ； 11 0. ab 11 ab 【延伸探究】【延伸探究】 1.(1.

12、(改变问法改变问法) )本例本例(1)(1)中条件不变，判断中条件不变，判断“a an naan+1 n+1” ”是是“a a1 1aa3 3”的什的什 么条件么条件. . 【解析】【解析】由由(1)(1)解析知，解析知，“a an naan+1 n+1” ”是是“a a1 1aa3 3”的充分条件的充分条件. . 2.(2.(变换条件变换条件) )若把本例若把本例(1)(1)中中“a a1 1aa3 3”改为改为“a a1 1aa2 2”，其他条件不变，其他条件不变， 则结果如何？则结果如何？ 【解析】【解析】如如a an n=(-1)=(-1)n n，a a1 1=-1=-1，a a2 2

13、=1=1，满足，满足a a1 1aa2 2， 但但aan n 不是递增数列，反之若不是递增数列，反之若a an naan+1 n+1， ， 则有则有a a1 1aa2 2，因此，因此“a a1 1aa2 2”是是“a an na3(x-m)”3(x-m)”是是 “q q：x x2 2+3x-40”+3x-40”的必要条件，则实数的必要条件，则实数m m的取值范围为的取值范围为_._. (2)(2015(2)(2015广州高二检测广州高二检测) )是否存在实数是否存在实数p p，使，使“4x+p0”4x+p0”20”的充分条件？如果存在，求出的充分条件？如果存在，求出p p的取值范围；否则，说明

14、理由的取值范围；否则，说明理由. . 【解题指南】【解题指南】(1)(1)将两个命题化简，根据将两个命题化简，根据p p是是q q的必要条件转化为两个的必要条件转化为两个 集合间的关系，进而构建不等式集合间的关系，进而构建不等式( (组组) )求解求解. . (2)(2)假设存在，将两个命题的关系转化为两个集合的包含关系，进而假设存在，将两个命题的关系转化为两个集合的包含关系，进而 构建不等式构建不等式( (组组) )求解求解. . 【解析】【解析】(1)(1)由由p p：(x-m)(x-m)2 23(x-m)3(x-m)，得，得p p：xm+3xm+3或或xmxm+3A=x|xm+3 或或x

15、mxm，q q：-4x1-4x1，令，令B=x|-4x1B=x|-4x1，因为，因为p p是是q q的必要条件，所以的必要条件，所以 B BA A，因此有，因此有m+3-4m+3-4或或m1.m1. 解得解得m m的取值范围为的取值范围为(-(-，-71-71，+)+) 答案：答案：(-(-，-71-71，+)+) (2)(2)假设存在，由假设存在，由x x2 2-x-2-x-20 0， 解得解得x x2 2或或x x-1.-1. 令令A=x|xA=x|x2 2或或x x-1,-1, 由由4x+p4x+p0 0，得，得 令令 由题意得由题意得B BA A，即，即 即即p4,p4, 此时此时x

16、x -1-1x x2 2-x-2-x-20,0, 所以当所以当p4p4时，时，“4x+p4x+p0”0”是是“x x2 2-x-2-x-20”0”的充分条件，的充分条件， 所以存在实数所以存在实数p p，其范围为，其范围为4 4，+).+). p x, 4 p Bx | x. 4 p 1 4 ， p 4 【规律总结】【规律总结】 1.1.应用充分条件和必要条件的两个思路应用充分条件和必要条件的两个思路 (1)(1)确定条件与结论：确定确定条件与结论：确定p p和和q q谁是条件，谁是结论谁是条件，谁是结论. . (2)“(2)“”符号的应用：若符号的应用：若p pq q，则，则p p是是q q

17、成立的充分条件；若成立的充分条件；若q qp p， 则则p p是是q q成立的必要条件成立的必要条件. . 提醒：提醒：应用充分条件和必要条件，主要看能否得到应用充分条件和必要条件，主要看能否得到p pq q和和q qp.p. 2.2.集合法判断充分条件和必要条件集合法判断充分条件和必要条件 设集合设集合A=x|xA=x|x满足条件满足条件pp，B=x|xB=x|x满足条件满足条件qq，则有：，则有： (1)(1)若若A AB B，则，则p p是是q q的充分条件，若的充分条件，若A A B B，则，则p p不是不是q q的充分条件的充分条件. . (2)(2)若若B BA A，则，则p p是

18、是q q的必要条件，若的必要条件，若B B A A，则，则p p不是不是q q的必要条件的必要条件. . 【拓展延伸】【拓展延伸】充分条件和必要条件的本质区别充分条件和必要条件的本质区别 p p是是q q的充分条件的含义是：要使的充分条件的含义是：要使q q成立，只要满足条件成立，只要满足条件p p就行；就行；p p是是q q的的 必要条件的含义是：要使必要条件的含义是：要使q q成立，必须满足条件成立，必须满足条件p p才行才行. . 【巩固训练】【巩固训练】(2015(2015长河高二检测长河高二检测) )已知已知p p：3x+m03x+m0-2x-30， 若若p p是是q q的一个充分条件，求的一个充分条件，求m m的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】由由3x+m03x+m0-2x-30得，得，x-1x3.x3. 令令B=x|x-1B=x|x3.x3. 因为因为p pq q，所以，所以A AB B，所以，所以 所以所以m3m3，