高中数学排列组合 平面向量易错题分析

1、高考数学复习易做易错题选排列组合易错题正误解析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2

2、台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有种方法，据乘法原理共有种方法.同理，完成第二类办法中有种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有种方法.例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（a） （b） （c） （d）误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选a.错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由

3、乘法原理共有种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给

4、红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：排法. 3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（a）480种 （b）240种 （c）120种 （d）96种误解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种不同的分法，选a.乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2错因分析：设5本书为、，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得、乙分得、

5、丙分得、丁分得，最后一本书给甲的情况；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本书给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有种方法.由乘法原理，共有种方法，故选b.例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.（a）5040 （b）1260 （c）210 （d）630误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列

6、.共有：，选b.错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解：种.4遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）（a）36个 （b）48个 （c）66个 （d）72个01，3误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取法，剩下3个数排中间两个位置有种排法，共有个.错因分析：误解只考虑了四位数

7、的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选d.5忽视题设条件出错13254在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例7 (2003全国高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有种，由乘法原理共有：种.错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有

8、看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务.正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有种.综上共有：种.例8 已知是关于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的个数.误解：从集合中任意取两个元素作为、，方程有个，当、取同一个数时方程有1个，共有个.错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于同解、同解，故要减

9、去2个。正解：由分析，共有个解集不同的一元二次方程.6未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）(a)1024种(b)1023种(c)1536种(d)1535种误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种.错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的

10、取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.7题意的理解偏差出错 例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（a）（b）（c）（d）误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种方法，这样共有种排法，选a.错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即，故选b.8解题策

11、略的选择不当出错有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（a）16种 （b）18种 （c）37种 （d）48种误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案.错因分析：显然这里有重复计算.如：班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂，这与班先派去了甲工厂，班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解

12、：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：种方案.排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.高考数学复习易做易错题选平面向量一、选择题：1（如中）在中,则的值为 ( )a 20 b c d 错误分析:错误认为,从而出错.答案: b略解: 由题意可知,故=.2（如中）关于非零向量和，有下列四个命题： （1）“”的充要条件是“和的方向相同”； （2）“” 的充要条件是“和的方向相反”； （3）“” 的充要条件是“和有相等的模”； （4）“” 的

13、充要条件是“和的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）a 1 b 2 c 3 d 4错误分析:对不等式的认识不清.答案: b.3(石庄中学)已知o、a、b三点的坐标分别为o(0,0)，a(3，0)，b(0，3)，是p线段ab上且 =t (0t1)则 的最大值为（） a3b6c9d12正确答案：c 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|op|cosa最大时， 即为最大。4(石庄中学)若向量 =(cosa,sina) ， =， 与不共线，则与一定满足（ ）a 与的夹角等于a-bb c(+)(-)d 正确答案：c 错因：学生不能把、的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。5(石庄中学)已

14、知向量 =(2cosj，2sinj)，j()， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )a-jb+jcj-dj正确答案：a 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在0，p。6(石庄中学)o为平面上的定点，a、b、c是平面上不共线的三点，若( -)(+-2)=0，则dabc是（）a以ab为底边的等腰三角形b以bc为底边的等腰三角形c以ab为斜边的直角三角形d以bc为斜边的直角三角形正确答案：b 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2不能拆成(+)。7(石庄中学)已知向量m= | =(1,2)+l(3,4) lr， n=|=(-2,2)+ l(4,5) lr ，则mn=（ ）a （1，2） b c

15、d 正确答案：c 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。8已知，若，则abc是直角三角形的概率是（ c ）a b c d分析：由及知，若垂直，则；若与垂直，则，所以abc是直角三角形的概率是.9(磨中)设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0;(2)若a与a0平行，则a=|a|a0；（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ）a.0b.1c.2d.3正确答案：d。错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。10(磨中)已知|a|=3,|b|=5，如果ab，则ab= 。正确答案：。15。错误原因：容易忽

16、视平行向量的概念。a、b的夹角为0、180。11(磨中)o是平面上一定点,a,b,c是平面上不共线的三个点,动点p满足,则p的轨迹一定通过abc的( ) (a)外心 (b)内心 (c)重心 (d)垂心正确答案：b。错误原因：对理解不够。不清楚与bac的角平分线有关。12(磨中)如果，那么 （ ）a b c d在方向上的投影相等正确答案：d。错误原因：对向量数量积的性质理解不够。13（城西中学）向量（3，4）按向量a=(1,2)平移后为 （ ）a、（4，6） b、（2，2） c、（3，4） d、（3，8）正确答案： c错因：向量平移不改变。14（城西中学）已知向量则向量的夹角范围是（ ） a、/

17、12，5/12 b、0，/4 c、/4，5/12 d、 5/12，/2 正确答案：a错因：不注意数形结合在解题中的应用。15（城西中学）将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题： 的坐标可以是（-3，0） 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） 的坐标可以是（0，6） 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）a、1 b、2 c、3 d、4正确答案：d错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。16（城西中学）过abc的重心作一直线分别交ab,ac 于d,e,若 ,(),则的值为( )a 4 b 3 c 2 d 1正确答案：a错因：不注意运用特殊情况快速得到

18、答案。17（蒲中）设平面向量=(2，1)，=(，1)，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）a、 b、c、 d、答案：a点评：易误选c，错因：忽视与反向的情况。18（蒲中）设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） 存在一个实数，使=或=； |=| |； ； (+)/()a、1个 b、2个 c、3个 d、4个答案：c点评：正确，易错选d。19（江安中学）以原点o及点a（5，2）为顶点作等腰直角三角形oab，使，则的坐标为（ ）。a、（2，-5） b、（-2，5）或（2，-5） c、（-2，5） d、（7，-3）或（3，7）正解：b设，则由 而又由得 由联立得。误解：

19、公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。20（江安中学）设向量，则是的（ ）条件。a、充要 b、必要不充分 c、充分不必要 d、既不充分也不必要正解：c若则，若，有可能或为0，故选c。误解：，此式是否成立，未考虑，选a。21（江安中学）在oab中，若=-5，则=（ ）a、 b、 c、 d、正解：d。（lv为与的夹角）误解：c。将面积公式记错，误记为22（丁中）在中，有，则的形状是 （d）a、 锐角三角形 b、直角三角形 c、钝角三角形 d、不能确定错解：c错因：忽视中与的夹角是的补角正解：d23（丁中）设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （a）a、 b、（2，+ c、（ d、（-错解：

20、c错因：忽视使用时，其中包含了两向量反向的情况正解：a24（薛中）已知a（3，7），b（5，2），向量平移后所得向量是 。 a、（2，-5）， b、（3，-3）， c、（1，-7） d、以上都不是 答案：a 错解：b 错因：将向量平移当作点平移。25（薛中）已知中， 。 a、锐角三角形 b、直角三角形 c、钝角三角形 d、不能确定 答案：c 错解：a或d错因：对向量夹角定义理解不清26（案中）正三角形abc的边长为1，设，那么的值是 （ ）a、 b、 c、 d、正确答案：(b)错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。27（案中）已知，且，则 （ ）a、相等 b、方

21、向相同 c、方向相反 d、方向相同或相反正确答案：(d)错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考可正可负，易选成b。28（案中）已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程 （ ）a、至少有一根 b、至多有一根c、有两个不等的根 d、有无数个互不相同的根正确答案：(b)错误原因：找不到解题思路。29（案中）设是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题： 若不平行其中正确命题的个数是 （ ）a、1个 b、2个 c、3个 d、4个正确答案：(b)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。二填空题：1（如中）若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是_. 错误分析：只由的夹角为

22、钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误. 正确解法: ，的夹角为钝角, 解得或 (1) 又由共线且反向可得 (2) 由(1),(2)得的范围是答案: .2（一中）有两个向量，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为设、在时刻秒时分别在、处，则当时， 秒正确答案：2（薛中）1、设平面向量若的夹角是钝角，则的范围是 。 答案： 错解： 错因：“”与“的夹角为钝角”不是充要条件。3（薛中）是任意向量，给出：，方向相反，都是单位向量，其中 是共线的充分不必要条件。 答案： 错解：

23、 错因：忽略方向的任意性，从而漏选。4（案中）若上的投影为 。正确答案：错误原因：投影的概念不清楚。5（案中）已知o为坐标原点，集合,且 。正确答案：46错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。三、解答题：1（如中）已知向量,且求 (1) 及; (2)若的最小值是,求实数的值. 错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度; (2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求, = ;(2) = = 从而:当时,与题意矛盾, 不合题意; 当时, ; 当时,解得,不满足; 综合可得: 实数的值为.2（如中）在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值

24、.错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.答案: (1)若即 故,从而解得; (2)若即,也就是,而故,解得; (3)若即,也就是而,故,解得 综合上面讨论可知,或或3（石庄中学）已知向量m=(1,1)，向量与向量夹角为，且=-1，(1)求向量；(2)若向量与向量=(1,0)的夹角为，向量=(cosa,2cos2)，其中a、c为dabc的内角，且a、b、c依次成等差数列，试求|+|的取值范围。解：(1)设=(x,y)则由=得：cos= 由=-1得x+y=-1 联立两式得或=(0,-1)或(-1,0)(2) =得=0若=(1,0)则=-10故(-1,0) =(0,-

25、1)2b=a+c，a+b+c=p b= c=+=(cosa,2cos2) =(cosa,cosc) |+|= = =0a02a-1cos(2a+)0当m0时，2mcos2q0，即f()f() 当m0时，2mcos2q0，即f()f()5（石庄中学）已知a、b、c为dabc的内角，且f(a、b)=sin22a+cos22b-sin2a-cos2b+2(1)当f(a、b)取最小值时，求c(2)当a+b=时，将函数f(a、b)按向量平移后得到函数f(a)=2cos2a求解：(1) f(a、b)=(sin22a-sin2a+)+(cos22b-cos2b+)+1 =(sin2a-)2+(sin2b-)

26、2+1当sin2a=,sin2b=时取得最小值，a=30或60，2b=60或120 c=180-b-a=120或90 (2) f(a、b)=sin22a+cos22()- = =6（石庄中学）已知向量（m为常数），且,不共线，若向量,的夹角落为锐角，求实数x的取值范围.解：要满足为锐角 只须0且（） = = =即x (mx-1) 0 1当 m 0时x0 或2m0时x ( -mx+1) 0 3m=0时只要x 0时， x = 0时， x 0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此时ab的夹角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用两边平方，得|ka+b|

27、2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=ab的最小值为，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此时a与b的夹角为60。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab。8（一中）已知向量， （）求的值；（）若，且，求的值解（）,. , ,即 . . （） ，

28、 ， . 高考复习易做易错题精选解析几何1. （如中）若直线与抛物线的两个交点都在第二象，则k的取值范围是_. 解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。本题最好用数形结合法。 2. （如中）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为a b c d 解 答：c易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a和题目中方程的a的意义。3. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是a b c d 解 答：d易错原因：短轴长误认为是4（如中）过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是a k2 b -3k2 c k2 d 以上皆不对解 答：d易错原因：忽

29、略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑5（如中）设双曲线的半焦距为c，直线l过两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为a 2 b 2或 c d 解 答：d 易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。6（如中）已知二面角的平面角为，pa，pb，a，b为垂足，且pa=4，pb=5，设a、b到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的 a b c d解 答： d 易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。7（如中）已知点p是抛物线上的动点，点p在y轴上的射影为m，点a的8（如中）若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是a b c d 解 答：c

30、 易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。 9. （如中）已知正方形abcd 对角线ac所在直线方程为 .抛物线过b，d两点 （1）若正方形中心m为（2，2）时，求点n(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程的两实根，满足解答：（1）设 因为 b,d在抛物线上 所以两式相减得 则代入（1） 得 故点的方程是一条射线。 （2）设 同上 （1）-（2）得 （1）+（2）得 （3）代入（4）消去得 得 又即的两根满足 故。易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。10. （如中）已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点a (-3,2)

31、 b (1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。 解答：（1）由得： 故 （2）设点 则又双曲线的定义得 又 或 点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或 除去点 图略。（3）联列：消去得 整理得： 当时 得 从图可知：， 又因为轨迹除去点 所以当直线过点时也只有一个交点，即或5 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。高考复习易做易错题精选立体几何一、选择题：1（石庄中学）设abcd是空间四边形，e，f分别是ab

32、，cd的中点，则满足（ ）a 共线 b 共面 c 不共面 d 可作为空间基向量正确答案：b 错因：学生把向量看为直线。2（石庄中学）在正方体abcd-abcd,o是底面abcd的中心，m、n分别是棱dd、dc的中点，则直线om( )a 是ac和mn的公垂线 b 垂直于ac但不垂直于mnc 垂直于mn，但不垂直于ac d 与ac、mn都不垂直正确答案：a 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。3（石庄中学）已知平面平面，直线l平面,点p直线l,平面、间的距离为8，则在内到点p的距离为10，且到l的距离为9的点的轨迹是（ ）a 一个圆 b 四个点 c 两条直线 d 两个点 正确答案：b

33、 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。4（石庄中学）正方体abcd-abcd中，点p在侧面bccb及其边界上运动，并且总保持apbd,则动点p的轨迹（ ）a 线段bc b bb的中点与cc中点连成的线段c 线段bc d cb中点与bc中点连成的线段正确答案：a 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。5 （石庄中学）下列命题中： 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则 。 若， ，则 . 若 、 、是空间一个基底，且 = ,则a、b、c、d四点共面。 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的一个基底。其中正确的命题有（ ）个。a

34、 1 b 2 c 3 d 4正确答案：c 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。6(磨中)给出下列命题：分别和两条异面直线ab、cd同时相交的两条直线ac、bd一定是异面直线同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线b在面内的射影为c，直线ac，则ab有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )正确答案：错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清7(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( ) a、7 b、8 c、9 d、10 正确答案：a 错误原因：4+82=108(磨中)下列正方体或正四面体中，p、q、r、s分别是所

35、在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )rspqrspbssrcdqprqpqa正确答案：d错误原因：空间观点不强9(磨中)a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( ) a、有且只有一个 b、一个面或无数个 c、可能不存在 d、可能有无数个 正确答案：c 错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清10（一中）给出下列四个命题：（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数v、面数f满足的关系式为2fv=4.（3）若直线l平面，l平面，则.（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是（ ）a（2）（3

36、）b（1）（4）c（1）（2）（3）d（2）（3）（4）正确答案：a11（一中）如图，abc是简易遮阳棚，a，b是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40角，为了使遮阴影面abd面积最大，遮阳棚abc与地面所成的角应为（ ）a75 b60 c50 d45正确答案：c12（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为，则+满足（ ）a、+900 d、+900答案：b点评：易误选a，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。13（蒲中）在正方体ac1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与a1b成300角的平面的个数为（ ）a、2个 b、4个 c、6个 d、8个答案：b点评：易瞎猜，6个面不

37、合，6个对角面中有4个面适合条件。14（蒲中）abc的bc边上的高线为ad，bd=a，cd=b，将abc沿ad折成大小为的二面角b-ad-c，若，则三棱锥a-bcd的侧面三角形abc是（ ）a、锐角三角形 b、钝角三角形c、直角三角形 d、形状与a、b的值有关的三角形答案：c点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。15（江安中学）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。a. ，若，则b. ，若，则c. ，若，则d. ，是在内的射影，若，则正解：cc的逆命题是,若，则显然不成立。误解：选b。源于对c是在内的射影理不清。16（江安中学）和是两个

38、不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。a. 和都垂直于平面b. 内不共线的三点到的距离相等c. 是平面内的直线且d. 是两条异面直线且正解：d对于可平行也可相交；对于b三个点可在平面同侧或异侧；对于在平面内可平行，可相交。对于d正确证明如下：过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为与，由已知得，从而，则，同理，。误解：b往往只考虑距离相等，不考虑两侧。17（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞d、e、f，且知sd：da=se：eb=cf：fs=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）a.b.c.d.正解：d。当平面efd处于水平位置时，容

39、器盛水最多最多可盛原来水得1误解：a、b、c。由过d或e作面abc得平行面，所截体计算而得。18（江安中学）球的半径是r，距球心4r处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。a.b.c.d.正解：b。如图，在中，于则即 又以为半径的圆的面积为误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。19（江安中学）p已知ab是异面直线的公垂线段，ab=2，且与成角，在直线上取ap=4，则点p到直线的距离是（ ）。 ae. f. 4 bg. h. 或正解：a。过b作bb，在bb上截取bp=ap，连结pp，过p作pq连结pq，pp由bb和所确定的平面，pppq即为所求。在rtpqp中，p

40、p=ab=2,pq=bp,=ap=2, pq=。误解：d。认为点p可以在点a的两侧。本题应是由图解题。20（丁中）若平面外的直线与平面所成的角为，则的取值范围是 （ ）（a） （b） （c） （d）错解：c错因：直线在平面外应包括直线与平面平行的情况，此时直线与平面所成的角为0正解：d21（薛中）如果a,b是异面直线，p是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过p一定可作直线l与a , b都相交；（2）过p一定可作直线l与a , b都垂直；（3）过p一定可作平面与a , b都平行；（4）过p一定可作直线l与a , b都平行，其中正确的结论有（ ）a、0个 b、1个 c、2个 d、3个 答

41、案：b 错解：c 认为（1）（3）对 d 认为（1）（2）（3）对 错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。22（薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） a、1对 b、2对 c、3对 d、4对 答案：c 错解：d 错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。23（案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是a、一定是正三棱锥 b、一定是正四面体 c、不是斜三棱锥 d、可能是斜三棱锥正确答案：（d）错误原因：此是正三棱锥的性

42、质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选d24（案中）给出下列四个命题：（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数v，面数f满足的关系式为2f-v=4（3） 若直线l平面，l平面，则（4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正确的命题是 （ ） a、（2）（3） b、（1）（4） c、（1）（2）（3） d、（2）（3）（4）正确答案：（a）错误原因：易认为命题（1）正确二填空题：1. （如中）有一

43、棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为_.错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为，所以正确答案为：。2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为_。错解：答。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：。3. （如中）已知正三棱柱底面边长是10，高是12，过底面一边ab，作与底面abc成角的截面面积是_。错解：。学

44、生用面积射影公式求解：。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：。4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_个。错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。正确答案是不能确定。5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。6. （如中）平面外有两点a,b，它们与平面的距离分别为a,b，线段ab上有一点p，且ap:pb=m:n，则点p到平面的距离为_.错解为：。错误原因是只考虑ab在平面同侧的情形，忽略ab在平面两测的情况。正确答案是：。7. （如中）点ab到平面距离距离分别为12，20，若斜线ab与成的角，则ab的长等于_.错解：16. 错误原因是只考虑ab在平面同侧的情形，忽略ab在平面两测的情况。正确答案是：16