八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题(2)

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球文：付雨楼、段永建今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群（群号：545423319）成员段永建老师进步作图编辑优化分享类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图3图4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即 2Ra2 b2 c2，求出 R例1（ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A. 16 B . 20C . 24D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球

2、的表面积是解：(1) V a2h 16，a 2，4R2 a2 a2 h24 4 16 24，S 24 ，选 C；(2) 4R23 3 3 9，S 4 R29（3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN ,若侧棱SA 2. 3 ,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是。 36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下：如图（3） -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH 平面ABC， SH AB，AC BC，AD BD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB

3、，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3） -2， AM MN，SB/MN，AM SB， AC SB， SB 平面 SAC，C(3)题-1SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 3)2 (2、3)2 (2、3)2 36，即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36BAC120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11B.710C.340D.3(4 ) 在四面体 S ABC 中，SA 平面ABC(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面

4、积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4 )在ABC中，BC2AC2AB22 AB BC cos120 7-BC72 7BC7 ,ABC的外接球直径为2rsinBAC不22、2 “2,2；7、24040(2R)(2r) SA ()4S -,选D祁333(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c R )，则ab 122 2 2 2 2bc 8 , abc 24, a 3, b 4, c 2 , (2r) a b c 29, S 4 R 29 a

5、c 6(6) (2R)22 a.2 2 2b c 3, R3R424343 33VR338 2类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5 , PA平面ABC图5解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心0 ;第二步：01为 ABC的外心，所以001 平面ABC，算出小圆01的半abcsin Asin Bsin C2r), 001 -PA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2RPA2 (2r)2 ； R2 r2 00-2 R r2 00-2.题设：如图6, 7,

6、8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点三棱锥P ABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点0CADB0CA0i图7-10CAB0i图7-20CAB0iD0图8-102DB0图8-3图8-2径01D r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得第一步：确定球心 0的位置，取ABC的外心0-，则P,0,0-三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径A01 r，再算出棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：0A2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球

7、的表面积为（）CA. 3B. 2C.旦 D .以上都不对3解：选 C, （ 3 R）2 1 R2, 3 2 3R R2 1 R2, 4 2 3R 0,解题步骤：23，S4 R216T类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）PACB图9-1pAO1CBOTx图9-2OAB图9-3C1题设:如图 9-1，平面PAC 平面 ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径）第一步：易知球心 0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r ;第二步：a在 PAC中，可根据正弦定理bc2R，求出Rsin Asin Bsin C2.如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的

8、直径）0C20Q2 0Q2R2r2 O1O2AC2 R2 O1O23.如图9-3，平面 PAC平面ABC，且AB；BC（即AC为小圆的直径），且 P的射影是ABC的外心三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点 解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则三点共线;第二步：先算出小圆 01的半径A01 r，再算出棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：0A2 01A2 0102R2 （h R）2 r2，解出R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，则利用勾

9、股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）2 2RPA2 （2r）2 ； R2 r20012R ,r2OQ2例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2.3，则该球的表面积为(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R2S 4 R 49 ,(2)方法一：找球心的位置，易知r 1 , h1,方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R 2, R 1 , V 34h r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R 1, V 一3SAC的外接圆，此处特殊，Rt SAC的斜边

10、是球半径，(3)在三棱锥P ABC中，PA PB PC、.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为(A.B.C. 4D.解：选D,圆锥A,B,C在以r 3的圆上,2(4)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球径,且SC 2，则此棱锥的体积为(0的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直.2D.解：001R2 r2y/3 21（3）2、631 -Sh31 仝 2_6类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、图 10-2 ,圆柱的外接球)直三棱柱内接于球题设：如图10-1 ,是任意三角形)10-3,(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心0的位置，0

11、1是ABC的外心，则001 平面 ABC ；第二步：算出小圆01的半径AO11r , 001 AA121-h ( AA h也是圆柱的高)；2hr (J ，解出R解：设正六边形边长为正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为底面积为S 6 4R23 21 2“右)(2)1，第三步：勾股定理：OA2 O1A2 OQ2R2 (-)2 r2R2例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8R 1，球的体积为V 3(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上,ABACAA12, BAC 12

12、0，则此球的表面积等于解:BC23，爲 4，r 2，R 5，S20(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3, AD 2, AEB 60，则多面体 EABCD的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EAB的外接圆半径为r,OO1BR -.1 32 ；法二:O1MO2D132，R22，S 16(4)在直三棱柱ABCA B1C1 中，AB4,AC6,A孑AA14则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球的表面积为160解析:R223628，2r2,7三24： 73，r283403类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和 ABD的外

13、心Hj和H2第二步：过Hi和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ； 第三步：解 OEHj，算出OHj，在Rt OCH1中，勾股定理： OH； CH； 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.解析:2”2r241 22，O2H122.，sin 60 33、3亠 22 145厂15RO2 H1R3333法二:O2H13，O1H13，AH1，25R2AO2AH 2O1H2O1O2R -33类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分

14、别相等， 求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；a,b,c，AD BC x，AB CDy，AC BD z，列方程组,2 ab22 x22 2b22 c2y(2R)22 ab22 Xy zc22 c2 a2 z补充:VaBCDabc 1abc4 -abc63第二步：设出长方体的长宽高分别为图12第三步：根据墙角模型,2Ra2 b2 c2R22 2 2R ； z ，求出 R，例如，正四面体的外接球半径可用此法。题例6 （ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A

15、.33B.3C._2D.243412解：(1)截面为 PCO1，面积是.2 ；(2)高h R 1，底面外接圆的半径为 R1，直径为2R2 ,个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点设底面边长为a，则2Ra2 , a . 3 , S 3 a23 3sin 6044三棱锥的体积为1V -Sh仝34(1)题解答图(3)在三棱锥A BCD中，AB CD2, AD BC 3, ACBD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为。2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a, b, c，则a

16、2 b29，b22 c4 ,2 c a2 162(a2 b2 c2)94 1629, 2(a2 b2 c2) 9 4 1629 ,2 2229m22929abc4RS 222(4)如图所示三棱锥A BCD ,其中ABCD5, ACBD6,AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2(a2b2c2)25 36 49110，a2b2c255，4R255，S【55;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为 .2，则该正面体外接球的体积为 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R 3，厂爲、,4 3

17、込爲R ，V2382a,b,c，类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型C题设： APB ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 0 ,连接1OP,OC，则OA OB OC OP AB ,O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7（ 1）在矩形ABCD中，AB 4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为（A 125 r 125A.1295解：（1）2R AC

18、5，R ，V2（2）在矩形 ABCD 中，AB 2，BC的外接球的表面积为)125125CD63434125125R -，选C33863,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥 ABCD第二步:求1 DHBD3POPH r, PD是侧面ABP的高；第三步:由POE相似于PDH，建立等式：OEDHPO，解出rPDE-OHD图14GOAF亠上H图15D第一步:先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步:求1 FHBC2 ，POPH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由POG相似于PFH，建立等式：OG竺，解出HFPF解析：（2） BD的中点是球心0 , 2R BD 13 , S

19、4 R213类型八、锥体的内切球问题 1 题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；2题设：如图15，四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径3题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r,建立等式：VP ABCVO ABCVO PABVO PACVO PBC1VP ABC S31ABC r Spab r31Spac r31Spbc3r13(SABCS PABSPACS PBC ) r第三步：解出3Vp ABCrSO ABCSOPABSO PACSo pbc习题：1.若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2 ,sbsc4,则该三棱锥的外接球半径为 （)A. 3