导数与微分练习题答案

1、高等数学练习题第二章 导数与微分第一节导数概念一填空题1若 f 0)存在，则X0 f (X0) = fg)=_2f (Xo).2.若 f (X0)存在，帆 f(X0 h) f(X0h)化宓 3似）=3 f（X。）.3.设 f(X0) = -2,则 HmQf(Xo -2x) - f (Xo)4已知物体的运动规律为S = t t2（米），则物体在t = 2秒时的瞬时速度为 5 （米/秒）5.曲线y二cosx上点1（3，2 ）处的切线方程为子。，法线方程为6用箭头？或？表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系,可微可导连续极限存在。二、选择题1设f(0) =0,且 f (0)存在，则 l

2、im f(x)(A )f (X)(B) f (0)(C) f(0)(D)f(0)2.设f （X）在X处可导，a,b为常数，则(A )f (x)(B) (a b)f (x)(C) (a-b)f (x)(D)f (x)3.函数在点Xo处连续是在该点Xo处可导的条件（A ）充分但不是必要 要(B)必要但不是充分（C）充分必要(D)即非充分也非必24.设曲线y = x x - 2在点M处的切线斜率为 3,则点M的坐标为(A ) (0,1)(B) (1,0)(C) ( 0,0)(D)(1,1)(A)不连续。(B)连续，但不可导。(C)可导，但不连续。(D)可导，且导数也连续。 2 xX V1三、设函数f

3、(X)=为了使函数f (x)在x = 1处连续且可导，a，b应取什ax +bx15.设函数 f (x) =| sin x|,贝 U f (x)在 x 二 0 处B 么值。角军：由于f (x)在X =1处连续，所以f(1-) =1 = f (1 ) = a b = f (1) 即 a b = 1又f (x)在x =1处可导，所以I_X_1=2fdTim aX b)7 x 1故求得a =2， b = -1 a = 2， b 一1f (0) = limx 0二 limx )0令x=fclimt)02f(0)=0，故f(t)-f(0)f(0) -tf (0) = 0四、如果f (x)为偶函数，且f (

4、0)存在，证明f (0)=0。解：由于f(x)是偶函数，所以有 f(x) = f(-x)f(x)-f(0)x-0f (-x)-f(O)x0五、证明：双曲线xy =a2上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。a2a2解：y二，y-7在任意 区必)处的切线方程为xx2 a y- yo2(x x。)Xo2a2则该切线与两坐标轴的交点为：(0,)和(2xo,O)xo所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为A =-竺 2x 二 2a2,Xo（a是已知常数）故其值为定值.第二节求导法则一、填空题1. y=(2 secx)sinx, y = tan2 x 2cosx 1 ； y = esmx, y

5、= - cosxe_sinxxxx.2. y =cos(2e ) , y = -2e sin(2e );sin2x2xcos2x - sin2xy =， y =xx3.0：?=lntan2，二叱;r = x log 2 x In 2 , r = log2 x log2e4. w =ln(sect tan t), w = sect2”2x + xy 二 arccos(x x), y22(x2+x)25.(.1 x2)=x1 X2(1 X C)兀26. lntan/ 2ln(x 1 x ) csin x1.已知y=,则y =xxsin x - cosxxcosx - sin x(A )2(B)2x

6、xsin x2.已知y=1 cosxCcosx - 11 cosx(A )(B)2cosx 12cosx -1、选择题3.已知 B sin x-xsi nx32(C)2(D) x cosx-x sinxx, 则y =12 cosx 1(C)(D) Tcos?y = sexe , c 则(A) ex secex tanexx tx(B) sece tane. x(C) tan ex , x(D) e cot e4.(A )1(B).1x2(C)x一 1X2(D). X2 一 1.1 x25.已知y =ln cx o,t则y| jtx-2.L4D(A ) 1(B)2(C)-1/2(D)-26.已知

7、y1 -x1 x则y B(A )2(B)-2(C)2x(D)-2x(x 1)2(x 1)2(x 1)2(x 1)2三、计算下列函数的导数:-1(1) y=In( 3 x) 31n xy = tan(ln x)解:解:y = seC l rx)丄xX31 八2i3seC(ln x) x.2 1 _sin-v(4 )y = sec3(ln x)解：u=e-sin2 v (-2sin cos1 (-舟)v解:y= 3sec( l rx)sec( lx) tan(lx)- x1 . 2 2Sin e v解:.2 1 -sinv=In(x1 - x2)= ?seC(lrx)tan(lx)x1 X y 二

8、 arctany1-(x .1 -x2)x ,1-x2解：y1 ()2 T x1 x2_ 1 (1 x )X . 1 - x2. 1 - x2J1 _x2 _x.1 -x2 (x一 1 - x2)四、设f (x)可导，求下列函数 y的导数 巴dx(1) y = f(ex)ef(x)(2) y = f (sin2 x)f (cos2 x)解：f(ex) ex ef(x)2解: y= f(sin x)2sinxcosxf(ex) ef(x) f(x)2f (cos x)(2cos x (_sin x)=ef(x)exf(ex)f(x)f(ex)2 2=sin 2x( f (sin x)f (cos

9、 x)(4) y = f (sin x) sin f (x)解：7 二1-1 f 2(x)f(x)解：寸二 f(sinx)cosx cos(f(x) f(x)、填空题f(x)21 f (x)第三节2.设 r = tanL r)，则x = d si nty = e cost二、选择题y1.由方程sin y - xe(A)-12设由方二cosx(sinx) f(x)cos(f (x)隐函数及由参数方程所确定的函数的导数eyy ntt -x y,则y =。xx _ ycost-sintdy |sintcost，dx |t =3则-0所确定的曲线2r = - csc(寸 r)3.设 In x2 y2

10、= arctany = y(x)在(o, 0)点处的切线斜率为(B) 1(D)定的隐函数为y 二 y(x)dyA (A )y dx2x(B) Tdx2x13.设由方程x-y s i n = 02y(C)dxx(D)dxx所确定的隐函数为y = y(x),则dydx(A )2 -cos y(B) 2 sin y(D)2 -cosx4.设由方程处的导数为x a(t -sint)所确定的函数为y = y(x)， y = a(1 - cost)(A)-1(B) 1(C) 0(D)5.设由方程 xiy二 arcta nt所确定的函数为八y(x)，则dy _dx(B)(C)-；2t(D)t.三、求下列函数

11、的导数dydxr3.x= acos t 2.3*y = asin t解:方程两边同时对x求导，得2 3a sin t costy-3a cos21 s in t=-ta nt112ypy、033y33. y x2 y3yex 1=04.y = . xsinx、1 - ex解：方程两边同时对x求导，得1 ln(1 -ex)4y 2xy33 2y2 卜. x . h xy ye ye 0y 2x 2sinx4(1 -ex)1In y In x Insinx 2 22xy3y二 xsinx 1 ex (丄 2cotx)2x4(1 e )四、求曲线丿在V-0处的切线方程，法线方程 -exsinT +1

12、=0y 日3 2日=0解：dy =(3丁 2)ddx - exdx s i n excosd ： - 0dx=uo空,从而史=(3宀2!(1-几川)1 -e sindxe cost,y,半dx= 2e故切线方程为y = 2e(x 1)法线方程为第四节高阶导数一、填空题.设 r = cos，贝H r =|cos sin ,一 2sincoS .2.设 y = ln(x. 1 x2),则 y =,”=x1 + x22 3/2(1 + x )r=2tf(t2),dy dtd2ydt23若 y = f (t2),且 f (t)存在，则=2f(t2) + 4t2f(t2)4.设y=1 xey，则eyy)

13、 (2y)3y=e2y(3 -5.设*x 二 =tf(t)-arctgt且矽里，则dx 2d2y2 = 。dx2 4t巾 2x4 re ,则(n)y=n!+2ne2x A7.设 f(x)= x(x 1)(x 2)(x 2001)，则 f (0) = - 2001!.、选择题2(A) 21 nx(B) 2ln x 1(C) 2lnx 2(D) 2lnx 32.设 y = f (u),= ex,则孕dx2(A) e2xf (u)2(B) u f (u) uf (u)(C)2e f (u)(D) u f (u) uf(u)23.设 y = sin x则 y(n)(A) 2nlsin2x (n 一1)

14、n 4兀(C) 2n 1 sin2x (n 一1右(B) 2nJ cos2x (n -n兀(D) 2nsin2x (n 1)-4.设 y = xe = a cost 1.y =bs int,则 y(n)=(A) ex (x n)(B)xe (x -n)x(C) 2e (x n)(D)nxxe三、设f (x)存在,求下列函数y的二阶导数d2ydx21.y = f(ex)解:dX)diy - f(ex) e2xf(ex) exd x2.y =ln f (x)解:工丄f(x)=3dx f(x)f(x)2 2山 f(x)f(x) f(x) d2x四、求下列函数y的二阶导数与dx1bcostb解：yco

15、ttasintad2y b1b2 (cott)；- =23dx a-a si nt -a sin t2. arctany 二 In x2y2x解:方程两边同时对x求导，得)(/1(1 y )X - y -)x( y(x-y)2“ 2x2+2y2 y - (X-y)五、设y ，求y(n)2x-3解：y(2x-3)222y_(2)ky，-(-2)(-3)24(2x 3)24宀心心心丹依此类推，得(n)yn2nn!十)R严第五节函数的微分已知y =x2 -x，计算在x = 2处(1)当x =0.1 时，y = 0.31， dy = 0.3(2)当x =0.001 时，y = 0.003001,dy

16、= 0.0032 1 二 2 1(1)函数y =arcsin、1-x 在x处的一次近似式为 f(x)(x )23 V32(2)函数 y = e cos(x -1)在 x = 0处的一次近似式为f(x) :cosl-(cosl-sin1)xA(3)计算近似值一 83 ：“ 3-54三.填空(求函数的微分)1、d(2=2si nR= (4=sinr 22 cos )d2、d(ln(cos、x)=tan、x d x2 23、d(ln (1 x)= ln(4 - x)dxx 124、d (ln secx tanx) = (tan x sec x)dx1d (f (arctan )=-x11 x2(arctan ) xdxd(sin x)d(cos x)-coxd sin x _ d7=xc o sx- s i n2x3d 3693 (x - 2x x )二dx四将适当的函数填入下列括号内，使等号成立。8、1 -4x3 3x6(1)xdx=d( 3x2 c)；1(2). sin(3x 2)dx =d ( cos(3x2)+c3);232(3). (3x 2x)dx = d ( x x c);-2x .-(4). e dx = d (-2xc );1.a2 x21xdx = d( arctan caa);1(6) .dx=d (2x 3x22(7) .ed(x )=d (1-