圆的一般方程

1、宝石学校活页课时教案 （ 首页）班级: 高一年级科目 :数学周次教学时间2011年 12月 日月教案序号课题2-1 圆的一般方程课型新授教学目标知识目标 ：掌握方程22x2 y2 Dx Ey F=0 表示圆的条件（识记、理解能力目标：通过对 方程 x2y2DxEy F=0 表示圆的条件的探究 ，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 。应用、分析、情感目标 ：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的创见）整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化；及难点难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 .教学方法观察、思考、交流、讨论、

2、概括。教学反馈2-1 圆的一般方程板221、圆的一般方程： xy Dx Ey F 0)书设1) x2 和 y2的系数相同都是 1，不等于 0计2） 没有 xy 这样的二次项它有三个特定的系数 D 、 E、 F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就 确定 了、课题引入 ：问题： 求过三点 A（0，0）， B（ 1， 1）， C（ 4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那 么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式 圆的一般方程。、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：（xa） 2 （y b） 2=r

3、2，圆心（a ，b） ，半径 r把圆的标准方程展开，并整理：2 2 2 2 2 x2y22ax 2bya2b2r2=02 2 2取 D 2a,E 2b,F a2 b2 r 2得22x2 y2 Dx Ey F 0 这个方程是圆的方程22D 2 E 2 4F4 （配反过来给出一个形如 x2y2DxEyF=0 的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2y2DxEyF=0配方得 (x D)2 (y E)222方过程由学生去完成 ） 这个方程是不是表示圆？（1） 当 D2E24F0 时，方程 表示（ 1）当 D2E24F0 时，表示以（ - 2-E2)为圆心, 12 D2E 2 4F 为半径的圆；22)当

4、D 2E 2 4F 0 时，方程只有实数解 xD，2E2 ，即只表示一个点D- D2 ，3）当 D 2 E 2 4F 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形22综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示的曲线不一定是圆 王新敞 只有当 D 2 E 2 4F 0时，它表示的曲线才是圆，我们把 形如 x2 y2 Dx Ey F 0的 表示圆的方程称为圆的一般方程 x 1 2 y2 4我们来看圆的 一般方程的特点 ：（ 启发学生归纳 ）（1）x2 和 y2的系数相同，不等于 0 没有 xy 这样的二次项（2）圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、 F，因之只要求出这三个系数，圆的方

5、程就确定了（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标 准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。三、知识应用与解题研究：例 1 ：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆 心及半径。221 4x2 4y2 4x 12y 9 0222 4x2 4y2 4x 12y 11 0 学生自己分析探求解决途径：、用配方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的 一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 1 4x2 4y2 4x 12y 9 0来说，这里的 D 1,E 3,F 9而不是 D=-4,E=12,F=9 .4例 2：求过三点 A （0，0），

6、B（1， 1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心 坐标。分析： 据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条 件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为： x 2 y2 Dx Ey F 0 A(0,0), B(1，1),C(4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的 方程，可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组，F0即 D E F 204D 2E F200解此方程组，可得：D8,E 6,F 0 王新敞所求圆的方程为：2 xy2 8x6y 0 王新敞1 2 2 r D 2 E 24F5 ；

7、 DF4, 3222得圆心坐标为( 4，-3)或将 x2 y2 8x 6y 0左边配方化为圆的标准方程， (x 4)2 (y 3)2 25, 从而求 出圆的半径 r 5 ，圆心坐标为 (4,-3) 王新敞学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 、根据提议，选择标准方程或一般方程；、根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组；、解出 a、b、r 或 D、 E、F，代入标准方程或一般方程。2例 3、已知线段 AB的端点 B 的坐标是( 4，3)，端点 A在圆上 x 1 2 y2 4运动，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程。分析：如图点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已

8、知圆上运动，点 A 的坐标满足方程 22x 1y2 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点M 的坐标满足的条件，求出点 M的轨迹方程。解 ： 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是 x0,y0 .由于点 B的坐标是 4，3 且M 是线段 AB 的重点，所以x0 4y0 3x 0 2 ,y2,于是有 x0 2x4, y02y3因为点 A在圆x 1 22y2224上运动，所以点 A 的坐标满足方程 x 1y2 4, 即22 x0 1y0422 x0 1 y04把代入，得2 2 3 2x 4 1 2 2y 3 2 4,整理，得 x- 32所以，点 M 的轨迹是以3332，32 为圆心，半径长为 1的圆三、课堂练习：课堂练习 p