上海市20162017学年高二数学下学期期中试卷含解析

1、2016-2017 学年上海市高二（下）期中数学试卷一、填空题1抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为2方向向量为，且过点 A（3，4）的直线的一般式方程为3若复数 z满足 ，则= 4直线x+y2=0 和 axy+1=0 的夹角为，则a 的值为 5已知点（4，0）是椭圆kx2+3ky2=1 的一个焦点，则k= 6如果实数 x，y满足线性约束条件 ，则z=xy+1 的最小值等于 7正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为8参数方程 （t为参数），化为一般方程为9以椭圆3x 2+13y2=39 的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为10M是抛物线y=4x2+1 上的一个动点，且

2、点 M是线段 OP的中点（ O为原点）， P的轨迹方程为 11某地球仪上北纬60纬线长度为6cm，则该地球仪的体积为 cm 312若圆（ xa）2+（ya）2=1（a0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是 二、选择题13命题p：a 1；命题q：关于 x 的实系数方程 x 22 x+a=0 有虚数解，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件14若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（ ）A1：1 B 2：1 C 3：2 D4：115如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左

3、视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）A（2）（3）（4） B （1）（2）（3） C（1）（3）（4） D（1）（2）（4）16如果函数 y=|x| 2 的图象与曲线 C：x 2+y2= 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是（ ）A2 （4，+） B（2，+） C2 ，4 D（4，+）三、简答题17直角坐标系中，已知动点 P（x，y）到定点 F（0，2）的距离与它到 y=1 距离之差为 1，（1）求点 P 的轨迹 C（2）点 A（3，1），P 在曲线 C上，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P的坐标18在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=

4、BC=2，AA1 =3，过 A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体 ABCDA1C1D1（1）若 A1C1 的中点为 O1，求异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2）求点 D到平面 A1BC1 的距离 d- 2 -19复数 z满足 z +（ 12i ）z+（1+2i ） =3，求 |z| 的最大值20已知直线l ：kxy+1+2k=0，kR（1）直线过定点 P，求点 P 坐标；（2）若直线l 交 x轴负半轴于点 A，交 y轴正半轴于点 B，O为坐标原点，设三角形 OAB的面积为4，求出直线l 方程21椭圆C：过点 M（2，0）

5、，且右焦点为F（1，0），过F 的直线l 与椭圆C相交于 A、B 两点设点 P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1 和k2（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1，求出 k1?k2 的值；（3）探讨k1+k2 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 k1+k2 的取值范围- 3 -2016-2017 学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1抛物线 x 2=4y 的焦点到准线的距离为 2 【考点】 K8：抛物线的简单性质【分析】直接利用抛物线的性质求解即可【解答】解：抛物线 x 2=4y 的焦点到准线的距离为： p=2故答案为： 22方向向

6、量为 ，且过点 A（3，4）的直线的一般式方程为 2xy2=0 【考点】 IG：直线的一般式方程【分析】根据点向式方程计算即可【解答】 解：方向向量为 ，且过点 A（3，4）的方程为 = ，即 2xy2=0，故答案为： 2xy2=03若复数 z 满足 ，则 = 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算； A8：复数求模【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值【 解 答 】 解 ： = =， 故答案为： - 4 -4直线 x+y2=0 和 axy+1=0 的夹角为 ，则 a 的值为 2 【考点】 IV ：两直线的夹角与到角问题【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹

7、角公式求得 a 的值【解答】解：直线 x+y2=0 的斜率为 1，和 axy+1=0 的斜率为 a，直线 x+y2=0 和 axy+1=0 的夹角为 ，tan = =| | ， 求得 a= =2 ，或a= =2+ ，故答案为： 2 5已知点（ 4，0）是椭圆 kx2+3ky2=1 的一个焦点，则 k= 【考点】 K4：椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可【解答】解：点（ 4，0）是椭圆 kx 2+3ky2+3ky2=1 的一个焦点，可得： ，解得 k= 故答案为： 6如果实数 x，y 满足线性约束条件 ，则 z=xy+1 的最小值等于2 【考点】 7 C：简单线性规划【分

8、析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=x 可得当直线经过点 A（2，1）时， z取最小值，代值计算可得【解答】解：作出线性约束条件 ，所对应的可行域（如图） ，- 5 -变形目标函数可得 y=x+1+z，平移直线 y=x 可知，当直线经过点 A（2，1）时，截距取最小值， z 取最小值，代值计算可得 z 的最小值为 z=21+1=2故答案为： 27正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为 45 【考点】 MI：直线与平面所成的角； L3：棱锥的结构特征【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角【解答】解：如图，四棱锥 PAB

9、CD中，过 P作 PO平面 ABCD于 O，连接 AO，则 AO是 AP在底面 ABCD上的射影 PAO即为所求线面角，AO= ，PA=1，cos PAO= = PAO=45 ，即所求线面角为 45 故答案为 45 - 6 -8参数方程 （t 为参数），化为一般方程为 x+y2=0 【考点】 Q H：参数方程化成普通方程【分析】参数方程消去参数 t ，能求出其一般方程【解答】解：参数方程 （t 为参数），消去参数 t ，得： x=1+（1y），整理，得一般方程为： x+y2=0故答案为： x+y2=09以椭圆 3x 2 +13y2=39 的焦点为顶点，以 为渐近线的双曲线方程为【考点】 KI

10、：圆锥曲线的综合【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可【解答】解：以椭圆 3x 2 +13y2=39 的焦点为（ ，0），则双曲线的顶点（ ，0），可得 a= ，以 为渐近线的双曲线，可得 b= ，所求的双曲线方程为： 故答案为： 10M是抛物线 y=4x2+1 上的一个动点，且点 M是线段 OP的中点（ O为原点），P的轨迹方程为 y=2x 2+2 【考点】 KK：圆锥曲线的轨迹问题【分析】设出 P的坐标，求出 M的坐标，动点 M在抛物线 y=4x 2+1 上运动，点 M满足抛物线方- 7 -程，代入求解，即可得到 P 的轨迹方程【解答】解：设P

11、的坐标（ x，y），由题意点 M为线段 OP的中点，可知 M（ ， ），动点 M在抛物线y=4x 2+1 上运动，所以 =4 +1，所以 y=2x2+2动点 P的轨迹方程为： y=2x2+2故答案为： y=2x2+211某地球仪上北纬60纬线长度为6cm，则该地球仪的体积为 288 cm 3【考点】 LG：球的体积和表面积【分析】地球仪上北纬60纬线的周长为 6cm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积【解答】解：由题意：地球仪上北纬60纬线的周长为6 cm，纬圆半径是： 3cm，地球仪的半径是： 6cm；地球仪的体积是： 6 3=288cm3，故答案为： 28812若圆（ xa）2+

12、（ya）2=1（a0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a 的取值范围是 （0， ） 【考点】 JA：圆与圆的位置关系及其判定【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可【解答】解：圆（ xa） 2+（ya）2=1（a0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心 1为半径的圆与已知圆相交，可得 11 1+1，可得 0 2，即 a（ 0， ）故答案为：（0， ）二、选择题- 8 -13命题p：a 1；命题q：关于 x 的实系数方程 x 22 x+a=0 有虚数解，则p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不

13、必要条件【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若关于 x 的实系数方程 x 22 x+a=0 有虚数解，则判别式 0，即 84a0，解得 a2，p 是 q 的必要不充分条件，故选： B14若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（ ）A1：1 B 2：1 C 3：2 D4：1【考点】 LG：球的体积和表面积【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高

14、都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为： S1=6，球的表面积为： S2 =4所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1： S2=3：2故选C15如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（ ）- 9 -A（2）（3）（4） B （1）（2）（3） C（1）（3）（4） D（1）（2）（4）【考点】 L7：简单空间图形的三视图【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果【解答】解：要找三视图中有且仅有

15、两个相同，而另一个不同的几何体，需要看出所给的四个几何体的三视图，正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，故符合题意的有（ 2）（3）（4）三个，故选 A- 10 -16如果函数 y=|x| 2 的图象与曲线 C：x 2+y2= 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是（ ）A2 （4，+） B（2，+） C2 ，4 D（4，+）【考点】 J8：直线与圆相交的性质【分析】根据题意画出函数 y=|x| 2 与曲线 C：x 2+y2= 的图象，抓住两个关键点，当圆 O与两射线相切时，

16、两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 O作 OCAB，由三角形 AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到 OC为斜边 AB 的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时 的值；当圆 O半径为 2 时，两函数图象有 3 个公共点，半径大于 2 时，恰好有 2 个公共点，即半径大于 2 时，满足题意，求出此时 的范围，即可确定出所有满足题意 的范围【解答】解：根据题意画出函数 y=|x| 2 与曲线 C：x 2+y2= 的图象，如图所示，当 AB与圆 O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 O作 OCAB，OA=OB=，2 AOB=90 ，根据勾股定理得： AB=2 ，

17、OC= AB= ，此时 =OC 2=2；当圆 O半径大于 2，即 4 时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数 的取值范围是 2 （4，+）故选 A三、简答题17直角坐标系中，已知动点 P（x，y）到定点 F（0，2）的距离与它到 y=1 距离之差为 1，（1）求点 P 的轨迹 C（2）点 A（3，1），P 在曲线 C上，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P的坐标- 11 -【考点】 IW：与直线有关的动点轨迹方程【分析】（1）设 P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线 C的方程；（2）要使 |PA|+|PF| 的值最小，则三点 P，A，

18、F 三点共线，此时点 P 为直线 AF与抛物线的交点即可【解答】解： （1）（1）设 P（x，y），动点 P（x，y）到定点 F（0，2）的距离与它到 y=1 距离之差为 1， ，整理得 x 2=8y点 P的轨迹 C是以原点为顶点，对称轴为 y 轴的抛物线（2）如图，要使 |PA|+|PF| 的值最小，则三点 P，A，F 三点共线，此时点 P 为直线 AF 与抛物线的交点直线 AF方程： x+3y6=0由 得 P（ ， ）|PA|+|PF| 的最小值为 18在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1 =3，过 A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何

19、体 ABCDA1C1D1（1）若 A1C1 的中点为 O1，求异面直线 BO1 与 A1D1 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2）求点 D到平面 A1BC1 的距离 d- 12 -【考点】 MK：点、线、面间的距离计算； LM：异面直线及其所成的角【 分 析 】（ 1 ） 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 求 出 相 关 点 的 坐 标 ， 求 出利用空间向量的连结求解异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角（2）求出平面 ABD的法向量通过空间向量的距离公式求解即可【解答】（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分，第 2 小题满分（理科）解：（1）按如图所示

20、建立空间直角坐标系由题知，可得点 D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）由 O1 是 A1C1 中点，可得 O1（1，1，3）于 是 ，设异面直线 BO1 与 A1 D1 所成的角为 ，则因此，异面直线 BO1 与 A1D1 所成的角为 （2）设 是平面 ABD的法向量又 ， 取 z=2 ，可 得 即平面 BA1C1 的一 个法 向量 是- 13 - = 19复数 z满足 z +（ 12i ）z+（1+2i ） =3，求 |z| 的最大值【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi （a，bR），则，代入 z +（12i

21、）z+（1+2i ） =3，得（a+1） 2+（b+2）2=8则z 在复平面内所对应点的轨迹为以 （1，2）为圆心， 以为半径的圆数形结合求 |z| 的最大值【解答】解：设z=a+bi （a，bR），则，代入 z +（12i ）z+（1+2i ） =3，得（a 2+b2+2a+4b）+（ b2ab+2a）i=3 ，即 a 2+b2+2a+4b=3，化为（ a+1）2+b2+2a+4b=3，化为（ a+1）2+（ b+2）2=8z 在复平面内所对应点的轨迹为以（1，2）为圆心，以为半径的圆|z|= ，则|z| 的最大值为 - 14 -20已知直线l ：kxy+1+2k=0，kR（1）直线过定点 P，求点 P 坐标；（2）若直线l 交 x轴负半轴于点 A，交 y轴正半轴于点 B，O为坐标原点，设三角形 OAB的面积为4，求出直线l 方程【考点】 IO：过两条直线交点的直线系方程【分析】（1）由 kxy+1+2k=0，可得 k（x+2）+（1y）=0可得直线l ：kxy+1+2k=0 必过直线x+2=0，1y=0 的交点（2， 1）（2）令 y=0，得 A（）；令 x=0，得 B（0，1+2k）三角形 OAB的面积为s= = =4，解得 k【解答】解： （1）由 kxy+1+2k=0，可得 k（x+2）+（