圆周运动临界问题

1、圆周运动临界问题竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况， 常涉及过最高点时的临界问题。临界问题的分析方法： 首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根 据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化 与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。“绳模型”如图 6-11-1 所示，小球在竖直 平面内做圆周运动过最高点情况。（ 1）小球能过最高点的临界条件： 绳子和轨道 对小球刚好没有力的作用用心 爱心 专心2mg =mvRv临界 = Rg（ 2）小球能过最高点条件： v Rg（当 v Rg 时，绳对球产生拉

2、力，轨道对球产 生压力）（3）不能过最高点条件： v Rg（实际上球还没有到最高点时， 就脱离了轨道“杆模型”如图 6-11-2 所示，小球在竖直 平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产 生拉力，又能产生推力。 ）ab（1）小球能最高点的临界条件： v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当 0 v F 0（F 为支持力）（3）当 v = Rg 时， F=0（4）当 v Rg时，F 随 v增大而增大，且 F 0用心 爱心 专心F 为拉力） 案例剖析】例 1长为 L 的细绳，一端系一质量为 m 的小 球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再 给小球一水平

3、初速度 v0 ，使小球在竖直平面内做圆周 运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的 是 （ ）A 球过最高点时， 速度为零B球过最高点时，绳的拉力为 mgC开始运动时，绳的拉力为 m vL2D球过最高点时，速度大小为 Lg解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力 F 的合力提供向心力，即F mgv0m L0 ，2v0mLmgmgv2mL ，v例 2：如图 6-11-3 所示，一轻杆一端 为 m 的小球，以另一端图可见 C 不正确； 小球刚好过最高点时， 绳拉力为 0， Lg，所以，A、B、C 均不正确。故选： D量O 为圆心，使小球做半径为 R 的圆周运动，以下说 法正确的是 （

4、）A 球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B球过最高点时，最小速度为 RgC 球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反用心 爱心 专心D球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的 重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时， v临 0 ，故 B 不正确；当 v Rg时，F = 0 故 A 正确。当 0 v F 0，F 为支持力故 D 正确。当 v Rg 时， F 0， F 为拉力，故 C 不正确。故选： A、 D例 3 绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆 周运动，水的质量 m = 0.5kg，绳长 L = 40cm ，求：（）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小 速

5、率？（）桶在最高点速率 v = 3m/s 时，水对桶底 的压力？解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不 大于水做圆周运动所需的向心力。即： mg m v0 ，则R 最小速率 v0 Rg 0.4 10 m/s = 2m/s（ 2）水在最高点速率大于 v0 时，只靠重力提 供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力， 2设为 F，由牛顿第二定律有 F + mg =mvR2 ， F =R2mvR mg = 6.25N，由牛顿第三定律知， 水对桶底的作 用力 F/ F = 6.25N，方向竖直向上。【知识链接 】如图 6-11-4 所示，地球可以看作一个巨大的拱形图用心 爱心桥，桥面的半径就是地

6、球半径 R（约为 6400km ） 地面上有一辆汽车，重量是 G = mg，地面对它的支持力是 F 。汽车沿南北方向行驶，不断加速。根据 上面的分析，汽车速度越大，地 面对它的支持力就越小，会不会出现这样的情况： 速度 大到一定程度时，地面对车的支持力是零？这时驾 驶员 与座椅之间的压力是多少？驾驶员身体各部分之间 的压力是多少？他这时可能有什么感觉？（ g取 10m/ s）目标达成】1如图 6-11-5 所示，细线的一端有一个小球， 现 给小球一初速度，使小球绕细线另一端 O 在竖直平 面内转动，不计空气阻力，用 F 表示球到O 达最高点 时细线对小球的作用力，则 F 可能 （ ） 图 A是

7、拉力B是推力C等于零D可能是拉力，可能是推力，也可能等于零用心 爱心 专心解析：到最高点临界速度为 v临 Rg ，当 v v临界 时，F0；当 v v临界 时， F 为拉力。故选： A、C2（1999 年 全国）如图 6-11-6 所示，细杆的一 端与小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转b动 ，现 给小球一初速度， 使它做圆周运动， 图中 a、O b 分别 表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的O作 用 力可能是 （ ） 图 aAa 处为拉力， b 处为拉力Ba 处为拉力， b 处为推力 C a 处为推力， b 处为拉力 Da 处为推力， b 处为推力解析：小球到最低点时，向心力向上，此时

8、细 杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力，细杆 作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力 向下，当 0 v Rg 时， F向 mg ，此时为推力，当 v Rg ， F向 mg ，此时为拉力。故选： A、B3长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一 端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度，使 小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为 v，则下列叙述正确的是（ ）Av 的最小值为 gL用心 爱心 专心Bv 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大Cv 由零逐渐增大， 杆对小球的弹力也逐渐增 大D v 由 gL 逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增 大解析：这是“杆模型”，小球到最高点速度 v

9、 0 ， A 错；由 F向 mvL 得，v 增大， F向增大， B 对；当 0 v Lg 时，F 随 v 增大而增大（ F 为拉力）, C 错，D 对。故选： B、D4质量为 m 的小球在竖直平面内的圆形轨道 的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度 为 v ，当小球以 2v 的速度经过最高点时，对轨道的 压力是 （ ）A 0B mgC 3mgD5mg解析：到最高点临界速度为 v，则： mg m v ；当R 速度为 2v时，则： F mg m （2Rv）2 （F 为压力）；由上两R式解得： F = 3mg。故选： C5长为 L 的细绳一端拴一质量为 m 的小球，小 球绕细绳另一固定端在竖直

10、平面内做圆周运动并恰 能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点 和最高点时的速度分别为 v1和 v2，细线所受拉力分别用心 爱心 专心为 F1、 F2 ，则 （ ）A v1= 5gLB v2= 0C F1= 5mgD F2 = 0 解析：小球恰能通过最高点，细线拉力 F2 = 0， 2有mg mvL2 ，得 v2= gL ；由机械能守恒得：12 mv12 mgg2L 21 mv22 ，解得： v1= 5gL ；通过最低点时，有2F1 mg m vL1 ，解得 F1 6mg 。故选： A 、 D6质量可忽略，长为 L 的轻棒，末端固定一 质量为 m 的小球， 要使其绕另一端点在竖直平面内 做

11、圆周运动，那么小球在最低点时的速度 v必须满足 的条件为 （ ）A v 2gLBv 3gL Cv 2 gLDv 5gL解析：小球到最高点速度 v1 0，由机械能守恒得： 21 mv2 mgg2L 12 mv12 ，解得： v 2 gL 。故选： C7如图 6-11-7 所示，一个高为 h 的斜面，与半径为 R 的圆形轨道平滑地连接在一起。现有一小球从斜面的顶端无初速地滑下，若要使小B球 通过圆形h轨道的顶端 B 而不落下，则斜面的高度 h 应h为 多大？解析：小球到达顶端B 速度为 v，则：2v2 mg mR解得： v Rg ，由机械能守恒得：mghmgg2R12mv2用心 爱心 专心解得：

12、h 5 R28如图 6-11-8 所示，杆长为 L，杆的一端固定 一质量为 m 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统 绕杆的另一端 O 在竖直平面内作圆周运动，求：(1) 小球在最高点 A 时速度 vA为多大时， 才能 使杆对小球 m 的作用力为零？( 2)小球在最高点 A 时，杆对小球的作用力 F 为拉力和推力时的临界速度是多少？(3)如 m = 0.5kg, L = 0.5m, vA = 0.4m/s, 则在最 vA 高点 A 和最低点 B 时, 杆对小球 m的作用A力 各A是多 大? 是推力还是拉力 ?O解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力O为 零， 那么小球作圆 图2 周运动的向心力

13、由重力 mg 提供， mg mvLA 解得： vA Lg(2) 若小球 m 在最高点 A 时受拉力 F，则F mg m v 1 解得 v1 gL FL LgLm若小球 m 在最高点 A 时受推力 F，则 mg F mvL22 解 得： v2 Lg FL Lgm可见vA Lg 是杆对小球 m 的作用力 F 在推力和拉力 之间突变的临界速度 .(3) 杆长 L = 0.5m 时，临界速度v临 Lg 0.5 10 m/s =2.2 m/s， vA = 0.4m/s R，所以，小球一定落在 AE 上。 故选： A10如图 6-9-10 所示，半径为 R，内径很小的 光滑半圆管竖直放 置，AB 段平直，质量为 m 的小球以水平初速度 v0射 入圆管。（1）若要小球能从 C端出来，初速度 v0多大？ （ 2）在小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力有 哪几种典型情况，初速度 v0各应满足什么条件？ 解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是 v临0 ， 此时需要初速度为 v0 ，由机械能守恒 ：12mv02mgg2R 得 v0 4Rg, 因此要使小球能从 C端出来需 vC 0，故入射 速度 v0 4Rg（ 2）小球从 C 出来端出来